Spectre des variétés hyperboliques

Sur le spectre et la topologie des variétés hyperboliques de congruence : les cas complexe et quaternionien

Nicolas Bergeron et Laurent Clozel Institut de Mathématiques de Jussieu
Unité Mixte de Recherche 7586 du CNRS
Université Pierre et Marie Curie
4, place Jussieu 75252 Paris Cedex 05, France
bergeron@math.jussieu.fr http://people.math.jussieu.fr/ bergeron Université Paris Sud
Unité Mixte de Recherche 8628 du CNRS
Laboratoire de Mathématiques
Bât. 425, 91405 Orsay cedex, France
Laurent.Clozel@math.math.u-psud.fr
Résumé.

En nous basant sur les résultats d’Arthur et de Mok, nous étendons aux variétés hyperboliques de volume fini complexes et quaternioniennes les résultats de [9]. Dans le cas du spectre sur les fonctions, nous montrons que nos résultats de «  quantification   » des valeurs propres sont optimaux. En guise d’application, on démontre enfin une «  propriété de Lefschetz   » pour l’application de restriction en cohomologie d’un quotient arithmétique non compact d’une boule vers un quotient d’une boule de dimension plus petite. Ce résultat généralise un résultat récent de Nair et en donne une version «  optimale   ».

1. Introduction

Dans cette note, nous étendons aux variétés hyperboliques de volume fini complexes et quaternioniennes les résultats de [9]. On considère donc des quotients de la forme est (isogène à) ou , en est un sous-groupe compact maximal, et est un sous-groupe de congruence (notion précisée plus loin).

En premier lieu, nous décrivons, dans le cas unitaire et en tout degré , le spectre du laplacien dans les -formes. Les résultats sont exactement analogues à ceux de [9] : les plus petites valeurs propres sont des entiers explicites ; les autres valeurs propres admettent une borne inférieure que l’on détermine, d’une part (ceci avait été fait dans [8] dans le cas unitaire) en supposant la «  conjecture de Ramanujan  » pour puis — argument inconditionnel — à l’aide de l’approximation connue de celle-ci. Dans le cas quaternionien, nos résultats sont moins précis en ce sens que nous ne décomposons pas le spectre selon les différents -types.111Les résultats de Pedon [23] montrent que ceci est déjà très difficile pour le spectre tempéré. Dans les deux cas nos résultats impliquent toutefois le théorème suivant.

Théorème 1.1.

Il existe une nombre réel , que l’on peut prendre égal à si on suppose la conjecture de Ramanujan, tel que pour tout , si est une valeur propre du laplacien dans les -formes de , alors

  1. est un entier pair, ou

  2. , où est la borne inférieure du spectre (dit tempéré) du laplacien dans les -formes de carré intégrable sur .

Noter que .

Dans le cas du spectre sur les fonctions on obtient en outre une énumération optimale des entiers qui peuvent intervenir dans le premier cas. Les démonstrations sont ici en tout point similaires à celles de [9], dont nous n’avons pas reproduit entièrement les arguments relatifs à la formule des traces : on les retrace brièvement, pour les groupes unitaires, dans le § 2 et pour les groupes dans le § 4. Rappelons le point clé : à l’aide de la formule de Masushima (généralisée, cf. [8, Ch.1]) le spectre du laplacien se ramène au calcul du caractère infinitésimal des représentations de apparaissant dans , et ce calcul, à son tour, peut être fait pour la forme quasi-déployée de . Or, quand est de rang 1, les propriétés d’intégralité du caractère infinitésimal dues à l’existence d’un grand sous-groupe compact maximal restreignent considérablement les représentations de qui nous concernent. Par ailleurs, le spectre discret de a été déterminé par Mok [19] (cas unitaire) et par Arthur [2] (cas des groupes orthogonaux quaternioniens) : leurs résultats nous permettent de conclure.222N.B. : dans tous les calculs relatifs aux laplaciens, il s’agit du laplacien positif : celui (normalisé de la façon indiquée) dont les valeurs propres sont positives.

Dans le § 3, nous décrivons quelques conséquences topologiques du théorème 1.1. Ces conséquences ont déjà été annoncées dans le cas unitaire lorsque le groupe est anisotrope; on tirerait des conséquences similaires dans le cas quaternionien. Nous préférons nous restreindre au cas unitaire mais traitons plus particulièrement le cas isotrope; cela nous permet en effet de généraliser un résultat récent d’Arvind Nair [20]. Le théorème obtenu est une version optimale de la «  propriété de Lefschetz   » pour l’application de restriction entre variétés de Shimura unitaires; cf. Théorème 3.1.

Comme on l’a dit, nos démonstrations sont inconditionnelles ; on a soigneusement isolé les estimées, meilleures, reposant sur la conjecture de Ramanujan. En revanche, notre point de départ — la description du spectre des groupes quasi-déployés, due à Arthur et Mok — repose, en l’état actuel de la théorie, sur la stabilisation supposée de la formule des traces (de Selberg) tordue. Voir [2, Chapitre 4] pour une discussion plus précise. Noter que cette stabilisation est maintenant annoncée par Waldspurger dans son exposé au congrès international de Séoul; la stabilisation attendue est conséquence de travaux de Waldspurger et Moeglin-Waldspurger.

2. Résultats spectraux : groupes unitaires

Dans ce paragraphe , est son sous–groupe compact maximal , et . Noter que est aussi égal à . Une variété hyperbolique de congruence est un quotient de obtenu de la façon suivante : soit une extension totalement réelle de , une extension quadratique de , et un -groupe dont l’extension des scalaires est le groupe des unités d’une algèbre simple centrale qui peut être l’algèbre des matrices. On suppose de plus que est isomorphe à ; on désigne par la place de correspondant au facteur non compact. Si est un sous-groupe de congruence, et sa projection sur , est un espace hyperbolique de congruence. (La différence entre les groupes unitaire et spécial unitaire n’est pas ici pertinente.)

Soit la forme de Killing de . Un calcul standard montre que (). On préfère — comme dans [8, Ch. 4] — renormaliser et considérer la forme invariante

Noter qu’en identifiant de manière naturelle l’espace tangent à en à l’espace vectoriel , la forme invariante induit sur sa forme hermitienne usuelle. La forme définit canoniquement la structure hermitienne (donc riemannienne) sur ainsi que le laplacien (riemannien) sur les -formes. Pour cette normalisation les courbures sectionnelles de sont comprises entre et . Rappelons enfin que contient un parabolique avec et [8, Ch. 4]. Enfin, on pose (malgré le conflit de notation) et .

Fixons , ainsi qu’un type de Hodge avec . Les représentations unitaires irréductibles de qui contribuent aux formes sur de type sont des séries discrètes (qui n’interviennent pas ici, la valeur propre correspondante de étant nulle) ou sont contenues dans l’induite d’une représentation de , donnée par des paramètres  : [8, § 4.5].

Théorème 2.1.

Les valeurs propres de dans les formes de type appartiennent à l’ensemble suivant :

  • , , et

  • , comme en (i).

    Si on suppose la conjecture de Ramanujan, (ii) est remplacée par :

  • , comme en (i).

Esquissons la démonstration.

Supposons d’abord anisotrope (comme -groupe). Notons la forme intérieure de sur , et parfois par abus de notation sur . Ainsi , . Mok [19], étendant les résultats d’Arthur au cas unitaire, a paramétré les représentations de apparaissant dans le spectre discret (pour ) par des paramètres d’Arthur relatifs à . On renvoie à [8, Chap. 6] pour une description détaillée. Un tel paramètre, , définit un caractère infinitésimal pour et aussi pour [8, Lemme 6.1]. Il définit aussi un paquet d’Arthur de représentations irréductibles de . On a alors (cf. [9, Lemme 3.4]) :

Lemme 2.2.

Si , le caractère infinitésimal de est celui associé à .

Ceci résulte de l’identité de caractères entre (paquet de) représentations de et la représentation correspondante de , cf. Mok [19, Théorème 2.5.1]. Soit le centre de l’algèbre enveloppante de et l’analogue pour . Il existe un homomorphisme surjectif [13]. Un paramètre du dual d’une algèbre de Cartan pour , définissant, via l’homomorphisme d’Harish-Chandra, un caractère de , donne par composition un caractère de , qu’on lui identifie. Notons , les homomorphismes d’Harish-Chandra.

Il résulte des identités de caractères dans le cas tempéré [13] et des arguments donnés dans [3, Chapitre 1] et [12, Appendice] que, pour sur et sur associées par les identités de changement de base stable, et sont associées (.

Considérons alors l’identité de caractères de Mok [19, Théorèmes 2.5.1, 3.21] :

(2.1)

Ici est l’unique représentation de associée à , parcourt , est une multiplicité, et est un signe. Si l’on remplace par dans (2.1), on en déduit, étant le paramètre infinitésimal de  :

(2.2)

pour toute associée à . Pour les groupes unitaires, la norme entre classes de conjugaison tordue dans et classes de conjugaison stable dans ) est surjective. L’identité (2.2) détermine donc la somme de caractères de droite au voisinage de tout élément régulier de . Les caractères étant linéairement indépendants et localement surjective, il en résulte que le caractère infinitésimal de chaque est égal à .

Nous pouvons maintenant imiter mot pour mot les arguments de [9, § 4.5]. A l’issue de la stabilisation (§ 4) puis de la déstabilisation (§ 5) de la formule des traces pour , on voit que le caractère infinitésimal d’une représentation de est la somme de caractère de représentations associées à des paramètres , de rang inférieur, de groupes unitaires quasi-déployés sur de rangs . Mais la somme directe des est un paramètre pour . Ainsi :

Lemme 2.3.

Si est une représentation de apparaissant dans , le caractère infinitésimal de provient d’un paramètre pour .

Nous sommes alors ramenés à la démonstration donnée dans [8, § 6.2]. Rappelons que le paramètre archimédien définit par restriction à

(2.3)

est un caractère de , une représentation de degré de , et . Les caractères vérifient l’estimée connue de Ramanujan pour les représentations cuspidales, i.e.

(2.4)

La conjecture de Ramanujan est .

Le caractère infinitésimal déduit de (2.3), un élément de , est

Or a coordonnées appartenant à . Si toutes ses coordonnées sont des demi-entiers, la démonstration du théorème est donnée dans [8, § 6.2] ; on est alors dans le cas (i). Dans le cas inverse, il pourrait intervenir dans la décomposition (2.3) un caractère avec , étant égal à ; et deux caractères avec multiplicité 1. Le premier cas est éliminé (inconditionnellement) dans [8, p. 70]. Dans le second, vérifie la majoration (2.4), donc est de la forme avec , réel soumis à (2.4). L’argument du corollaire 6.2.7 de [8] donne alors la minoration (ii).333Tel quel le corollaire 6.2.7 de [8] est incorrect : il ne donne que les valeurs propres «  discrètes  » et omet le spectre «  continu  » donné par (iii) du théorème 2.1, qui apparaît évidemment même sous la conjecture de Ramanujan.

Il nous reste à considérer le cas où est (globalement) isotrope. Vu la nature de , ceci implique que et que est un groupe unitaire de rang (rationnel) 1 sur , déployé sur un corps quadratique imaginaire . Dans ce cas, contient un spectre continu, et le théorème 2.1 reste vrai pour celui-ci. Considérons d’abord le spectre discret. Le point de départ des arguments de stabilisation/déstabilisation de [9, § 4–5] est la formule d’Arthur (cf. [9, § 5.7])

Rappelons qu’ici paramètre la norme de la partie imaginaire du caractère infinitésimal. On renvoie à Arthur ainsi qu’à [9, § 4, § 6] pour les détails. L’argument précédent a consisté à vérifier que la somme endoscopique est concentrée en un caractère infinitésimal donné par un paramètre d’Arthur, donc impliquant les estimées (i) ainsi que (ii) ou (iii) selon le cas. Pour obtenir le résultat pour le spectre discret, il nous suffit donc de comprendre les caractères infinitésimaux apparaissant dans le terme complémentaire (somme sur les sous-groupes de Levi propres) de l’expression de . Il n’apparaît ici qu’un seul sous-groupe, , le groupe étant anisotrope. La représentation induite est somme d’induites unitaires , étant un parabolique de sous-groupe de Levi , un caractère de et une représentation (cuspidale) de . Il n’y a qu’un élément régulier dans , envoyant vers est la conjugaison complexe. Le terme complémentaire concerne donc les données telles que , i.e. est une donnée unitaire (au sens de Mok) pour . (Le paramètre complet d’Arthur–Mok est alors est la représentation, associée à , de ). Le terme complémentaire est donc associé à une donnée d’Arthur–Mok, et les arguments précédents permettent de conclure. Enfin, une représentation du spectre continu est de même, d’après Langlands, induite à partir d’une donnée est maintenant un caractère unitaire de au sens usuel : , . La donnée associée est alors et a les mêmes propriétés. ∎

On peut expliciter un peu plus le théorème 2.1. L’espace symétrique est un domaine borné de . Soit le noyau de Bergmann de . Il lui correspond la forme de Kähler . Chaque quotient est une variété complexe hermitienne sur lequel la forme induit une forme de type . En plus des opérateurs , et de leurs adjoints, on dispose donc de l’opérateur de Lefschetz , cup-produit avec , et de son adjoint sur l’espace des formes différentielles de carré intégrable sur .

Fixons maintenant un entier , ainsi qu’un type de Hodge avec . Le sous-espace des formes différentielles de type se décompose en

(2.5)

désigne le sous-espace des formes primitives dans .

Il découle enfin des identités de Hodge que le sous-espace se décompose lui-même en une somme directe

(2.6)

désigne le sous-espace des formes primitives qui sont à la fois et cofermées, autrement dit

Puisque les décompositions (2.5) et (2.6) sont invariantes par le laplacien, pour décrire complètement le spectre de ce dernier il suffit de décrire le spectre sur les formes primitives de degré qui sont à la fois et cofermées. C’est l’objet du théorème suivant qui se déduit du théorème 2.1.

Théorème 2.4.

Soient un entier et un type de Hodge avec . Les valeurs propres du laplacien dans les formes primitives de type qui sont à la fois et cofermées appartiennent à l’ensemble

Si on suppose la conjecture de Ramanujan, on peut remplacer l’intervalle par .

Démonstration du théorème 2.4.

Notons la représentation adjointe de dans le produit extérieur du complexifié de l’espace tangent à . Rappelons (voir par exemple [8, Chapitre 4]) que la représentation se décompose en et que chaque se décompose en irréductibles de sorte que la formule de Matsushima ramène le calcul du spectre du laplacien dans au calcul du caractère infinitésimal des représentations de apparaissant dans et telles que .

Maintenant les représentations unitaires irréductibles de qui contribuent aux formes dans sont soit des séries discrètes (qui n’interviennent pas ici, la valeur propre correspondante du laplacien étant nulle) ou induites d’une représentation de . Il découle de plus de la réciprocité de Frobenius que la représentation de est un -type de . Or on a :

où chaque est une représentation irréductible de . Il découle finalement de [8, Théorème 9.4.3] qu’une représentation induite de contribue à précisément quand . Le théorème 2.4 se déduit alors de la démonstration du théorème 2.1 telle qu’esquissée ci-dessus. ∎

Contrairement au cas hyperbolique réel, nous ne connaissons pas de preuve que toutes les valeurs propres discrètes peuvent effectivement intervenir dans un quotient. Dans [8, Théorème 6.5.1] on donne une telle preuve lorsque . Le cas général devrait toutefois résulter des résultats d’Arthur et Mok mais nous ne l’avons pas vérifié. Modulo la conjecture de Ramanujan, le théorème 2.4 est en tout cas optimal pour le spectre du laplacien sur les fonctions, c’est-à-dire qu’il existe une variété hyperbolique complexe de congruence (compacte) dont le spectre du laplacien dans les fonctions contient les valeurs propres

3. Applications topologiques

Il découle en particulier du théorème 2.4 que la conjecture de [8] — ou encore la conjecture 2.3 de [5] — est vérifiée : pour tout entier la première valeur propre non nulle vérifie

(3.1)

Ce résultat a un certain nombre de conséquences sur la topologie des variétés ; conséquences que nous avons rassemblées sous le nom de propriétés de Lefschetz automorphes dans [5, Conjecture 1.1]. On renvoie à cet article pour les énoncés et leurs démonstrations lorsque le quotient est compact. On se contente ici de détailler ce qui reste vrai lorsque le quotient n’est plus supposé compact. On est alors réduit à une situation concrète, étudiée en particulier par Nair [20] :

Soient un corps quadratique imaginaire, un espace vectoriel de dimension sur et une forme hermitienne, relativement à la conjugaison de , telle que soit de signature sur . Un sous-groupe de congruence opère alors proprement discontinument sur l’espace symétrique . La variété quasi-projective est de volume fini mais non compacte; elle contient des sous-variétés de la même nature : à tout sous-espace défini sur , de dimension et auquel la forme hermitienne se restreint en une forme non dégénérée et indéfinie, on associe en effet un sous-groupe . Posant , on obtient une variété quasi-projective est le sous-espace symétrique associé au groupe . Il existe en outre un morphisme de variétés qui est fini d’image une sous-variété fermée de codimension .

Oda [21] a démontré qu’il existe un ensemble fini de sous-espaces comme ci-dessus, de dimension et tels que l’application de restriction

soit injective. La généralisation de ce résultat à des classes de degré et à des sous-espaces de dimension a été considéré par plusieurs auteurs, voir [15, 26, 5, 20]. Le théorème est démontré par Nair [20] lorsque .

Théorème 3.1.

Pour tout , il existe des sous-espaces de de dimension tels que l’application de restriction

(3.2)

soit injective pour .

On peut reformuler le théorème 3.1 à l’aide des correspondances de Hecke. À tout élément rationnel du groupe il correspond en effet une correspondance finie où la première application est la projection de revêtement et la seconde est induite par la translation par . Notons l’endomorphisme induit. Étant donné un sous-espace comme dans le théorème, on montre en fait que

pour toute classe de degré , il existe tel que l’image de dans par l’application de restriction soit non nulle.

Démonstration.

Il suffit de démontrer l’assertion pour des classes de cohomologie complexes. Maintenant si l’on remplace les groupes de cohomologie et par les groupes de cohomologie

le résultat est conséquence de [7, Chapitre 9], se référer en particulier à la démonstration du théorème 9.2, et du trou spectral (3.1).

On conclut en remarquant qu’un théorème de Zucker [29, Theorem 6.9] implique que l’application naturelle est un isomorphisme si (en particulier si ) et qu’elle est injective si . On applique ce dernier cas à plutôt qu’à lorsque . ∎

Cela implique le théorème 3.1. De la même manière on peut déduire de la démonstration de [7, Théorème 9.4] et du trou spectral (3.1) le théorème suivant relatif aux cup-produits dans la cohomologie de .

Théorème 3.2.

Soient et deux classes de cohomologie dans de degrés respectifs et avec . Il existe alors un élément rationnel du groupe tel que

4. Résultats spectraux : le cas quaternionien

4.1.

Dans ce chapitre on considère le cas où le groupe réel est isomorphe à [16, p. 354 de la 1ère édition]. Son sous-groupe compact maximal est isomorphe à , et l’espace symétrique est l’espace hyperbolique quaternionien, de dimension réelle . Nous renvoyons à Pedon [23] pour une description plus précise, ainsi que pour la description du spectre tempéré des formes différentielles sur l’espace quotient; retenons simplement que Pedon calcule explicitement la borne inférieure du spectre continu du laplacien dans l’espace des -formes sur . Dans tous les cas est un entier strictement positif; il est égal à si et égal à si (degré médian).

Nous considèrons le quotient de par un sous-groupe de de congruence , dans notre acception habituelle. Ici, est défini de la façon suivante. Soit un corps totalement réel, et un groupe semi-simple sur de type (absolu) . On suppose défini par une algèbre de quaternions sur , ramifiée aux places réelles, ainsi que par une forme quaternionienne-hermitienne sur un espace de dimension sur , relative à l’involution principale [25, p. 56]. On suppose l’indice de Witt de la forme égal à en une place réelle et à ailleurs. Ainsi . On choisit un groupe de congruence, au sens usuel, . Alors . Noter que de tels groupes existent d’après [10]. On supposera que opère librement, de sorte que est une variété. (Ceci est inutile si on accepte de travailler dans la catégorie des «  orbifolds  »). On écrira simplement pour .

On munit de la métrique riemanienne invariante dont les courbures sectionnelles sont comprises entre et (cf. [23, p. 234]). Ceci définit le laplacien dans les -formes, .

Rappelons les données combinatoires. Tout d’abord, est une forme (nécessairement intérieure) du groupe déployé . Son groupe dual est , et de même . En particulier l’entier tel que soit naturellement un sous-groupe de est égal à . Soit et . On peut identifier naturellement une sous-algèbre de Cartan de à , sur laquelle le groupe de Weyl absolu opère de la façon naturelle.

On suppose la forme orthogonale sur , définissant , donnée par la matrice

Alors

(4.1)

en est une sous-algèbre de Cartan, et un caractère infinitésimal de s’identifie, par l’isomorphisme d’Harish-Chandra, à un élément de , opérant comme auparavant sur . On renvoie à [8, § 6.3, 6.4] pour ces constructions (décrites là pour symplectique ou orthogonal pair).

Soit l’espace des -formes , et le laplacien. Sur une forme provenant d’une représentation irréductible [8, Ch. 1], opère par l’opérateur de Casimir . On a

est l’isomorphisme d’Harish-Chandra, et . (Rappelons que nous considérons le laplacien positif.) Un calcul simple, que nous ne reproduirons pas, donne alors le résultat suivant. Notons le paramètre complet, de dimension , du caractère infinitésimal, donné par (4.1); soit . Alors

Lemme 4.1.

On a

donc opère sur les formes correspondantes par

Ici est la demi-somme des racines, égale à de sorte que .

Rappelons que le dual unitaire de se compose des séries discrètes, des limites de séries discrètes, de représentations irréductibles de la série principale unitaire et de quotients de Langlands de la série principale non unitaire. Pour une description explicite voir Baldoni-Silva [4, Théorème 7.1]. Les seules représentations de la série discrète qui interviennent ici sont celles dont le caractère infinitésimal est égal à celui, , de la représentation triviale (voir le thèse de Pedon [22] ou [8, p. 39]). Elles sont au nombre de , et contribuent la valeur propre au spectre, uniquement en le degré médian .

On notera que ces représentations ne sont pas isolées dans le spectre unitaire, comme il résulte facilement de l’article de Vogan [27]; voir aussi [6].

Les limites de séries discrètes, et les représentations de la série discrète unitaire, contribuent (quand elles contiennent les -types associés aux formes différentielles) au spectre tempéré. Les valeurs propres correspondantes sont décrites par Pedon [23]; d’après des résultats connus, chacune peut être approchée (en degré ) par une valeur propre apparaissant dans pour un convenable. Elles feront donc partie du spectre automorphe. Cf. [8, Théorème 2.4.6].

Décrivons les séries principales. Le groupe possède un unique parabolique non trivial, le parabolique minimal . Le groupe (algébrique) s’identifie naturellement (vu la définition de comme groupe unitaire quaternionien) à

est l’algèbre de Hamilton. Son sous-groupe compact maximal est donc . Si on note la norme réduite, une représentation de la série principale s’écrit donc

(4.2)

. On écrira par la suite ; est une représentation irreducible de .

Le sous-groupe parabolique de associé à a une composante de Levi qui se décrit de la façon suivante.

(4.3)

, (pour la forme de matrice antidiagonale) et .

Décrivons les paramètres de Langlands des représentations (4.2). Ils sont donnés par

qui se décompose en . Le paramètre est associé à une représentation du groupe compact . D’après Langlands [18], il se décrit de la façon suivante. On a pour

sont des entiers. Le paramètre définit le plus haut poids d’une représentation de de la façon suivante. Le réseau des poids de s’identifie naturellement à . (Pour une description explicite, voir Pedon [23, p. 233].) La demi-somme des racines est . Le plus haut poids de la représentation  est

de sorte que .

Il reste à décrire et . La représentation étendue à préserve nécessairement les sous-espaces associés à , ; elle y est isomorphe à . D’après la formule pour le déterminant d’une induite, celui-ci est égal au transfert multiplié par le caractère d’ordre 2 de . Le transfert s’identifie au caractère de . Le déterminant est donc égal à . Puisque l’image de est contenue dans , ce paramètre est isomorphe comme représentation de  à

Décrivons . Il correspond à une représentation de , donc à une représentation de la série discrète de , non unitaire en général. On a donc

, , . En particulier ; définit le plus haut poids d’une représentation de : c’est la représentation . Le paramètre de (4.2) est

(4.4)

On écrira souvent pour le caractère de , qui définit donc la représentation induisante de .

Le paramètre infinitésimal associé à est, d’après un calcul standard [8, Lemme 6.3.1] :

donc, d’après le lemme 4.1, la valeur propre du laplacien associée, quand la représentation intervient dans les -formes, est

(4.5)

Vérifions la compatibilité de notre expression avec celle de Pedon [23, p. 237]. On vérifie aisément que le paramètre induisant «    » de Pedon pour la série principale [23, § 3.2] est égal à dans notre notation. Pour le laplacien positif, il obtient alors la valeur propre

(dans le dual de l’algèbre de Lie du centre connexe de ) est, dans sa paramétrisation, égal à , et est la valeur propre de l’opérateur de Casimir dans . On a ,

d’où l’expression de Pedon :

(4.6)

Or , , , et l’égalité de (4.5) et (4.6) résulte alors de

i.e. de

4.2.

En imitant le chapitre 6 de [8], nous décrivons maintenant, à la place réelle, les paramètres d’Arthur des représentations apparaissant dans . L’argument de réduction déjà utilisé dans [9] et qui sera résumé dans le § 4.5 nous ramène à considérer la forme quasi-déployée de : c’est le groupe orthogonal déployé d’un espace de dimension . On considère un paramètre d’Arthur pour (sur ). Rappelons qu’un tel paramètre est de la forme

En particulier on a aussi

On écrira simplement pour . Un tel paramètre s’écrit sous la forme

est une représentation irréductible de et une représentation irréductible de .

Considérons pour l’instant la restriction de à , . On peut écrire, changeant de notation :

(4.7)

est un caractère de . Un tel paramètre sera obtenu par restriction à la place réelle d’un paramètre relatif à (Arthur [1]). En particulier, dans (4.7), les caractères correspondent aux caractères induisants du facteur en d’une représentation cuspidale de , dont on a pris le changement de base à . Ils vérifient donc la majoration de Luo-Rudnick-Sarnak étendue dans [8, Chapitre 7] :

Rappelons que avec ici , le fait essentiel étant que . Dans ce qui suit, les résultats conditionnels (supposant la conjecture de Ramanujan généralisée) correspondent donc à .

Si , apparaît dans (4.7), on sait donc que

(4.8)

Il sera commode de noter le domaine de défini par cette inégalité :

(4.9)

Revenons à (4.7) et supposons que est restreint d’un paramètre pour . Le paramètre , ainsi que les , étant autoduaux, apparaît nécessairement avec . Si , est trivial. Donc est la somme des termes

(4.10)

et

(4.11)