Uma forma bidimensional que maximizaa resistência aerodinâmica newtoniana

Uma forma bidimensional que maximiza
a resistência aerodinâmica newtoniana

Paulo D. F. Gouveia
pgouveia@ipb.pt
   Alexander Plakhov
plakhov@mat.ua.pt
   Delfim F. M. Torres
delfim@ua.pt
Escola Sup. Tecn. e Gestão, Instituto Politécnico de Bragança, 5301-854 Bragança
Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro, 3810-193 Aveiro

Abstract. In a previous work [18, 19] it is investigated, by means of computational simulations, shapes of nonconvex bodies that maximize resistance to its motion on a rarefied medium, considering that bodies are moving forward and at the same time slowly rotating. Here the previous results are improved: we obtain a two-dimensional geometric shape that confers to the body a resistance very close to the supremum value ().

Resumo

Um corpo bidimensional, apresentando um ligeiro movimento rotacional, desloca-se num meio rarefeito de partículas que colidem com ele de uma forma perfeitamente elástica. Em investigações que os dois primeiros autores realizaram anteriormente [18, 19], procuraram-se formas de corpos que maximizassem a força de travagem do meio ao seu movimento. Dando continuidade a esse estudo, encetam-se agora novas investigações que culminam num resultado que representa um grande avanço qualitativo relativamente aos então alcançados. Esse resultado, que agora se apresenta, consiste numa forma bidimensional que confere ao corpo uma resistência muito próxima do seu limite teórico. Mas o seu interesse não se fica pela maximização da resistência newtoniana; atendendo às suas características, apontam-se ainda outros domínios de aplicação onde se pensa poder vir a revelar-se de grande utilidade. Tendo a forma óptima encontrada resultado de estudos numéricos, é objecto de um estudo adicional de natureza analítica, onde se demonstram algumas propriedades importantes que explicam em grande parte o seu virtuosismo.

Keywords: body of maximal resistance, billiards, Newton-like aerodynamic problem, retroreflector.

Palavras chave: corpos de resistência máxima, bilhares, problema aerodinâmico newtoniano, retrorreflector.

Mathematics Subject Classification 2000: 74F10, 65D15, 70E15, 49K30, 49Q10.

1 Introdução

Uma área de investigação da Matemática contemporânea ocupa-se com a procura de formas de corpos, dentro de classes predefinidas, que permitam minimizar ou maximizar a resistência a que ficam sujeitos quando se desloquem em meios rarefeitos. O primeiro problema desta natureza remonta já à década de do século XVII, altura em que Isaac Newton estudou, em [14], um problema de resistência mínima para uma classe específica de corpos convexos, que se deslocassem em meios de partículas infinitesimais, de tal modo rarefeitos que fosse possível negligenciar qualquer interacção entre as partículas, e que a interacção destas com o corpo pudesse ser descrita por colisões perfeitamente elásticas. Mais recentemente temos assistido a desenvolvimentos importantes nesta área com a generalização do estudo a novas classes de corpos e a meios com características menos restritivas: problemas de resistência em corpos não simétricos [3, 4, 5, 11, 12], em corpos não convexos de colisões singulares [2, 5, 6, 13] e de colisões múltiplas [15, 16, 17], corpos de superfície desenrolável [13], considerando colisões com atrito [9] e em meios de temperatura positiva [20]. Mas, quase invariavelmente, os resultados que têm vindo a ser publicados têm dado especial atenção a classes de corpos convexos.

A convexidade de um corpo é uma condição suficiente para que a resistência seja função unicamente de colisões singulares — todas as partículas colidem uma só vez com o corpo. Esse atributo permite reduzir consideravelmente a complexidade dos problemas tratados. Mesmo os vários estudos sobre classes de corpos não convexos que têm surgido, especialmente na última década, assentam quase sempre em condições que garantem um único impacto por partícula — [2, 5, 6, 13]. Só muito recentemente, começaram a surgir alguns estudos prevendo múltiplas reflexões, como é o caso dos trabalhos de Plakhov [15, 16, 17].

Na classe de corpos convexos, o problema reduz-se normalmente à minimização da funcional de Newton — uma fórmula analítica para o valor da resistência, proposta por Isaac Newton [14]. Mas no contexto de corpos não convexos não existe qualquer fórmula simples conhecida para o cálculo da resistência. Ainda que seja extremamente complexo, em geral, tratar analiticamente problemas de múltiplas colisões, para alguns problemas de minimização específicos a tarefa não se tem revelado particularmente difícil, existindo inclusive já alguns resultados disponíveis [15, 16]. Se, pelo contrário, considerarmos o problema de maximização, então a solução chega mesmo a ser trivial — para qualquer dimensão, basta que a parte frontal do corpo seja ortogonal à direcção do movimento.

E se o corpo exibir, para além do seu movimento de translação, um ligeiro movimento rotacional? Quando pensamos neste tipo de problemas temos, por exemplo, em mente satélites artificiais, de órbitas relativamente baixas, que não disponham de qualquer sistema de controlo que estabilize a sua orientação, ou outros engenhos em condições semelhantes. Nessa situação, imaginamos que, ao longo do seu percurso, o engenho rode lentamente sobre si próprio.

O problema de minimização da resistência média em corpos rotativos não convexos foi já estudado para o caso bidimensional [17]: demonstrou-se que a redução da resistência que é possível obter em relação ao caso convexo não ultrapassa os . Por sua vez, o problema de maximização da resistência média de corpos em rotação está longe de ser trivial, contrariamente ao que se passa quando se trata de movimento puramente translacional. Foi, por isso, esta classe de problemas o objecto de estudo do trabalho realizado pelo autores em [18, 19]: investigaram-se formas de corpos não convexos que maximizassem a resistência que os mesmos teriam que enfrentar quando se deslocassem em meios rarefeitos e, simultaneamente, exibissem um ligeiro movimento rotacional. Com o estudo numérico que se levou a cabo, foram encontradas várias formas geométricas que conferiam aos corpos valores de resistência bastante interessantes; mas foi em investigações posteriores, desenvolvidas na continuação desse trabalho, que os autores conseguiram chegar ao melhor dos resultados: uma forma bidimensional que confere ao corpo uma resistência muito próxima do seu limite máximo teórico. É este último resultado que agora aqui se apresenta.

A apresentação do trabalho encontra-se organizada como se segue. Em §2 começamos por definir, para o caso bidimensional, o problema de maximização, objecto do presente estudo. Depois, em §3, descrevemos o estudo numérico que foi realizado no encalço do corpo de resistência máxima e apresentamos o principal resultado original deste trabalho: uma forma bidimensional que maximiza a resistência newtoniana. A forma bidimensional encontrada é então objecto de um estudo em §4 onde se demonstram algumas propriedades importantes que ajudam a explicar o valor de resistência que apresenta. Em §5 apresentamos um estudo exploratório sobre outras possíveis aplicações do nosso resultado. Por fim, em §6, apresentamos as principais conclusões do presente trabalho e incluímos alguns apontamentos sobre as possíveis direcções do trabalho a realizar futuramente.

2 Definição do problema para o caso bidimensional

Considere-se um disco em rotação lenta e uniforme, deslocando-se numa direcção paralela ao seu plano. Denotemos o disco de raio por e a sua fronteira por . Retiremos então pequenas porções do disco ao longo de todo o seu perímetro, numa vizinhança de , com de valor arbitrariamente pequeno quando comparado com o valor de . Ficamos assim com um novo corpo definido por um subconjunto de e caracterizado por uma certa rugosidade ao longo de todo o seu perímetro. A questão essencial que se coloca é a seguinte: até quanto pode ser aumentada a resistência de um corpo ? Mais do que conhecermos o valor absoluto dessa resistência, estamos sobretudo interessados em saber qual o ganho que se consegue obter em relação à resistência do corpo liso (contorno perfeitamente circular, neste caso), ou seja, conhecer o valor normalizado

(1)

É possível, desde logo, conhecermos alguns valores de referência importantes para a resistência normalizada: e o valor da resistência terá que se situar entre ([17]) e . O valor será hipoteticamente atingido se todas as partículas forem reflectidas pelo corpo com uma velocidade (velocidade com que as partículas se afastam definitivamente do corpo) oposta à velocidade de incidência (velocidade com que as partícula atingem o corpo pela primeira vez), , situação em que é transmitida ao corpo a máxima quantidade de movimento. É ainda possível conhecermos o valor da resistência de alguns corpos elementares do tipo . É o caso, por exemplo, de discos com o contorno integralmente formado por reentrâncias rectangulares arbitrariamente pequenas ou com a forma de triângulos rectângulos isósceles. Tal como demonstrado em [18, 19], esses corpos têm associado uma resistência, respectivamente, de e .

Para além de ser definido numa vizinhança interior da fronteira do disco , assume-se que o corpo que se pretende maximizar é um conjunto conexo e limitado, e com fronteira seccionalmente suave. Considere-se então um bilhar em . Uma partícula infinitesimal move-se livremente, até que, ao colidir com o corpo , sofre várias reflexões (uma no mínimo) em pontos regulares da sua fronteira , acabando por retomar um movimento livre que a afasta definitivamente do corpo. Represente-se por o conjunto definido pelo invólucro convexo de . A partícula intercepta por duas vezes o contorno : quando entra no conjunto e no momento em que o abandona. Considere-se o comprimento total da curva e represente-se por e a velocidade da partícula no primeiro e segundo momentos de intercepção, e e os respectivos pontos onde ocorrem. Denote-se ainda por e os ângulos que os vectores e fazem com o vector normal à secção da curva (direccionado para fora) entre os pontos e . Serão positivos se forem definidos no sentido anti-horário a partir do vector normal, e negativos caso contrário. Com estas definições, tanto como tomam valores no intervalo .

Representando as cavidades que caracterizam o contorno de por subconjuntos , que no seu todo formam o conjunto , a resistência normalizada do corpo (equação (1)) assume a seguinte forma (cf. [18, 19]):

(2)

sendo o comprimento da parte convexa do contorno , , com , o tamanho da abertura da cavidade , e a resistência normalizada da cavidade , em relação a um segmento liso de tamanho unitário, com

(3)

A função deve ser vista como o ângulo de saída duma partícula que interage com uma cavidade de abertura de tamanho unitário, centrada no eixo dos (ver ilustração da Figura 1), e com a forma de — relacionando-se com esta por um factor de proporcionalidade .

Figura 1: Exemplo de trajectória que uma partícula descreve no interior de uma cavidade normalizada.

Da equação (2) percebemos que a resistência de um corpo pode ser vista como uma média ponderada () das resistências das cavidades individuais que caracterizam toda a sua fronteira (incluindo “cavidades” lisas), multiplicada por um factor que relaciona os perímetros dos corpos e . Assim, maximizarmos a resistência do corpo equivale a maximizarmos o perímetro de () e as resistências individuais das cavidades .

Encontrada a forma óptima , que maximize a funcional (3), o corpo de resistência máxima será aquele cuja fronteira seja formada unicamente pela concatenação de pequenas cavidades com essa forma. Podemos então restringir o nosso problema à subclasse de corpos que tenham a sua fronteira integralmente preenchida por cavidades iguais, e com isso admitir, sem qualquer perda de generalidade, que cada cavidade ocupa o lugar de um arco de círculo de tamanho . Como , a razão entre os perímetros assume o valor

(4)

ou seja, dado um corpo de fronteira formada por cavidades com a forma , de (2) e (4) concluímos que a resistência total do corpo será igual à resistência da cavidade individual , menos uma pequena fracção desse valor, que será negligenciável quando ,

(5)

Assim, as nossas pesquisas têm como objectivo encontrar formas de cavidades que maximizem o valor da funcional (3), cujo supremo sabemos situar-se no intervalo

(6)

como facilmente se comprova usando (3): se for um segmento liso, e ; nas condições de resistência máxima , logo .

3 Estudo numérico do problema

Na classe de problemas que estamos a considerar, apenas para algumas formas muito elementares é possível desvendar a fórmula analítica da sua resistência (3), como são disso exemplo as formas rectangulares e triangulares anteriormente referenciadas. Para formas um pouco mais elaboradas, o cálculo analítico torna-se rapidamente demasiado complexo, senão impossível, dada a grande dificuldade em conhecermos a função , que, como sabemos, está intimamente relacionada com o formato da cavidade . Assim, o recurso à computação numérica surge como a abordagem natural e inevitável para se poder investigar essa classe de problemas.

Desenvolveram-se modelos computacionais que simulam a dinâmica de bilhar no interior de cada uma das formas estudadas. Os algoritmos de construção desses modelos, bem como os responsáveis pelo cálculo numérico da resistência associada, foram implementados usando a linguagem de programação C, dado o esforço computacional envolvido (a linguagem C foi criada em 1972 por Dennis Ritchie; para o seu estudo sugerimos, entre a extensa documentação disponível, aquele que é o livro de referência da linguagem, da autoria de Brian Kernighan e do próprio Dennis Ritchie, [10]). A eficiência do código objecto, gerado pelos compiladores de C, permitiu que a aproximação numérica de (3) fosse realizada com um número suficientemente elevado de subdivisões dos intervalos de integração — entre algumas centenas e vários milhares (até ). Os resultados foram, por isso, obtidos com uma precisão que atingiu em alguns dos casos . Essa precisão foi controlada por observação da diferença entre aproximações sucessivas da resistência que se iam obtendo com o aumento do número de subdivisões.

Para a maximização da resistência dos modelos idealizados, usaram-se os algoritmos de optimização global da toolboxGenetic Algorithm and Direct Search” (versão 2.0.1 (R2006a), documentada em [1]), uma colecção de funções que estende as capacidades de optimização do sistema de computação numérica MATLAB. A opção pelos métodos Genéticos e de procura Directa deveu-se essencialmente ao facto de os mesmos não requererem qualquer informação acerca do gradiente da função objectivo nem de derivadas de ordem superior — como a forma analítica da função resistência é em geral desconhecida (dado que depende de ), esse tipo de informação, caso fosse necessária, teria que ser obtida por aproximação numérica, algo que dificultaria imenso o processo de optimização. O sistema de computação MATLAB (versão 7.2 (R2006a)) foi também escolhido por dispor de funcionalidades que permitiram que se usasse para função objectivo a subrotina compilada em C de cálculo da resistência, bem como a função por si invocada.

3.1 “Dupla Parábola”: uma forma bidimensional que maximiza a resistência

No estudo numérico que os autores realizaram em [18, 19] procuraram-se formas definidas por funções contínuas e seccionalmente diferenciáveis:

(7)

Iniciou-se a procura da resistência máxima na classe de funções contínuas com derivada seccionalmente constante, alargando-se depois o estudo a classes de funções com a segunda derivada seccionalmente constante. No primeiro dos casos o contorno de é uma linha poligonal, e no segundo, uma curva composta por arcos de parábolas. Não se tendo conseguido com as formas superar o valor de resistência , decidimos, neste novo estudo, estender a procura a formas diferentes das consideradas em (7). Estudámos formas definidas por funções de em do seguinte modo:

(8)

onde e é uma função contínua com e .

O novo problema de resistência máxima por nós estudado pode então ser formulado da seguinte forma:

Encontrar nas funções contínuas e seccionalmente diferenciáveis, tais que e , com .

À semelhança do estudo que se fez para os conjuntos , na procura das formas consideraram-se funções seccionalmente lineares e seccionalmente quadráticas. Se na classes das funções lineares não se conseguiu qualquer ganho de resistência relativamente aos resultados obtidos para os conjuntos , já nas funções quadráticas os resultados superaram as melhores expectativas: encontrou-se uma forma de cavidade que apresenta uma resistência , um valor já muito próximo do seu limite teórico de . Este é seguramente um resultado muito interessante. Efectuaram-se ainda alguns testes com funções polinomiais de ordem superior ou descritas por secções cónicas específicas mas, não se tendo verificado qualquer ganho adicional na maximização da resistência, optou-se por não se reportar os respectivos resultados. Segue-se então a descrição do melhor resultado que se obteve, encontrado na classe das funções quadráticas.

Estudou-se o valor da resistência de conjuntos , tal como definidos em (8), na classe de funções quadráticas,

onde e (dado que ). Na optimização da curva, fizeram-se variar os dois parâmetros de configuração da função: , a altura da curva , e , o seu declive na origem (). Nesta classe de funções os algoritmos de optimização convergiram rapidamente para um resultado muito interessante: a resistência máxima foi atingida com e , e assumiu o valor , ou seja, um valor acima da resistência da forma rectilínea. É efectivamente um resultado muito importante:

  1. representa um ganho considerável no valor da resistência, relativamente ao melhor resultado anterior (obtido em [18, 19]), que se situava acima do valor de referência;

  2. o conjunto correspondente tem uma forma bastante mais simples do que a do conjunto associada ao melhor resultado anterior, uma vez que é formada por dois arcos de parábolas simétricos, quando a anterior era constituída por catorze desses arcos;

  3. esse novo valor de resistência está já muito próximo do seu limite máximo teórico que, como se sabe, situa-se acima do valor de referência;

  4. os parâmetros óptimos parecem assumir valores que dão ao conjunto uma configuração com características muito especiais, como a seguir se perceberá.

Repare-se que os parâmetros óptimos parecem aproximar-se dos valores e . Coloca-se então a seguinte questão:

Não serão esses os valores exactos dos parâmetros óptimos?

A representação gráfica da função através de curvas de nível, Figura 2, está em perfeita concordância com essa possibilidade — repare-se que as curvas de nível parecem perfeitamente centradas no ponto de coordenadas , assinalado na figura por um “”.

(a) (b)
Figura 2: Curvas de nível da função .

Veja-se também, na Figura 3, o gráfico da resistência para , onde é igualmente perceptível uma surpreendente elevação da resistência quando . Calculou-se então numericamente a resistência da cavidade com os valores exactos e , tendo o resultado confirmado o valor .

Figura 3: Gráfico da resistência para .

Existe ainda uma razão adicional que sugere também uma resposta afirmativa à questão formulada. A forma do conjunto com e é um caso particular a que estão associadas características especiais que poderão justificar o elevado valor de resistência que apresenta. As duas secções da forma são arcos equivalentes de duas parábolas de eixos horizontais e concavidades voltadas uma para a outra — ver Figura 4. Mas a particularidade da configuração reside no facto do eixo das parábolas coincidir com a linha de entrada da cavidade (eixo dos ), e o foco de cada uma situar-se no vértice da outra. Repare-se que, sendo a equação da parábola do lado direito dada por , obtém-se , confirmando que o vértice é em e que o foco dista deste uma unidade. Desse modo, por razões de simetria, os focos e os vértices das duas parábolas situam-se nos extremos da abertura da cavidade, e , tal como se ilustra no esquema da Figura 4b.

(a) (b)
Figura 4: Forma 2D (quase) óptima — futuramente conhecida por Dupla Parábola.

O elevado valor da resistência desta forma de cavidade está ainda expresso, embora de modo implícito, no gráfico da função integranda da funcional (3), apresentado na Figura 5. Trata-se de uma superfície com uma forma bastante suave em quase todo o seu domínio e, mais importante, quase não varia com e parece descrever a forma da função na direcção do eixo dos . Estes atributos, quando verificados na sua plenitude, estão associados ao maior valor de resistência admissível, .111Se a função integranda tomar a forma , de (3) obtém-se .

Figura 5: Gráfico da função integranda .

Esta forma de cavidade parece tratar-se efectivamente de um caso muito particular. Contrariamente ao que se passou com todas as outras formas anteriormente estudadas, a função integranda aparenta uma forma bastante suave, apresentando apenas pequenas irregularidades para ângulos de pequena amplitude. Atendendo a essa característica, e tendo em conta que quase não depende de , a resistência foi calculada, para esta forma em particular, usando a regra de Simpson na integração em ordem a . A dupla integração na equação (3) foi então aproximada numericamente pela seguinte expressão:

(9)

com para ímpar e para par, , , e . e são o número de subintervalos a considerar na integração das variáveis e (ambos números pares), respectivamente, e e os incrementos para as correspondentes variáveis discretas. Dado que a forma apresenta simetria horizontal, o primeiro somatório da expressão considera apenas a segunda metade do intervalo de integração da variável .

Para que passe a ser facilmente referenciável, esta forma de cavidade (Figura 4a) passará, a partir de agora, a ser designada simplesmente por “Dupla Parábola”. Assim, no contexto deste trabalho, o termo “Dupla Parábola” deve ser sempre entendido como o nome da cavidade cuja forma é descrita por duas parábolas que, para além de serem geometricamente iguais, encontram-se “encaixadas” na disposição peculiar que referimos.

Uma vez que a resistência da Dupla Parábola assume um valor já muito próximo do seu limite teórico, numa derradeira tentativa de se vir a conseguir atingir esse limite, resolveu-se estender ainda o estudo a outras classes de funções que admitissem a Dupla Parábola como caso particular ou que permitissem configurações próximas dessa forma quase óptima. Em todos esses casos os melhores resultados foram invariavelmente obtidos quando a forma das curvas se aproximou da forma da Dupla Parábola, sem nunca terem superado o valor . Começou-se por considerar funções seccionalmente quadráticas, incluindo curvas splines, sem que se conseguissem resultados interessantes; apenas para funções de ou segmentos foi possível aproximarmo-nos da resistência e da forma da Dupla Parábola. Consideraram-se também funções cúbicas e biquadráticas222Nas curvas biquadráticas, o ponto de intercepção da trajectória da partícula com a fronteira da cavidade é calculado resolvendo uma equação do 4º grau. As raízes dessa equação foram obtidas numericamente usando o método descrito em [8]. As equações de ordem inferior foram sempre resolvidas recorrendo às conhecidas fórmulas resolventes., mas em ambos os casos o processo de optimização aproximou-as a curvas de ordem quadrática, com os coeficientes de maior ordem a tomarem valores quase nulos. Estudou-se o problema na classe das secções cónicas, considerando-se, para faces laterais da cavidade, dois arcos simétricos quer de uma elipse quer de uma hipérbole. Também nestes casos os arcos assumiram uma forma muito próxima dos arcos de parábolas.

Sendo a Dupla Parábola a melhor forma encontrada, e tratando-se de uma forma quase óptima, na secção que se segue é objecto de um estudo aprofundado, de natureza essencialmente analítica, onde se tentam perceber as razões do seu bom desempenho.

4 Caracterização das reflexões na forma “Dupla Parábola”

Cada uma das ilustrações da Figura 6 reproduz, para a “Dupla Parábola”, uma trajectória concreta, obtida com o nosso modelo computacional.

(a) , . (b) , . (c) , .
(d) , . (e) , . (f) , .
Figura 6: Exemplo de trajectórias obtidas com o modelo computacional.

É reconfortante verificar que, à excepção da última trajectória, em todas as restantes a partícula surge à saída da cavidade com uma velocidade quase invertida relativamente àquela que foi a sua velocidade de entrada. Este é o “sintoma” que caracteriza inequivocamente uma cavidade de óptimo desempenho. Mesmo no caso da trajectória da ilustração (f), a direcção da velocidade de saída parece não andar muito distante da de entrada.

Se analisarmos as cinco primeiras ilustrações, verificamos existir algo em comum no comportamento da partícula: para descrever a trajectória, a partícula é sempre sujeita a três reflexões. Esta parece ser uma característica determinante para a aproximação dos ângulos de entrada e de saída. Se, por exemplo, imaginarmos três trajectórias com configurações próximas, respectivamente, das trajectórias (a), (b) e (c), mas com a diferença de não possuírem a terceira reflexão, o resultado será completamente diferente, como facilmente se depreende das ilustrações. Embora esta convicção seja por enquanto de natureza essencialmente empírica, os resultados do estudo que se segue vão no sentido de confirmar que uma parte muito significativa das trajectórias “benignas” — aquelas em que os vectores velocidade de entrada e de saída são quase paralelos; chamemos-lhes assim por representarem contribuições positivas na maximização da resistência — subentendem exactamente três reflexões.

Vamos agora tentar interpretar outro tipo de resultados obtidos com o nosso modelo computacional, começando pela representação gráfica do valor da diferença entre os ângulos de entrada e de saída (, em função da posição de entrada e do ângulo de entrada — ver Figura 7. O gráfico foi produzido usando valores, uniformemente distribuídos, para cada uma das variáveis e — dada a simetria da cavidade em relação ao eixo , obter-se-ia um resultado equivalente para o intervalo .

Figura 7: Representação gráfica da diferença angular .

Este gráfico mostra-nos que, independentemente do valor da posição de entrada , a diferença angular é aproximadamente nula para ângulos de entrada de amplitude elevada, apresentando valores menos interessantes quando se aproxima de zero. Portanto, começa-se a perceber que as trajectórias “benignas” têm origem essencialmente em ângulos de entrada de amplitude elevada.

Os gráficos das figuras 8 e 9, que se seguem no nosso estudo, foram produzidos com pares de valores , gerados por um processo aleatório de distribuição uniforme. O primeiro deles mostra a distribuição dos pares no plano cartesiano.

Figura 8: Representação no plano cartesiano da distribuição dos pares .

Os pontos concentram-se nas proximidades da diagonal , o que é revelador de um bom comportamento da cavidade. Também com estes resultados se confirma que a resposta da cavidade se vai deteriorando quando se aproxima de zero.

Vejamos o segundo gráfico, expresso na Figura 9, onde se encontra representada no plano cartesiano a distribuição dos pares , sendo a altura atingida pela partícula.

Figura 9: Distribuição no plano cartesiano dos pares , sendo a altura atingida pela partícula.

Pela análise da figura, constatam-se essencialmente duas coisas: que a altura atingida pela partícula quase não depende da posição de entrada , dependendo essencialmente do valor do ângulo de entrada , em especial para ângulos elevados — esta relação é perceptível na Figura 6, quando comparamos a ilustração (a) com a (d) e a (c) com a (e) —; e que a altura que a partícula pode atingir aumenta com a diminuição da amplitude do ângulo de entrada.

Comparando agora os gráficos 8 e 9, percebe-se que existe uma forte correlação entre o desempenho da cavidade e a altura atingida pela partícula: quanto mais elevada é a altura atingida, maior é a dispersão dos valores em relação à diagonal . Este facto leva-nos a supor que a forma do contorno da cavidade é a ideal junta da sua base, mas vai deixando de o ser à medida que nos aproximamos do topo da cavidade.

A zona da cavidade que interage com a partícula parece não ser o único factor a condicionar a similitude entre os ângulos e . Se repararmos no gráfico 8, parece existir uma perturbação adicional no comportamento da cavidade quando a amplitude do ângulo de entrada é inferior a cerca de , que leva a que alguns pares fiquem, em relação aos restantes, mais dispersos e mais distantes da diagonal . Chamámos já a atenção para a possível importância das 3 reflexões no grau de aproximação verificado nos ângulos e . Ocorre-nos por isso a seguinte questão: não será precisamente o número de reflexões que, ao se diferenciar das 3 ocorrências, interfere tão negativamente no comportamento da cavidade? As investigações que se seguem vão demonstrar, entre outras coisas, que esta nossa suspeita tem fundamento.

A confirmar-se a nossa última conjectura, e atendendo ao aspecto da distribuição dos pares no gráfico 8, é expectável que exista para um intervalo que abarque todas as trajectórias que não sejam formadas por 3 reflexões. A existência e identificação desse intervalo são garantidas com a demonstração apresentada na subsecção 4.1 do postulado que se segue:

Para ângulos de entrada superiores (em valor absoluto) a , o número de reflexões a que a partícula é sujeita no interior da cavidade é sempre igual a três, e ocorrem alternadamente nas faces esquerda e direita da cavidade, para qualquer que seja a posição de entrada.

De forma a verificarmos que as deduções que fizemos estão efectivamente em concordância com os resultados numéricos do modelo computacional desenvolvido, apresentamos mais dois gráficos, Figuras 10 e 11, ambos produzidos com pares de valores , gerados aleatoriamente com distribuição uniforme.

Figura 10: Distribuição no plano cartesiano dos pares , sendo o nº de colisões.

Como pode ser observado na Figura 10, todas as trajectórias com 4 ou mais reflexões (colisões), entre as consideradas, aconteceram dentro do intervalo . Fora desse intervalo (para ) as trajectórias são sempre de três reflexões. Adicionalmente, podemos também verificar não existir qualquer trajectória com menos de três reflexões. Provaremos na subsecção 4.2 ser esta também uma característica da cavidade.

Não menos elucidativo é o resultado apresentado no gráfico da Figura 11, onde diferenciámos dos restantes os pares que estão associados a trajectórias com 3 reflexões.

Figura 11: Distribuição dos pares : () pares associados a trajectórias com 3 reflexões; () pares associados a trajectórias com 4 ou mais reflexões.

Constata-se, tal como suspeitávamos, que os pares que se encontram mais dispersos e mais distantes da diagonal , estão todos eles associados a trajectórias com 4 ou mais reflexões.

Das conclusões a que chegámos podemos de imediato retirar o seguinte corolário: mesmo nas condições que conduzem ao pior desempenho da cavidade — 4 ou mais reflexões —, a diferença angular , por maior que seja, nunca será superior a , valor que é bastante inferior ao maior ângulo que é possível formar entre dois vectores (). A demonstração deste corolário é simples: como uma trajectória de 4 ou mais reflexões está sempre associada a um ângulo de entrada , o ângulo de saída situar-se-á necessariamente no mesmo intervalo; tendo em conta a propriedade de reversibilidade associada à lei de reflexão que rege as reflexões, se por absurdo admitíssemos , ao invertermos o sentido de marcha da partícula, passaríamos a ter uma trajectória de mais de 3 reflexões com um ângulo de entrada situado fora do intervalo , o que entraria em contradição com o postulado inicial. Os resultados apresentados na Figura 11 estão em concordância com este novo facto, uma vez que todos os pares com mais de três reflexões parecem situar-se no interior da região .

Resumindo:

  • A altura que a partícula atinge no interior da cavidade interfere negativamente na aproximação dos ângulos e , levando-nos a pensar que a forma da cavidade é a ideal, ou muito próxima da ideal, junto à sua base, mas vai perdendo qualidades em zonas mais elevadas da cavidade;

  • O maior desfazamento entre e ocorre em trajectórias de 4 ou mais reflexões;

  • Verifica-se, em todo o intervalo de variação de , uma grande predominância das trajectórias com 3 reflexões;

  • Não existem trajectórias com menos de 3 reflexões;

  • O ângulo crítico tem o valor: ;

  • Fora do intervalo , todas as trajectórias são de 3 reflexões;

  • Em trajectórias com 4 ou mais reflexões, a diferença angular é delimitada por : .

4.1 Uma condição suficiente para a ocorrência de três reflexões

Teorema 1.

Para ângulos de entrada superiores (em valor absoluto) a , o número de reflexões a que a partícula é sujeita no interior da cavidade Dupla Parábola é sempre igual a três, e ocorrem alternadamente nas faces esquerda e direita da cavidade, para qualquer que seja a posição de entrada.

Para demonstrarmos o teorema que acabámos de enunciar, estudaremos a trajectória de uma partícula passo a passo, desde o momento em que entra na cavidade até ao momento em que a abandona, e usaremos as ilustrações das figuras 1214 para nos auxiliarem nessa demonstração.

Considere-se uma partícula que entra na cavidade em , com o vector velocidade a formar um ângulo com o eixo vertical, tal como se encontra representado nas ilustrações da Figura 12, onde assumimos que o eixo de simetria da cavidade é o eixo dos e que a sua base assenta no eixo dos . Assim, a posição da partícula à entrada da cavidade assume apenas valores no intervalo .

Figura 12: Conjunto de ilustrações para estudo da trajectória de partículas com ângulos de entrada , na cavidade “Dupla Parábola”.

Dada a simetria da cavidade em relação ao seu eixo vertical, será suficiente analisar o seu comportamento para . As conclusões a que chegarmos serão assim igualmente válidas para .

Analisemos então em detalhe e separadamente cada um dos subtrajectos que compõem toda a trajectória descrita pelo movimento da partícula no interior da cavidade.

Subtrajecto

Para , temos a garantia de que a primeira reflexão ocorre na curva parabólica do lado esquerdo da cavidade, tal como pode ser facilmente deduzido a partir da ilustração (a). Para que a partícula colida na curva esquerda bastaria que o ângulo fosse superior a , grandeza que tem como majorante . Teremos assim o trajecto inicial da cavidade representado na ilustração (a) pelo vector .

Subtrajecto

Após colidir em , de acordo com a lei de reflexão, a partícula segue pelo trajecto . Demonstremos que tem o sentido ascendente — ilustração (a). Tracemos o segmento de recta , paralelo ao trajecto inicial da partícula e que passe pelo foco da parábola esquerda (). Pela propriedade focal dessa parábola, uma partícula que tome o subtrajecto , após a reflexão em , seguirá numa direcção horizontal (prosseguindo depois o seu trajecto, após nova reflexão, em direcção ao foco da segunda parábola). Ocorrendo a primeira reflexão da partícula em , um ponto da curva necessariamente posicionado abaixo de , o trajecto , que seguirá de imediato, será no sentido ascendente, pois a derivada da curva nesse ponto () é superior à derivada em , onde a trajectória que se seguia era horizontal.

Embora saibamos já que tem o sentido ascendente, ainda nada nos garante que a segunda reflexão aconteça necessariamente na parábola do lado direito. Se conseguirmos verificar que para a segunda reflexão é sempre no lado direito, para qualquer que seja a posição de entrada , então, por maioria de razão, o mesmo sucederá para qualquer valor . Esta premissa pode ser facilmente aceite com o auxílio da ilustração (a) da Figura 13: para qualquer valor de , com a primeira reflexão num dado ponto , é sempre possível traçarmos uma trajectória para que apresente a primeira reflexão no mesmo ponto ; sendo a segunda reflexão na curva do lado direito para o caso , necessariamente o mesmo acontecerá para a trajectória com , pois o ângulo de reflexão será menor neste segundo caso, tal como se ilustra na figura. Por conseguinte, bastar-nos-há provar para , que a segunda reflexão ocorre sempre na parábola do lado direito, para que o mesmo fique provado para qualquer que seja o .

Figura 13: Ilustrações para estudo da segunda reflexão.

Na ilustração (b) da Figura 13 encontra-se representada a trajectória até à segunda reflexão de uma partícula com ângulo de entrada ( e ). Como se depreende da ilustração, a reflexão só acontecerá na curva do lado esquerdo se o ângulo for menor que . Determinemos o valor dos dois ângulos.

Sendo as coordenadas do ponto , teremos , logo

(10)

Para chegarmos ao valor de resolvemos o sistema de três equações, de incógnitas , e , que se retira directamente da geometria da própria figura

A linha tangente à curva em faz com a vertical um ângulo cuja tangente tem por valor a derivada da curva nesse ponto (em ), onde . Por isso, esse ângulo surge representado na terceira das equações pela grandeza .

Resolvendo o sistema, obtém-se para o seguinte resultado

(11)

Provemos finalmente que , para qualquer que seja . Das equações (11) e (10), será equivalente a provarmos

Dado que , ambos os membros da inequação representam ângulos situados no primeiro quadrante do círculo trigonométrico. Por isso podemos manter a inequação para a tangente dos respectivos ângulos. Aplicando a tangente a ambos os membros, depois de efectuadas algumas simplificações trigonométricas, chegamos á seguinte relação

que, com simplificações algébricas adicionais, toma a forma

Como , facilmente se constata que tanto o numerador como o denominador da fracção presente nesta última inequação são grandezas positivas. Logo , que contraria a condição que era necessária para que a reflexão ocorresse na curva do lado esquerdo, ficando assim provado, como pretendíamos, que em nenhuma situação a reflexão da ilustração (b) da Figura 13 acontece na curva do lado esquerdo. Por maioria de razão, podemos então também concluir que o mesmo sucede para qualquer que seja : a segunda reflexão da partícula ocorre sempre na parábola do lado direito.

Subtrajecto

Demonstremos que o subtrajecto tem o sentido descendente — ilustração (b) da Figura 12. Imagine-se, para o efeito, um subtrajecto , paralelo a e que passe no foco . O subtrajecto que se seguiria à reflexão em — um ponto da parábola do lado direito situado abaixo de — seria horizontal. Sendo a derivada da curva em superior ao valor da derivada em , o subtrajecto será necessariamente de natureza descendente.

Ainda que já saibamos que o subtrajecto é descendente, ainda não mostrámos que esse subtrajecto em nenhuma situação conduz a partícula directamente para a saída da cavidade. Segue-se então a demonstração de que a reflexão ocorre sempre numa posição superior a — ilustração (c) da Figura 12. Tracemos , um segmento de recta horizontal que passe no ponto de reflexão . Se a partícula seguisse esse trajecto, colidiria no mesmo ponto , mas dirigir-se-ia para . Logo, pela lei de reflexão, terá que estar acima de , pois faz um ângulo com o vector normal à curva em menor que o formado pelo segmento .

Subtrajecto

Vamos agora mostrar que o subtrajecto que se segue à reflexão em cruza o segmento , isto é, direcciona-se para fora da cavidade — ilustração (d) da Figura 12. Tracemos então , um segmento de recta horizontal que passe no ponto de reflexão . Se a partícula seguisse esse trajecto, colidia em e dirigir-se-ia para . Logo, pela lei de reflexão, a recta onde assenta o subtrajecto terá necessariamente que passar abaixo de , pois faz um ângulo com o vector normal à curva em maior que o formado pelo segmento . Mostrámos que o subtrajecto cruza o eixo dos num ponto situado à esquerda de , mas ainda não mostrámos que ocorre à direita de . Para tal, teremos que demonstrar que a terceira é a última das reflexões, isto é, que em nenhuma situação ocorre uma quarta reflexão na parábola do lado esquerdo. Segue-se essa demonstração, de todas a mais complexa e a mais demorada.

Para provarmos que a seguir à terceira reflexão não ocorre qualquer outra colisão na parábola esquerda, vamos mostrar que uma quarta colisão — representada por na ilustração (a) da Figura 14 — tem sempre origem num ângulo de entrada inferior a .

Figura 14: Ilustrações para estudo de uma hipotética quarta reflexão.

Iremos assim estudar o trajecto da partícula na ordem inversa à sua progressão: começamos por admitir a existência do subtrajecto da ilustração (a) e analisaremos as suas implicações em todo o trajecto precedente.

Na ilustração (a) da Figura 14 encontram-se representados os subtrajectos e . Comecemos por relacionar com , os ângulos que os vectores e , respectivamente, formam com o eixo vertical. Para o efeito resolvemos o sistema de três equações, de incógnitas , e , que se retira da geometria da figura,333As variáveis denotadas por e , com , representam as coordenadas do -ésimo ponto de reflexão, identificado por .

obtendo-se

em que é o ângulo que a recta tangente à curva em faz com a vertical — o declive da recta tangente é dado por . Por sua vez, o ângulo pode ser expresso da seguinte forma

o que nos permite escrever em função unicamente das ordenadas e dos extremos do vector ,

(12)

Para conseguirmos provar o que pretendemos — impossibilidade de ocorrência da reflexão — precisamos de encontrar um minorante para a ordenada da posição onde ocorre cada uma das quatro reflexões, ou seja, determinar , tal que

(13)

Facilmente se percebe que . Vamos então determinar os outros três minorantes, começando por .

Sabemos que ; logo, de (12) retiramos que

Atendendo a que se situa no primeiro quadrante do círculo trigonométrico, podemos manter as desigualdades para a tangente dos respectivos ângulos. Após algumas simplificações algébricas, obtemos

(14)

A equação da recta que liga a toma a forma

com e . Como estamos interessados em encontrar a ordenada do ponto de intercepção dessa recta com a curva parabólica situada no lado direito, de equação

temos de resolver a equação de segundo grau, na variável , que resulta da eliminação da variável por combinação das duas equações anteriores. A ordenada , da segunda reflexão, sendo a raíz positiva da equação, toma a forma

A grandeza é expressa em função de duas variáveis, e , que como sabemos assumem apenas valores positivos. De forma a aceitarmos mais facilmente as deduções que iremos fazer no encalço de , imaginemos, sem qualquer perda de generalidade, que é um valor fixo. Comecemos por mostrar que a derivada de em ordem à variável ,

(15)

tem um valor negativo para qualquer que seja o valor de . Como , forçosamente , logo os dois radicandos presentes na equação (15) têm sempre um valor positivo. A restrição permite-nos ainda deduzir sucessivamente as seguintes desigualdades

Esta última desigualdade confirma que , para qualquer que seja o . Assim, o valor é tanto menor quanto maior for o valor de . Como se depreende de (14), , logo

Substituindo , obtém-se, após algumas simplificações,

(16)

Para encontrarmos o valor mínimo de começamos por derivar,

Sendo os radicandos claramente positivos, apenas temos que nos preocupar com o numerador da fracção. Encontrarmos as raízes da função derivada equivale por isso a resolvermos a equação

que pode ser simplificada na seguinte:

Esta equação polinomial tem uma única raíz real positiva, de valor

significando que tem um mínimo global em , pois, como mostramos a seguir, e a função não apresenta outros pontos de estacionaridade.

Mostremos então que , com

(17)

Mostrarmos que equivale a mostrarmos que o numerador da primeira fracção é superior ao numerador da segunda, em (4.1). Depois de elevarmos os dois termos ao quadrado, chegamos à inequação

Facilmente comprovamos a veracidade desta relação, dado que temos um único termo negativo () que, por exemplo, é inferior em valor absoluto ao termo constante (),

Fica assim completa a demonstração de que tem um mínimo global em , de valor

Portanto, de (16), concluímos finalmente que

(18)

Está então encontrado um minorante para a altura da segunda reflexão (ilustração (a) da Figura 14). Determinemos agora , um minorante para a altura da terceira reflexão .

Para que a reflexão ocorra na parábola do lado direito é necessário que o ângulo seja maior que o ângulo formado entre o eixo vertical e o segmento de recta que une com o vértice superior da cavidade,

(19)

Esta inequação, conjuntamente com a segunda relação de desigualdade de (14), permite-nos escrever

de que resulta a inequação

Como o polinómio da inequação tem derivada positiva e admite uma única raíz real, concluímos de imediato que a mesma constituiu um limite inferior para , sendo esse limite

(20)

Resta-nos determinar , um minorante para o valor de — ordenada onde ocorre a primeira reflexão. Para o efeito recorremos à ilustração (b) da Figura 14, que nos dá uma representação mais pormenorizada da parte da cavidade onde ocorrem as duas primeiras reflexões, e . O esquema apresentado foi construído contando que a primeira reflexão () ocorre num ponto mais elevado do que o da terceira reflexão (). É de facto essa a situação. Isso mesmo pode ser comprovado mostrando que é sempre menor que o ângulo formado entre o vector normal à curva em e o eixo vertical, ou seja

Pegando, em (14), no limite superior de e tendo presente que , construímos a seguinte sequência de desigualdades que comprova o que se pretende:

Tentemos agora encontrar . Podemos definir como sendo a ordenada do ponto de intercepção da parábola esquerda com a semi-recta de origem no ponto , posicionado o mais abaixo possível (), e com declive igual ao maior valor permitido para o declive da trajectória que antecede (