Введение
Аннотация

В работе исследуются эффекты синхронизации и десинхронизации в ансамблях фазовых осцилляторов с глобальной связью типа Курамото-Сакагучи при воздействии на них общим шумом. В связи с тем, что механизмы синхронизации за счет связи и общего шума существенно различны, представляет интерес выяснение особенностей их взаимодействия. В термодинамическом пределе большого числа осцилляторов, с помощью подхода Отта-Антонсена, выведены стохастические уравнения для параметра порядка и изучена их динамика как в случае идентичных осцилляторов, так и в случае малой расстройки собственных частот. Для идентичных осцилляторов исследована устойчивость состояния полной синхронизации и выявлено, что достаточный уровень общего шума может синхронизировать систему даже при отрицательной (отталкивающей) глобальной связи. Установлено нарушение равноправия между состояниями максимальной асинхронности (нулевого значения параметра порядка) и состоянием полной синхронизации: первое может быть только слабо притягивающим, тогда как второе может становиться адсорбирующим (переход к синхронизации становится необратимым). Исследована динамика перехода в синхронное состояние в зависимости от параметров. Для неидентичных осцилляторов полная синхронизация невозможно и адсорбирующее состояние исчезает: на его месте остается слабо притягивающее. Обнаружен и исследован нетривиальный эффект расхождения индивидуальных частот осцилляторов с отличающимися собственными частотами при умеренной отталкивающей связи, причем параметр порядка в этом случае остается достаточно большим. В Приложении к работе дается введение в теории Отта-Антонсена и Ватанабе-Строгаца.

Ключевые слова: Синхронизация, стохастические процессы, ансамбль Курамото-Сакагучи, подход Отта-Антонсена.

DOI:

Аннотация

We study the effects of synchronization and desynchronization in ensembles of phase oscillators with the global Kuramoto-Sakaguchi coupling under common noise driving. Since the mechanisms of synchronization by coupling and by common noise are essentially different, their interplay is of interest. In the thermodynamic limit of large number of oscillators, employing the Ott-Antonsen approach, we derive stochastic equations for the order parameters and consider their dynamics for two cases: (i) identical oscillators and (ii) small natural frequency mismatch. For identical oscillators, the stability of the perfect synchrony state is studied; a strong enough common noise is revealed to prevail over a moderate negative (repelling) coupling and to synchronize the ensemble. An inequality between the states of maximal asynchrony (zero-value of the order parameter) and perfect synchrony; the former can be only weakly stable, while the latter can become adsorbing (the transition to the synchrony becomes unidirectional). The dependence of the temporal dynamics of the transition on the system parameters is investigated. For nonidentical oscillators the perfect synchrony state becomes impossible and an absorbing state disappears; on its place, only a weakly stable state of imperfect synchrony remains. A nontrivial effect of the divergence of individual frequencies of oscillators with different natural frequencies is revealed and studied for moderate repelling coupling; meanwhile, the order parameter remains non-small for this case. In Appendix we provide an introduction to the theories of Ott-Antonsen and Watanabe-Strogatz.

Keywords: Synchronization, stochastic processes, Kuramoto-Sakaguchi ensemble, Ott-Antonsen ansatz.

DOI:

УДК 537.86, 001.891.57, 621.37

СИНХРОНИЗАЦИЯ В АНСАМБЛЯХ КУРАМОТО-САКАГУЧИ ПРИ КОНКУРИРУЮЩЕМ ВЛИЯНИЯ ОБЩЕГО ШУМА И ГЛОБАЛЬНОЙ СВЯЗИ

Д. С. Голдобин, А. В. Долматова, М. Розенблюм, А. Пиковский

Институт механики сплошных сред УрО РАН

614013 Пермь, ул. Акад. Королева, 1

Пермский государственный национальный исследовательский университет

614990 Пермь, ул. Букирева, 15

University of Potsdam

14476 Potsdam-Golm, Karl-Liebknecht-Str., 24/25

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского

603950 Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23

Введение

Явление синхронизации в ансамблях осцилляторов с разными видами связей хорошо изучено и освещено в литературе [1, 2]. Эффект синхронизации оказывает существенное влияние на поведение различных физических систем, например, лазерных установок или сверхпроводящих джозефсовновских контактов. Не менее важную роль описываемый эффект играет и в биологических системах, в частности, при некоторых нейродегенеративных заболеваниях наблюдается патологическая синхронизация активности нейронов [3]. Более того, синхронизацию можно наблюдать во многих социальных системах.

Еще одним возможным механизмом синхронизации осцилляторов является воздействие на них общим шумом [4]. Такой вид синхронизации также наблюдается в самых разных системах, в том числе оптических [6], экологических [7] и нейронных [5]. Несмотря на то, что в последние годы математическая теория синхронизации общим шумом получила значительное развитие [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18], физический механизм этого эффекта все еще остается не столь очевидным, как механизм синхронизации при наличии связи (см., например, [12, 13, 19]).

Примечательно, что воздействие малым общим шумом на ансамбль осцилляторов может иметь только синхронизирующее воздействие, тогда как общая связь может как синхронизировать, так и десинхронизировать систему (другими словами, она может быть как притягивающей, так и отталкивающей). Изучение взаимодействия влияний связи и общего шума на свойства синхронизации системы особенно интересно в связи с тем, что физические механизмы, лежащие в основе этих явлений, совершенно различны. Десинхронизация отталкивающей связью противодействует синхронизации общим шумом нетривиальным образом: они не могут компенсировать друг друга. Понимание тонких механизмов этого взаимодействия практически востребовано в тех случаях, когда необходимо противодействовать синхронизации, к которой приводит наличие общего шума, путем введения взаимной связи, что актуально для многих технических и биологических систем.

Некоторое время назад, в работе [20], были описаны нетривиальные эффекты, возникающие при воздействии на ансамбль идентичных осцилляторов Курамото синхронизирующим общим шумом в присутствии десинхронизирующей глобальной связи; полученные результаты дополняют более ранние работы [21, 22]. Было показано, что при наличии умеренной отталкивающей связи синхронизирующий эффект общего шума оказывается преобладающим, и система приходит в синхронное состояние. Однако при наличии расстройки собственных частот осцилляторов, средние частоты отдельных осцилляторов не притягиваются, а, наоборот, расталкиваются. Эффект расталкивания частот при синхронизации особенно примечателен в контексте того, что, например, Н. Винер (N. Wiener) определял синхронизацию, как ‘‘phenomenon of the pulling together of frequencies’’ (‘‘явление взаимного притяжения частот’’) [23]. При наличии синхронизирующей связи полный захват частоты не происходит, хотя средние частоты отдельных осцилляторов притягиваются друг к другу. В данной работе более подробно рассматриваются эти эффекты, а также строится обобщение результатов, полученных для случая чисто диссипативных связей [20], на более общий случай глобальной связи типа Курамото-Сакагучи, которая может иметь как диссипативную, так и консервативную компоненты.

В качестве основной математической модели рассматривается ансамбль фазовых осцилляторов с глобальной связью типа Курамото-Сакагучи, на который действует общий шум:

Здесь — это собственная частота -го осциллятора, — амплитуда общего шума, — нормированный гауссовский белый шум, — коэффициент связи, характеризует фазовый сдвиг в члене связи (или, другими словами, вклады ‘‘активной’’ () и ‘‘реактивной’’ () компонент связи). Восприимчивость фазы к шумовому воздействию, т.е. форма слагаемого , соответствует случаю квазигармонических осцилляторов, подверженных действию общего линейно поляризованного шума, и некоторым другим физическим системам. Примером первого могут служить осцилляторы Ван-дер-Поля при слабой нелинейности и шуме в одной из переменных или метрономы, смонтированные на общей платформе, подверженной случайному силовому воздействию, как в экспериментальной работе [24]; примером второго являются связанные электрические осцилляторы [25, 26]. В термодинамическом пределе удобно параметризовать осцилляторы значением их собственной частоты и переписать уравнения динамики осцилляторов в виде

(1)

где введен параметр порядка : . Форма уравнения (1), имеющего вид

(2)

где

позволяет провести полный анализ коллективной динамики системы с помощью подходов Ватанабе-Строгаца и Отта-Антонсена [27, 28, 29, 30] и предоставляет возможность более глубокого изучения тонких аспектов взаимодействия между механизмами синхронизации/десинхронизации общим шумом и глобальной связью. В термодинамическом пределе плотность распределения вероятности осцилляторов с собственными частотами допускает решение, параметризованное одной комплексной величиной (см. [30] и Приложение),

(3)

где подчиняется уравнению

(4)

Для плотности распределения фаз может быть вычислен комплексный параметр порядка (среднее поле):

где — плотность распределения собственных частот.

Главной задачей настоящей работы является обобщение результатов, полученных в [20], где был рассмотрен случай . Будет показано, что основными управляющими параметрами являются эффективная сила связи и эффективная частота ; часть полученных результатов будет аналогична результатам, полученным для , с соответствующими эффективными параметрами. Однако, динамика средней частоты осцилляторов оказывается существенно более сложной: в частности, в случае будет наблюдаться сдвиг средней частоты, в то время как для он исчезает.

Материал организован следующим образом. В разделе 1 рассмотрена динамика ансамбля абсолютно одинаковых осцилляторов, в этом случае возможно состояние полной синхронизации. Для одинаковых осцилляторов рассмотрены свойства устойчивости синхронного состояния и осредненная по времени динамика параметра порядка. Более тонкие характеристики, такие как плотность распределения вероятности для параметра порядка, могут быть аналитически найдены только в случае, если основная частота осцилляторов достаточно большая.

Раздел 2 посвящен рассмотрению более реалистичных систем осцилляторов, частоты которых отличаются друг от друга. В такой системе состояние полной синхронизации невозможно, но можно оценить среднюю по времени величину параметра порядка для состояния, близкого к синхронному, и состояния, близкого к абсолютно несинхронному. Более того, для случая высокочастотных осцилляторов оказывается возможным полностью описать динамику параметра порядка, в том числе вычислить плотность распределения вероятности.

В разделе  3 найдены средние частоты осцилляторов для системы неодинаковых осцилляторов. Показано, что в таком ансамбле не происходит полного захвата частоты, как и в случае отсутствия общего шума.

1 Ансамбль идентичных осцилляторов

В случае идентичных осцилляторов , и, принимая во внимание то, что , уравнение (4) может быть переписано в виде

(5)
(6)

Для удобства введем новый параметр порядка (то есть ). В новых переменных уравнения в смысле Стратоновича принимают следующий вид:

(7)
(8)

В терминах состоянию полной синхронизации () соответствует , а состоянию максимальной асинхронности () соответствует . Полученная система уравнений может быть исследована аналитически для (приближение к полной синхронизации) и (приближение к максимальной асинхронности).

1.1 Устойчивость синхронного состояния:

Для в ведущем порядке система уравнений (7)–(8) имеет вид

(9)
(10)

где и . Уравнение (9) может быть переписано в виде

откуда видно, что показатель Ляпунова оказывается

(11)

где означает осреднение по реализациям шума. Положительное значение означает, что состояние синхронизации является устойчивым. Видно, что шум вносит положительный вклад в , тогда как связь может вносить как положительный, так и отрицательный вклад.

Динамика управляется уравнением (10) и не зависит от . На основании этого можно написать уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности :

(12)

Это уравнение допускает стационарное -периодичное решение

где константа определяется из условия нормировки .

Тогда

(13)

Зависимость от показана на рис. 1. Видно, что влияние общего шума на устойчивость состояния синхронизации гораздо сильнее выражено для высокочастотных колебаний, и это влияние монотонно уменьшается с уменьшением собственной частоты осцилляторов. Ниже приводятся два способа, позволяющие вычислить показатель Ляпунова для высокочастотных осцилляторов без вычисления интегралов в (13).

Случай малого шума .

Интеграл в уравнении (13) в общем случае не может быть вычислен аналитически. Однако, можно оценить его асимптотическое поведение при . Принимая за малый параметр в уравнении (12), можно представить функцию плотности распределения вероятности в виде ряда , и найти . Тогда

(14)

Рис. 1: Зависимость от определяет показатель Ляпунова (см. уравнение (11)). Сплошной линией построено точное решение (13), пунктирная линия соответствует аппроксимации Галеркина (17)–(18), штрихпунктирная линия соответствует асимптотическому разложению (14). Для точного решения и аппроксимации Галеркина стремится у ненулевому конечному значению (примерно ) при .
Приближение Галеркина.

Двухпараметрическая функция

(15)

где , позволяет достаточно точно аппроксимировать функцию , определяемую уравнением Фоккера-Планка (12), и может быть использована в качестве аппроксимирующей функции для метода Галеркина [31]. Здесь и далее и обозначают эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. Заметим, что эти интегралы являются действительными конечными функциями чисто мнимого аргумента на . Выполним процедуру проецирования уравнения Фоккера-Планка (12) на подпространство функций (см. уравнение (15)). В случае стационарного состояния, уравнение (12) может быть проинтегрировано:

(16)

где — это постоянный по поток вероятности. При , решение уравнения (16) имеет вид . При , вид решения уравнения  (16) полностью соответствует с .

Перепишем уравнение (16) в операторном виде . Необходимо выполнить следующие условия:

которые позволяют определить константу и параметры и :

(17)

и

(18)

С учетом уравнений (17) и (18), можно найти зависимость и , параметризованную .

На рис. 1 видно, что аппроксимация Галеркина достаточно хорошо согласуется с точным решением (13), и оценить область применимости асимптотической формулы (14).

1.2 Динамика и потеря максимальной асинхронности

Уравнение динамики осредненного параметра порядка (где обозначает осреднение по реализациям шума) наиболее просто получить из системы уравнений (7)–(8), записанных в форме Ито:

(19)
(20)

Так как в форме Ито мгновенное состояние системы не зависит от шумового сигнала в этот же момент времени, , а детерминированная часть уравнения (19) содержит только константы и линейные по члены, можно осреднить уравнение (19) по реализациям шума и получить

(21)

Решение уравнения (21), соответствующее тому, что система изначально находится в состоянии максимальной асинхронности (), имеет вид:

(22)

Условие роста среднего значения параметра порядка

(23)

не совпадает с условием положительности показателей Ляпунова

(24)

так как в уравнении (23) вклад больших значений является более существенным. Уравнение (24) определяет, стремится ли система асимптотически к состоянию полной синхронизации , тогда как уравнение (23) определяет, стремится ли система уйти от состояний максимальной асинхронности, но при этом не запрещает системе возвращаться в слабо синхронные состояния от состояний с большими значениями . Таким образом, условие (23) слабее, чем (24).

1.3 Переход от максимальной асинхронности к синхронизации

Между состояниями полной синхронизации () и максимальной асинхронности () существует одно значительное отличие. Синхронное состояние является притягивающим, , переход в это состояние необратим, тогда как состояние десихронизации не притягивает к себе фазовые траектории. Более того, так как шумовое слагаемое в (5) не исчезает при , шум ‘‘выбрасывает’’ систему из этого состояния. Таким образом, так как синхронное состояние является притягивающим, переход к синхронизации является однонаправленным, и интерес представляет время перехода, которое может быть найдено из уравнения Фоккера-Планка для плотности распределения вероятности . Для системы стохастических уравнений (7)–(8) оно имеет вид

(25)

где оператор определен как

Это уравнение может быть решено аналитически для физически реалистичного случая больших частот .

1.3.1 Осреднение по высокочастотным колебаниям

Можно показать, что при исчезающе малых и распределение плотности вероятности принимает вид , где . Тогда для можно считать, что , и воспользоваться методом многих масштабов:  , где . В ведущем порядке уравнение (25) дает . В следующем порядке, , уравнение (25) дает

Проинтегрировав последнее уравнение по от до , находим

Чтобы избежать линейного роста по , необходимо обратить в ноль первое слагаемое. Тогда

Таким образом, плотность распределения вероятности определяется уравнением

(26)

где

Уравнение (26) может быть интерпретировано как уравнение Фоккера-Планка для стохастического уравнения

(27)

где эффективный шум является гауссовым и дельта-коррелированным,  .

Сильная десинхронизирующая связь ().

В этом случае уравнение (26) допускает стационарное решение с нулевым потоком вероятности:

(28)

Это означает, что в системе нет притягивающих состояний. Синхронное состояние не является асимптотически притягивающим в этом случае (). Плотность вероятности (28) позволяет найти среднее значение и дисперсию среднего поля

Асимптотически притягивающее синхронное состояние ().

В этом случае формальное решение может быть написано только для конечного потока вероятности  :

(29)

Распределение плотности вероятности имеет ‘‘тяжелые’’ хвосты, интегралы от которых расходятся. После нормировки можно найти , тогда как , что соответствует и также означает, что все состояния ‘‘собираются’’ при .

1.3.2 Переход к синхронному состоянию: Время перехода

В случае, когда состояние полной синхронизации является притягивающим, интерес представляет нахождение характерного времени перехода из состояния максимальной асинхронности к синхронному состоянию. Строго говоря, так как система может достигнуть состояния полной синхронизации только асимптотически, время перехода к этому состоянию всегда бесконечно. Однако, можно рассмотреть, как система приближается к состоянию, близкому к полной синхронности, и найти время перехода к некоторому большому значению . Для уравнения (27) (или уравнения (26)), время перехода от к определяется уравнением

(30)

где , , и , . Заметим, что в рассматриваемой задаче является границей области возможных состояний системы. Решение уравнения (30) имеет вид

Интегрируя по и полагая , можно найти

(31)

где мало по сравнению с суммой первого и второго слагаемого в скобках при . При время перехода является логарифмически большим , и это означает, что синхронное состояние притягивает траектории. При , время перехода имеет степенную зависимость от , то есть в этом случае синхронное состояние является отталкивающим, и фазовые траектории системы редко проходят вблизи этого состояния.

Физическая интерпретация для идентичных осцилляторов.

Результаты данного раздела могут быть резюмированы в виде следующей качественной картины. Для конкуренции между воздействиями связи и общего шума имеется критическое значение параметра связи . При превалирует воздействие шума: со временем ансамбль асимптотически приближается к состоянию полной синхронизации. При отталкивающая связь предотвращает полную синхронизацию. Однако, в последнем случае параметр порядка никогда не стремиться к нулю: наблюдается частичная синхронизация с флуктуирующим параметром порядка.

2 Неидентичные осцилляторы:
Переход к синхронизации

Рассмотрим ансамбль осцилляторов, имеющих разные собственные частоты . Будем считать, что частоты имеют Лоренцевское распределение с характерной шириной :

Функция может быть рассмотрена как аналитическая функция комплексного аргумента . Тогда интеграл с распределением может быть вычислен методами теории вычетов:

Уравнение (4), записанное для , дает замкнутое уравнение для параметра порядка

(32)
(33)

В терминах и , полученная система уравнений имеет вид

(34)
(35)

2.1 Состояния, близкие к синхронным ()

При уравнения (34)–(35) имеют вид

(36)
(37)

Аналогично случаю уравнений (9)–(10), можно найти

где определяется уравнением (13). В случае неидентичных осцилляторов , и система не может достигнуть состояния полной синхронизации. В стационарном случае среднее значение производной по времени от обращается в ноль. Тогда

(38)

Последнее уравнение справедливо при , что наблюдается при малой расстройке частот .

2.2 Потеря максимальной асинхронности

Записывая уравнения (34) и (35) в форме Ито и осредняя их по реализациям шума подобно тому, как это было сделано для вывода уравнения (21) в случае идентичных осцилляторов, можно получить

(39)

Для системы, изначально находящейся в максимально асинхронном состоянии (), до тех пор, пока , уравнение (39) дает решение вида

(40)

Так же, как и для случая идентичных осцилляторов, дальнейший анализ промежуточного поведения системы в общем случае не представляется возможным. Более подробный анализ возможен для осцилляторов с высокой собственной частотой .

2.3 Высокочастотные осцилляторы

Осреднение по высокочастотным колебания может быть выполнено точно так же, как и для случая одинаковых осцилляторов. В этом случае уравнение (27) примет вид

(41)

Для ненулевого состояние полной синхронности оказывается невозможным, поэтому параметр порядка всегда находится в пределах . Проинтегрировав уравнение Фоккера-Планка для стационарной плотности вероятности , находим

(42)

где — это верхняя неполная Гамма-функция. Полученное решение позволяет выразить следующие моменты параметров порядка:

(43)

На рис. 2 построено среднее значение параметра порядка в зависимости от силы связи при различных значениях . Примечательно, что для иднтичных осцилляторов состояние полной синхронности является притягивающим при .

Рис. 2: Сплошными линиями показана зависимость параметра порядка от  (см. уравнене (43)) при различных значениях , , , , (снизу вверх соответственно), пунктирная линия, стремящаяся к бесконечности при , соответствует .
Физическая интерпретация для коллективной динамики неидентичных осцилляторов.

Ансамбль неидентичных осцилляторов под действием общего шума ни синхронизируется, ни десинхронизируется. Для любой силы связи и уровня шума параметр порядка флуктуирует в диапазоне .

3 Неидентичные осцилляторы:
Взаимное притяжение и отталкивание частот

Обращаясь к вопросу о поведении средних частот неидентичных связанных осцилляторов, следует сразу отметить одно существенное отличие между случаями наличия и отсутствия шума. В отсутствие шума достаточно сильная притягивающая связь может полностью синхронизовать частоты двух неидентичных осцилляторов; однако, при наличии шума идеального совпадения средних частот не наблюдается даже при сколь угодно большой силе связи (для иллюстрации см. вставки (a) и (b) на рис. 3 в [20], где приведены результаты численного счета для ансамбля Курамото, ). Это обусловлено тем, что для случайного сигнала не запрещены периоды аномально больших возмущений, при которых сила притягивающей связи может становиться временно недостаточной для поддержания синхронизации частот. Увеличение силы притягивающей связи делает такие периоды все более редкими, но не невозможными. Ниже из результатов данного раздела можно явно видеть, что совпадение средних частот при притягивающей связи и общем шуме не бывает идеальным.

Рассмотрим динамику отдельных осцилляторов в ансамбле. Удобно отслеживать сдвиг фазы отдельного осциллятора относительно фазы синхронизованного кластера. Дополним уравнения (34) и (35) уравнением для сдвига фазы каждого отдельного осциллятора (см. уравнение (1));

(44)
(45)
(46)

где . В дальнейшем, для краткости записи, нижний индекс опускается.

Уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности состояний системы (44)–(46) имеет вид

(47)

где оператор определен как

(48)

3.1 Распределение сдвига фаз для высокочастотных колебаний

При исчезающе малых , и , плотность распределения вероятности , где

Тогда, при , можно считать , , и применить метод многих масштабов;  , где . В ведущем порядке уравнение (47) дает . В порядке уравнение (47) дает

Проинтегрировав полученное уравнение по от до , можно получить