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Stéphane DRUEL Institut Fourier
UMR 5582 du CNRS
Université Joseph Fourier, BP 74
38402 Saint Martin d’Hères, France.
druel@ujf-grenoble.fr

Quelques remarques sur la décomposition de Zariski divisorielle]Quelques remarques sur la décomposition de Zariski divisorielle sur les variétés dont la première classe de Chern est nulle

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1 Introduction

Toutes nos variétés sont algébriques et définies sur le corps des nombres complexes. Soit une variété projective, lisse et connexe. On dit qu’un diviseur effectif sur a une décomposition de Zariski s’il existe des Q-diviseurs et , respectivement numériquement effectif et effectif, tels que

et tels que l’inclusion

soit bijective pour tout entier . Zariski établit dans [Zar62] l’existence d’une telle décomposition lorsque est une surface mais Nakayama montre dans [Nak04] qu’en dimension supérieure une telle décomposition n’existe pas toujours même si on autorise une modification de .

On a quand même, à la suite des travaux de Nakayama ([Nak04]) et Boucksom ([Bou04]), une décomposition où la partie positive est «  numériquement effective en codimension 1  » et la partie négative est «  rigide  » ; et sont a priori des R-diviseurs.

On établit dans cette note quelques propriétés de cette décomposition lorsque la première classe de Chern de est nulle.

{theo}

Soit une variété projective, lisse et connexe avec .

  1. Si un R-diviseur effectif alors il existe une variété projective, irréductible et normale et une application birationnelle qui contracte les composantes irréductibles de .

  2. Si est Q-diviseur grand alors est un Q-diviseur.

On peut bien sûr déduire la première partie de l’énoncé du critère d’Artin (voir [Art62]) si .

Boucksom établit dans [Bou04] la rationalité de la décomposition de Zariski divisorielle si ou encore si est une variété hyperkählérienne : elle se déduit de l’orthogonalité de cette décomposition relativement à la forme d’intersection dans le premier cas et à la forme de Beauville-Bogomolov dans le second.

On montre en fait, grâce aux travaux de Birkar, Cascini, Hacon et MKernan ([BCHM06] et [HM08]), l’énoncé plus général suivant.

{theo}

Soit une paire klt.

  1. Si est un R-diviseur pseudo-effectif alors il existe une variété projective, irréductible et normale et une application birationnelle qui contracte les composantes irréductibles de .

  2. Si est un Q-diviseur grand alors est un Q-diviseur.

On étudie dans la dernière partie de ce texte les diviseurs exceptionnels sur les variétés symplectiques holomorphes. Boucksom a montré que tout diviseur premier exceptionnel sur une variété hyperkählérienne est uniréglé (voir [Bou04, Proposition 4.7]). On sait que cette propriété ne caractérise pas les diviseurs exceptionnels : on peut penser, par exemple, au cas d’une surface elliptique générale dont les fibres singulières sont des courbes rationnelles (irréductibles). On obtient le résultat suivant.

{theo}

Soient une variété projective, lisse et connexe et un diviseur premier sur . On suppose symplectique. Alors est exceptionnel si et seulement si par un point général de passe une courbe rationnelle avec .

On démontre au passage l’énoncé suivant.

{prop}

Soient une variété projective, lisse et connexe et un diviseur premier sur . On suppose symplectique et exceptionnel. Il existe alors un morphisme birationnel avec projective, lisse, connexe et symplectique et un morphisme birationnel avec projective et normale dont le lieu exceptionnel est le support du diviseur premier .

2 Multiplicités asymptotiques et décomposition de Zariski divisorielle

On commence ce paragraphe par quelques rappels sur les multiplicités asymptotiques et la décomposition de Zariski divisorielle. On étudie ensuite quelques propriétés desdites multiplicités.

2.1 Quelques notations

Soit une variété algébrique projective complexe. On suppose irréductible et normale.

L’ensemble des diviseurs de Cartier (resp. Q-diviseurs de Weil Q-Cartier, R-diviseurs de Weil R-Cartier) est noté (resp. , ). On rappelle que les diviseurs et de (resp. ) sont dits Q-linéairement équivalents (resp. R-linéairement équivalents) et on note (resp. ) s’il existe des fonctions rationnelles non nulles et (resp. ) pour fini tels que désigne le diviseur des zéros et pôles de .

On note le groupe abélien libre engendré par les courbes intègres et complètes contenues dans . On rappelle que les diviseurs et de (resp. ) sont dits numériquement équivalents et on note (resp. ) si pour .

On note (resp. ) l’espace vectoriel réel (resp. ) modulo la relation d’équivalence numérique définie ci-dessus.

Le cône convexe fermé de engendré par les classes des 1-cycles effectifs de est noté .

On note l’adhérence dans du cône convexe engendré par les classes des Q-diviseurs de Weil effectifs Q-Cartier. Un élément est dit pseudo-effectif si sa classe dans est dans . L’intérieur du cône est noté . Un élément est dit grand («  big  » en anglais) si sa classe dans est dans .

On rappelle enfin qu’un diviseur est dit mobile si le système linéaire correspondant est non vide et sans composante fixe. On note le sous-cône convexe fermé de engendré par les classes de diviseurs mobiles. On dit aussi d’un diviseur avec qu’il est numériquement effectif en codimension 1 ou encore nef en codimension 1

2.2 La décomposition de Zariski divisorielle

On renvoie le lecteur à [Nak04] (voir également [Bou04]) pour plus de détails.

Soient et un diviseur premier sur . On suppose . On définit la multiplicité asymptotique du système linéaire réel

en par

On suppose maintenant et on considère un R-diviseur avec . On a pour tout et on montre que la limite existe et ne dépend pas de , on la note .

On montre que est l’ensemble des classes des R-diviseurs pseudo-effectifs tels que pour tout diviseur premier de .

On montre également que les nombres sont nuls sauf pour un nombre fini de diviseurs premiers de . On pose alors

et

Le diviseur (effectif) ne dépend que de la classe de dans et .

L’application obtenue

est concave, homogène de degré 1 et continue sur .

Si alors la décompostion de Zariski divisorielle est l’unique décomposition en somme de deux R-diviseurs et respectivement nef en codimension un et effectif telle que l’application

soit bijective pour tout entier si avec pour (voir [Bou04, Theorem 5.5]).

On rappelle enfin qu’un diviseur effectif est dit exceptionnel si ou, de façon équivalente, si les classes des composantes irréductibles de sont linéairement indépendantes dans et le cône convexe qu’elles engendrent ne rencontre pas .

2.3 Quelques propriétés des multiplicités asymptotiques

Soit une application birationnelle de variétés projectives normales et soit . On considère une résolution des singularités de et avec et sont les morphismes de sur et respectivement et on suppose . On suppose non vide. On obtient alors une application R-linéaire

qui ne dépend pas des choix faits. On remarque que si ne contracte pas de diviseur alors . On souhaite comparer et .

Soit un diviseur premier sur . On suppose que ne contracte pas et on pose . On suppose d’abord . On a donc . On a aussi

pour tout , et donc

On suppose maintenant . Soient un diviseur ample sur et . On suppose . On a

pour tout puisque et, en passant à la limite, on obtient

L’exemple suivant montre qu’on a pas toujours égalité dans l’inégalité ci-dessus.

{exem}

Soit est une courbe complète (lisse) et soit est un point quelconque de . Soit et soit l’éclatement de en . On note . On a et et .

On étudie maintenant des transformations birationnelles particulières.

{defi}

Soient une application birationnelle de variétés projectives normales et . On dit que est -négative (resp. -strictement négative) si ne contracte pas de diviseur, et s’il existe une résolution des singularités de et avec et sont les morphismes de sur et respectivement pour laquelle est effectif (resp. effectif et son support contient les transformés stricts dans des diviseurs premiers sur contractés par ).

{rema}

On suppose que est -négative (resp. -strictement négative). On considère une résolution des singularités de et avec et sont les morphismes de sur et . On pose . On montre facilement que est effectif (resp. effectif et que son support contient les transformés stricts dans des diviseurs premiers sur contractés par ).

{rema}

On suppose à nouveau que est -négative (resp. -strictement négative). On considère et . On pose . On a en fait par le lemme de négativité [KM98, Lemma 3.39]). On montre de même que si et sont Q-factorielles alors la propriété considérée ne dépend que de et pas seulement de la classe de modulo l’équivalence linéaire.

{lemm}

Soit une application birationnelle de variétés projectives normales Q-factorielles. Soient et un diviseur premier sur . On suppose .

  1. On suppose que est -négative et ne contracte pas . On a alors et .

  2. On suppose maintenant que est -strictement négative et contracte . On a alors .

Démonstration.

On considère une résolution des singularités de et avec et sont les morphismes de sur et respectivement. On pose . On commence par démontrer la première assertion de l’énoncé. On suppose d’abord . Soit . On a et on a donc par le lemme de négativité (voir [KM98, Lemma 3.39]). On en déduit que l’application linéaire introduite ci-dessus

est surjective et

On suppose maintenant . Soit un diviseur très ample sur et . Quitte à remplacer par un diviseur qui lui est linéairement équivalent et par le diviseur correspondant, on peut toujours supposer que est -négative et donc également -négative. On a

pour tout puisque et, en passant à la limite, on obtient

On démontre maintenant la seconde assertion de l’énoncé. On reprend les notations introduites ci-dessus. On pose et on note le transformé strict de dans .

On fixe . On considère et on pose . On sait que par hypothèse et on a par la remarque 2.3.

On a donc

et, en passant à la limite, on obtient

3 Le programme des modèles minimaux

On commence ce paragraphe par quelques rappels sur le programme des modèles minimaux ou encore MMP («  Minimal Model Program  » en anglais). On donne ensuite les démonstrations des théorèmes 1 et 1.

3.1 Les singularités de paires

On renvoie pour ce qui suit au très joli texte [Kol97]. On désigne par un diviseur canonique sur . On rappelle qu’une paire est la donnée d’une variété projective normale et d’un R-diviseur de Weil sur tels que soit R-Cartier. Soient une paire et une résolution des singularités de . On écrit

où la somme porte sur l’ensemble des diviseurs premiers -exceptionnels, est le transformé strict de dans et, si est le diviseur d’une forme différentielle méromorphe sur , est le diviseur de sur . Si est un diviseur premier non -exceptionnel, on définit comme étant l’opposé du coefficient de dans . On appelle le réel la discrépance du diviseur premier relativement à la paire .

On dit que la paire est à singularités terminales (resp. canoniques) si est effectif et pour toute résolution des singularités de et tout diviseur premier -exceptionnel , on a (resp. ). On dit que est à singularités terminales (resp. canoniques) si et est à singularités terminales (resp. canoniques). On rappelle enfin que la paire est dite klt (pour Kawamata log-terminale) si est effectif et pour toute résolution des singularités de et tout diviseur premier de , on a .

3.2 Le MMP dirigé

On renvoie pour ce paragraphe à [KMM87], [KM98] et [BCHM06].

On rappelle qu’un modèle nef (resp. minimal) de la paire est la donnée d’une paire et d’une application birationnelle telles que

  1. ,

  2. soit -négative (resp. -strictement négative) et

  3. soit nef.

Le MMP dirigé est un MMP où les arêtes contractées ne sont pas choisies de façon arbitraire. Les données sont une paire klt où est Q-factorielle et un R-diviseur effectif tel que soit nef et klt. On pose . Le MMP dirigé par produit (conjecturalement) des paires avec Q-factorielle, une suite décroissante de réels pour , des applications birationnelles pour telles que soit nef et klt où, (resp. ) est le transformé strict de (resp. ) dans et un objet final tel que ou bien soit un modèle minimal de , où l’on a posé , ou bien a une fibration de Mori. Enfin, est un modèle nef de la paire .

On explique maintenant comment faire. On suppose les et déjà construits avec nef et on suppose non nef. D’après [Bir07, Lemma 2.6], il existe une arête et un réel tels que , et soit nef. Soit la contraction associée et supposons par exemple la contraction petite. Soit le flip de qui existe d’après [BCHM06, Corollary 1.4.1]. On pose et . On a (voir par exemple [KM98, Theorem 3.7]) . Le diviseur est nef puisque l’est, l’est donc également. Le cas des contractions divisorielles est analogue.

Si (), de sorte que est -strictement négative par le lemme de négativité ([KM98, Lemma 3.39]). On en tire facilement que l’application birationnelle est -négative ou encore que est un modèle nef de .


Le lemme suivant sera utile au paragraphe 4.

{lemm}

On suppose la contraction petite. Alors est couvert par des courbes rationnelles contractées par .

Démonstration.

On a par construction que est ample de sorte que est ample. La paire est klt pour et est ample. On déduit alors le résultat cherché de [Kaw91, Theorem 1]. ∎

3.3 Quelques applications

On ne sait pas démontrer qu’il n’existe pas de suite infinie de flips. On dispose d’un résultat (beaucoup) plus faible mais suffisant ici.

{prop}

Soient une paire klt avec Q-factorielle et un Q-diviseur effectif ample sur tels que soit nef et la paire klt. On considère un MMP dirigé par pour la paire et on suppose qu’il n’aboutit pas. On a alors

Démonstration.

La suite est décroissante et minorée donc convergente. On suppose que sa limite est . On sait que est un modèle nef de . Or, d’aprés [BCHM06, Theorem E], l’ensemble des classes d’isomorphie de modèles nef des paires pour est fini. Il existe donc deux entiers tels que l’application rationnelle induise un isomorphisme de sur , ce qui donne la contradiction cherchée, à nouveau par le lemme de négativité (voir [KM98, Lemma 3.39]). ∎

{theo}

Soient une paire klt avec Q-factorielle et un Q-diviseur effectif ample sur tels que soit klt. On suppose . On considère un MMP dirigé par pour la paire et on reprend les notations introduites au paragraphe 3.2. On a pour tout , et les diviseurs (premiers) contractés sont les composantes irréductibles du support de .

Démonstration.

On a et donc, ou bien le MMP aboutit a un modèle minimal de la paire , ou bien il existe un entier tel que pour tout les soient des flips de petites contractions. On commence par le second cas.

Soit un diviseur premier sur . On suppose pour commencer que n’est contracté par aucune des applications rationnelles . On note le transformé strict de dans . Par le lemme 2.3, on a et puisque est nef par choix de . On déduit finalement de la proposition 3.3 que . On a donc que n’est pas une composante irréductible du support de .

Inversement, si n’est pas une composante irréductible du support de alors et n’est donc contracté par aucune des applications rationnelles par le lemme 2.3.

On déduit également la première assertion de ce que nous venons d’expliquer et on traite le premier cas avec les mêmes arguments. ∎

{coro}

Soient une paire klt avec Q-factorielle et un Q-diviseur effectif ample sur tels que soit klt. On suppose de dimension numérique , i.e. on suppose et . Alors tout MMP dirigé par pour la paire aboutit à un modèle minimal de la paire avec .

On termine ce paragraphe par le résultat suivant.

{theo}

Soit une paire klt où est un Q-diviseur et . Alors est un Q-diviseur.

Démonstration.

Soit est un entier non nul tel que soit à coefficients entiers. On sait, d’après [BCHM06, Corollary 1.1.2], que l’algèbre

est de type fini. Quitte à remplacer par un multiple entier non nul convenable, on peut supposer que l’algèbre est engendré par ses éléments de degré 1, auquel cas, pour tout diviseur premier sur , on a

On en déduit que les sont des nombres rationnels. ∎

Démonstration du théorème 1.

On applique les théorèmes 3.3 et 3.3 à la paire avec assez petit. ∎

Démonstration du théorème 1.

On peut toujours supposer Q-factorielle d’après [BCHM06, Corollary 1.4.4]. On déduit les résultats annoncés des théorèmes 3.3 et 3.3. ∎

4 Cas des variétés symplectiques

On montre facilement qu’un diviseur sur une variété (lisse) est exceptionnel si par un point général de passe une courbe avec . On sait démontrer que cette propriété caractérise les diviseurs exceptionnels si . On démontre ici que c’est encore le cas si est une variété symplectique holomorphe.

{defi}

[[Bea00, Definition 1.1]] Un germe de variété analytique complexe est dit à singularités symplectiques si est normal et s’il existe une 2-forme symplectique sur le lieu régulier de telle que, pour toute résolution des singularités de , s’étende en une -forme régulière sur .

Démonstration du théorème 1.

On fixe un diviseur premier exceptionnel sur . Soit tel que la paire soit klt. On a et . Soit un Q-diviseur effectif ample sur tel que la paire soit encore klt. On sait par le théorème 3.3 que tout MMP pour la paire dirigé par contracte . On reprend les notations du paragraphe 3.2. Soit tel que le lieu exceptionnel de soit .

On sait que est un flop pour tout . On en déduit que est à singularités terminales puis, d’après [Nam06, Corollary 1] (voir également [Kal01]), que est lisse et symplectique pour tout .

On sait par ailleurs que le morphisme est semi-petit d’après [Kal06, Lemma 2.11] et on a donc . On sait aussi, d’après [Kaw91, Theorem 1], que est couvert par des courbes rationnelles telles que ou encore telles que pour tout .

Il suffit, pour terminer la démonstration du théorème, de montrer qu’aucune des intersections pour ne domine via l’application natuelle . On suppose que ce n’est pas le cas et on considère un entier tel que domine . On en déduit que l’une des composantes irréductibles de est de dimension , contenue dans et domine  ; l’application rationnelle induite est donc génériquement finie. Or, d’après le lemme 3.2, est uniréglée. On en déduit que l’est aussi. On sait enfin que la normalisée de est à singularités symplectiques (voir [Wie03, Theorem 1.4]). Le lemme 4 donne la contradiction cherchée. ∎

La première partie de l’argument ci-dessus démontre la proposition 1.

{lemm}

Soit une variété projective à singularités canoniques. Si alors n’est pas uniréglée.

Démonstration.

Soit une résolution des singularités de . On écrit

où la somme porte sur l’ensemble des diviseurs premiers -exceptionnels et par hypothèse. On suppose uniréglée. On note une famille de courbes rationnelles contenues dans dont les déformations dominent . On a d’après [Kol96, Lemma II.3.13] et donc pour général, une contradiction. ∎

{rema}

On reprend les hypothèses de la proposition 1. On montre facilement (voir [Wie03, Theorem 1.4] et [SCW04, Theorem 4.1]) que les fibres générales du morphisme sont ou bien des courbes rationnelles lisses ou bien reunion de deux courbes rationnelles lisses se coupant tranversalement en un point. On peut donc supposer dans la conclusion du théorème 1.

On étudie enfin le feuilletage en courbes sur induit par la forme symplectique ambiante (voir par exemple [HO07], [HV08] et [Saw08]).

{defi}

Soient une variété (algébrique) lisse et un diviseur premier sur . On suppose symplectique et on considère une forme symplectique sur . Elle induit une -forme sur l’ouvert dense des points réguliers de de rang dont le noyau définit un feuilletage en courbes appelé feuilletage caractéristique sur (ou ).

Le résultat suivant généralise [Saw08, Lemma 10]. On peut déduire l’énoncé de la proposition 4 du théorème 1 (ou plus exactement de sa démonstration). On en donne une démonstration élémentaire.

{prop}

Soient une variété symplectique, projective et lisse et un diviseur irréductible sur . Si est uniréglé alors les adhérences des feuilles générales du feuilletage caractéristique sur sont des courbes rationnelles, et ce sont les seules courbes rationnelles dont les déformations dominent .

Démonstration.

On considère une composante irréductible du schéma des morphismes telle que rencontre le long d’une partie dense, où est le morphisme universel ; étant symplectique le morphisme n’est pas dominant et on a donc . On en déduit que pour général, le rang de la différentielle de en est . On a par ailleurs une décomposition

avec puisque est supposée symplectique et enfin

d’après [Kol96, Proposition II.3.4]. On a donc

On considère maintenant une résolution des singularités de , on note le transformé strict de dans et le relevé de à .

Le point étant supposé général dans , les déformations de passent par un point général de et est donc nef (voir [Kol96, Proposition II.3.4]). On en déduit que l’image de dans par l’application

est contenue dans

On a donc, le morphisme induisant un isomorphisme au-dessus d’un point général de , que pour général, l’espace tangent à en s’identifie naturellement au sous-espace de puis que engendre le noyau de la restriction de à en , où est une forme symplectique sur , ou encore que est l’adhérence de la feuille du feuilletage caractéristique sur . ∎

Références

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