Sur certains espaces de configurations associés aux sous-groupes finis de \mathrm{PSL}_{2}({\mathbb{C}})

Sur certains espaces de configurations associés aux sous-groupes finis de

Mohamad MAASSARANI IRMA, Université de Strasbourg, 7 rue René Descartes, 67084 Strasbourg, France maassarani@math.unistra.fr
Résumé.

On étudie des espaces de configurations liés à l’action d’un groupe fini d’homographies de . On construit une connexion plate sur cet espace à valeurs dans une algèbre de Lie . On établit un isomorphisme d’algèbres de Lie filtrées entre , l’algèbre de Lie de Malcev du groupe fondamental de cet espace et le complété pour le degré du gradué associé à cette algèbre de Lie. Ceci est obtenu grâce à la représentation de monodromie d’une connexion et une étude du groupe fondamental.

introduction

L’un des invariants associés à un espace topologique en homotopie rationelle est son modèle minimal. Le calcul du modèle minimal de , plus précisement du 1-modèle minimal, permet d’obtenir l’algèbre de Lie de Malcev de , le groupe fondamental de , par un processus de dualisation. Dans [FM], Fulton et MacPherson calculent explicitement des modèles des espaces de configurations , pour une variété projective complexe lisse. Ces modèles sont ensuite simplifiés dans [Kriz], puis utilisés par Bezrukavnikov ([bezr]) qui obtient une présentation de l’algèbre de Lie de Malcev de pour une surface de genre supérieur à un.
Une approche alternative, motivée par [Dr], repose sur l’utilisation de connexions plates et d’informations sur le groupe fondamental. En utilisant cette approche, différents résultats sont obtenus :

  1. calcul de l’algèbre de Lie de Malcev de pour de genre ([CEE]) puis en genre ([BE3]) ; ce qui donne une autre démonstration aux présentations obtenues par Bezrukavnikov.

  2. calcul de l’algèbre de Lie de Malcev d’"espaces de configurations d’orbites", au sens de [CKX], pour les groupes des racines de l’unité opérant sur ([BE]).

Dans ce papier, on considère plus généralement un groupe fini d’homographies agissant sur et l’espace associé :

dans lequel est l’ensemble des points de à stabilisateur trivial pour . En utilisant la méthode des connexions plates, on calcule une présentation de l’algèbre de Lie de Malcev de et on montre (théorème LABEL:Th) que cette algèbre de Lie est isomorphe à la complétion pour le degré de son gradué associé qui coïncide avec une algèbre de Lie explicite (définition LABEL:def_AL). On obtient par ailleurs la 1-formalité de .

Détaillons les étapes permettant d’obtenir ce résultat. Dans la première section, on définit une algèbre de Lie , puis on construit une connexion plate sur à valeurs dans . Cette connexion nous donne une représentation de monodromie , où est le foncteur qui à une algèbre de Hopf associe le groupe de ses éléments diagonaux.
On rappelle en section 2 quelques notions de topologie différentielle qui seront utilisées dans la section 3, laquelle est consacrée à l’étude du groupe fondamental d’un espace de configurations d’orbites associé à une surface munie d’une action d’un groupe fini. Dans cette section, on donne notamment une famille génératrice de et des relations entre ces éléments de .
La quatrième section est consacrée à des rappels de notions liées aux algèbres de Lie de Malcev et aux algèbres de Hopf complètes.
Dans la section 5, on utilise le morphisme de monodromie de la section 1 pour construire un morphisme de l’algèbre de Lie de Malcev de sur dans . D’autre part, on obtient grâce aux générateurs et relations de un morphisme , où l’espace d’arrivée est le complété pour le degré du gradué associé de . En examinant la composée de avec , on conclut que les trois algèbres de Lie , et sont isomorphes en tant qu’algèbres de Lie filtrées.
Enfin, la dernière section, on construit des torseurs dont la composée de la section 5 est un point complexe. Ensuite, on utilise un résultat sur l’existence de points rationnels de ces torseurs pour déduire que , et sont isomorphes comme algèbres de Lie filtrées.
Notons que la 1-formalité des espaces est également une conséquence du résultat principal de [Koh], et dans le cas ou est un groupe de racines de l’unité, une présentation de l’algèbre d’holonomie peut également être déduite de ce résultat.

1. Connexion sur l’espace de configuration et représentation de monodromie.

Dans cette section, on considère une action d’un groupe fini sur (sect. 1.1). On lui associe un espace de configuration (sect. 1.4) et une algèbre de Lie (sect. 1.2). Après des rappels sur les connexions formelles (sect. 1.3), on définit une telle structure sur associée à l’algèbre de Lie (sect. 1.4) et on montre sa platitude (sect. 1.5). On calcule alors les termes de bas degré de la représentation de monodromie associée (sect. 1.6).

1.1. Le groupe opérant sur .

1.1.1. Action de sur

On a la suite de morphismes de groupes suivante :

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