Quelques remarques à propos d’un théorème de Checcoli

Quelques remarques à propos d’un théorème de Checcoli

Hugues Bauchère Laboratoire de mathématiques Nicolas Oresme, CNRS UMR 6139, Université de Caen, Campus II, BP 5186, 14032 Caen Cedex, France hugues.bauchere@unicaen.fr
July 31, 2019
Résumé

Dans sa thèse (cf. [Che10]), S. Checcoli montre, entre autres résultats, que si est un corps de nombres et si est une extension galoisienne infinie de groupe de Galois d’exposant fini, alors les degrés locaux sur sont uniformément bornés en toutes les places de . Dans cette article nous rassemblons deux remarques à propos de la généralisation du résultat de S. Checcoli aux corps de fonctions de caractéristique positive. D’une part nous montrons un analogue de son théorème dans ce cadre, sous l’hypothèse que l’exposant du groupe de Galois soit premier à . D’autre part, nous montrons à l’aide d’un exemple que cette hypothèse est en fait nécessaire.

funtion field, positive characteristic, class field theory
\urladdr \alttitle

Some Remarks About a Checcoli Theorem

{altabstract}

In his thesis (cf. [Che10]), S. Checcoli shows that, among other results, if is a number field and if is an infinite Galois extension with Galois group of finite exponent, then has uniformly bounded local degrees at every prime of . In this article we gather two remarks about the generalisation of S. Checcoli’s result to function fields of positive characteristic. We first show an analogue of her theorem in this context, under the hypothesis that the Galois group exponent is prime to . Using an example, we then show that this hypothesis is in fact necesary.

Introduction

Soient un corps global111i.e. un corps de nombres ou une extension finie de . et une extension galoisienne infinie. On dit que l’extension a ses degrés locaux uniformément bornés en toutes (resp. en presque toutes222i.e. en toutes sauf un nombre fini.) les places de  s’il existe un entier tel que pour toutes (resp. presque toutes) les places de , on a pour toute place de .

Dans sa thèse S. Checcoli démontre entre autres résultats le théorème suivant (cf. th. de [Che10]):

{enonce*}

[plain]Théorème 1 Soit un corps de nombres et une extension galoisienne infinie. Alors les assertions suivantes sont équivalentes:

  1. l’extension a ses degrés locaux uniformément bornés en toutes les places de ;

  2. l’extension a ses degrés locaux uniformément bornés en presque toutes les places de ;

  3. le groupe de Galois de l’extension est d’exposant fini.

Ensuite S. Checcoli et P. Dèbes (cf. [CD13]) ont généralisé ce résultat à certaines classes de corps de fonctions.

Une question naturelle est donc de savoir si ce résultat est encore vrai dans le cadre des corps de fonctions en caractéristique positive. Nous montrons ici un analogue du théorème Introduction en supposant de plus que l’exposant est premier à la caractéristique. Cette hypothèse n’est utile que dans la démonstration de l’implication . Nous donnons ensuite un exemple illustrant la nécessité de cette hypothèse.

\mainmatter

1 Analogue du théorème Introduction en caractéristique positive

Nous reprenons la preuve du théorème Introduction en lui apportant les modifications nécessaires dans notre cadre: celui d’une extension finie de . Nous commençons par rappeler la définition suivante.

{defi}

Soit un groupe. On dit que est un groupe métacyclique s’il existe un sous-groupe normal de tel que et  soient cycliques.

{rema}

Si est un groupe fini métacyclique d’exposant , alors est d’ordre un diviseur de .

Nous pouvons maintenant énoncer un analogue en caractéristique positive du théorème Introduction.

{theo}

Soient une extension finie et une extension galoisienne infinie. Si les degrés locaux de l’extension sont uniformément bornés en presque toutes les places de , alors est d’exposant fini.

Réciproquement, si est d’exposant fini premier à la caractéristique de , alors les degrés locaux de l’extension sont uniformément bornés en toutes les places de .

Démonstration.

Supposons que presque toutes les places de aient leurs degrés locaux sur bornés par . Soit l’ensemble des places de dont le degré local sur n’est par borné par . Alors, par hypothèse,  est un ensemble fini. Soient une extension galoisienne finie incluse dans  et . D’après le théorème de densité de Tchebotarev (cf. th. de [Ros02]), il existe une place finie non ramifiée sur telle que appartient à la classe de conjugaison d’Artin de  dans (rappelons que d’après le corollaire de [Sti09], comme l’extension est séparable finie, presque toutes les places de  sont non ramifiées dans ). Ainsi, si est une place de au-dessus de , il existe un conjugué de qui engendre le groupe de décomposition de sur qui est cyclique (d’après le théorème de [Sti09]) et isomorphe à , où et sont respectivement les complétés des corps et en  et . Or, par hypothèse, , ainsi et donc est d’exposant borné par . Comme est la limite projective de la famille indexée par les extensions galoisiennes finies de  contenues dans , le groupe est d’exposant borné par .

Réciproquement, supposons que soit d’exposant fini premier à , la caractéristique de . Écrivons comme une réunion croissante d’extensions galoisiennes finies de groupe de Galois . Soit une place de , pour chaque on note l’unique place de en-dessous de  et  le complété de en la place . De même, on note  l’unique place de en-dessous de et le complété de  en la place . On rappelle que pour tout , le quotient du groupe de décomposition par le groupe d’inertie de sur est isomorphe au groupe de Galois des corps résiduels et qu’il est donc cyclique (engendré par le Frobenius). On rappelle également que le groupe est isomorphe au groupe de décomposition de sur qui est un sous-groupe de . Donc est d’exposant un diviseur de . De plus, comme est premier à , il ne peut y avoir de ramification sauvage. Il y a donc deux cas possibles pour l’extension :

  1. si l’extension est non ramifiée, alors, est cyclique d’ordre un diviseur de ;

  2. si l’extension est modérément ramifiée, alors d’après la proposition de [Sti09], le groupe d’inertie de sur est cyclique, tout comme le quotient du groupe de décomposition par le groupe d’inertie, ainsi est métacyclique et donc d’ordre un diviseur de .

Pour tout , le degré de l’extension est donc un diviseur de . On obtient donc le résultat souhaité par passage à la limite projective. ∎

2 Un contre-exemple en caractéristique positive

Dans le théorème 1, on a vu que si est d’exposant fini premier à la caractéristique de , alors les degrés locaux de l’extension sont uniformément bornés en toutes les places de . Dans cette partie nous allons donner un contre-exemple dans le cas où l’exposant du groupe est divisible par . Soit l’ensemble des polynômes irréductibles et unitaires de . Alors l’ensemble est en bijection avec l’ensemble des places de . Si , on note la valuation associée à et  le complété de en . Si est une extension finie de et si est une place de qui prolonge , on normalise (exceptionnellement ici)  par la formule pour tout . On a donc:

est l’indice de ramification de sur .

{lemm}

Soient et . On pose:

Soit une racine de . On a les propriétés suivantes:

  1. toutes les racines de sont de la forme avec ;

  2. pour toute place de ;

  3. le polynôme est irréductible sur ;

  4. l’extension est totalement ramifiée au-dessus de ;

  5. l’extension est cyclique de degré ;

  6. pour tout et toute place de ;

  7. l’extension est non ramifiée au-dessus de toutes les places de différentes de .

Démonstration.

La propriété est évidente. Vérifions la propriété . Soit une place de . On a:

et

ainsi , donc la dernière inégalité est en fait une égalité et on en déduit que . Or donc d’où la propriété .

Maintenant, on a , où est l’indice de ramification de  sur . On en déduit donc que . Or, le polynôme  étant de degré , l’extension est au plus de degré . Donc . Les propriétés  à s’en déduisent naturellement. Il ne nous reste donc plus qu’à montrer les propriétés et .

et

ainsi et donc l’extension est non ramifiée au-dessus de . ∎

Dorénavant, pour alléger les notations, pour tous et tout , nous noterons encore une extension arbitraire de à . Ainsi, nous aurons toujours:

Nous allons maintenant construire une -extension abélienne élémentaire333i.e. une extension dont le groupe de Galois est isomorphe à un produit de . dont le degré local est infini au-dessus d’une place quelconque de . Pour cela, nous aurons besoin de montrer que certaines extensions sont linéairement disjointes (cf. § de [FJ08] pour ce qui concerne ces dernières):

{lemm}

Soit . Alors, l’ensemble:

forme une famille d’extensions linéairement disjointes sur .

Démonstration.

L’élément de étant fixé, on simplifie les notations en posant et pour tout .

Il faut montrer que toute sous-famille finie de est linéairement disjointe sur . Supposons par l’absurde qu’il existe une sous-famille finie de de cardinal qui ne soit pas linéairement disjointe sur . Sans perte de généralité, on peut supposer que est minimal. L’extension étant galoisienne, on a:

(1)

En effet, si ce n’était pas le cas les extensions et seraient linéairement disjointes sur (cf. remarque suivant le corollaire  de [FJ08]), et donc aussi les extensions , ce qui contredit le choix de . Comme l’extension est de degré  premier, on déduit de (1) que:

(2)

Il existe alors non tous nuls tels que:

Or et:

D’où

Comme les éléments sont -linéairement indépendants, les coefficients des puissances de sont égaux dans l’égalité précédente. Ainsi, en comparant les coefficients des monômes en , on obtient:

d’où on déduit . En comparant les coefficients des monômes en , on obtient:

Ainsi,

On a donc deux possibilités: soit et , soit et avec . Or, par minimalité de , on a , donc et . De la même façon, on montre de proche en proche que et . Il ne reste donc plus qu’à comparer les termes constants, i.e. :

D’où

Deux cas s’offrent à nous:

  1. et avec ;

  2. et avec .

Dans le premier cas, on obtient:

Donc les extensions ,…, et ne sont pas linéairement disjointes, ce qui contredit la minimalité de . Supposons que nous soyons dans le deuxième cas. Alors, il existe et tels que:

(il suffit de poser et ). En reprenant le raisonnement précédent et en remplaçant pour tout la relation (2) par:

on montre que pour tout , il existe
et tels que:

De plus, pour tout on a:

d’où

et donc

Or les corps étant linéairement disjoints (à nouveau par minimalité de ), on a:

Ainsi, il existe tel que:

On en déduit que:

(3)

Or pour tout d’après le lemme 2 et les entiers sont deux à deux distincts, d’où:

Donc ce qui contredit le fait que . ∎

{rema}

Dans  le  lemme  2  nous  n’avons  fait  varier  que . Dans le cas global, on peut aussi faire varier . Plus précisément, on peut montrer que l’ensemble:

forme une famille d’extensions linéairement disjointes sur . La démonstration est identique à celle du lemme 2, à la différence qu’on considère une sous-famille finie de de cardinal qui ne soit pas linéairement disjointe sur , avec supposé minimal. On montre alors (cf. égalité (3)) qu’il existe tel qu’on ait:

On en déduit que:

Or, d’après le lemme 2, pour tout , on a:

De plus, si , alors . Donc:

Donc ce qui contredit le fait que . L’ensemble forme donc bien une famille d’extensions linéairement disjointes sur .

La proposition suivante nous donne un premier contre-exemple d’extension galoisienne infinie d’exposant fini ayant une place dont tous les degrés locaux sont infinis.

{prop}

Soient et le compositum des corps de la famille

Si est une place de , on note le complété de en . Alors, l’extension est une -extension abélienne de telle que pour toute place de , l’extension est une -extension abélienne infinie.

Démonstration.

Le fait que l’ensemble forme une famille d’extensions linéairement disjointes de et que pour toute place , l’extension soit infinie découle directement du lemme 2. De plus, les extensions étant abéliennes de groupe de Galois isomorphe à , on en déduit que l’extension est une -extension abélienne de . ∎

{rema}

Pour tout et toute place de , on a . En effet, les extensions étant de degré  et non ramifiées au-dessus de d’après le lemme 2, l’extension  est abélienne, d’exposant et non ramifiée au-dessus de . Il en est donc de même des complétés. Ainsi l’extension  est une -extension abélienne de qui est non ramifiée au-dessus de . Or les extensions non ramifiées d’un corps local sont cycliques (cf. prop. p.  de [FV93]) ce qui n’est pas le cas de l’extension dès que puisque son groupe de Galois est isomorphe à un produit de .

Nous sommes maintenant en mesure de donner le contre-exemple annoncé:

{theo}

Soit le compositum des corps de la famille de la remarque 2. Alors, est une -extension abélienne de  dont les degrés locaux sur sont infinis au-dessus de toutes les places de .

Démonstration.

Comme est un compositum d’extensions de degré , c’est clairement une -extension abélienne de . Le fait que tous les degrés locaux sur soient infinis au-dessus des places de provient de la proposition 2. En effet, si , alors . ∎

Nous terminons cette partie en donnant un exemple d’une extension galoisienne infinie de dont le groupe de Galois est d’exposant divisible par la caractéristique de et dont néanmoins les degrés locaux sont uniformément bornés.

{prop}

Soient et le compositum des corps de la famille

Alors, est une -extension abélienne infinie de dont les degrés locaux sont uniformément bornés par .

Démonstration.

L’extension étant une sous-extension de l’extension (cf. th. 2), c’est une -extension abélienne infinie de . Soient et le compositum des corps de la famille . Alors est le compositum de et de . Soit une place de , on note encore la restriction de à . L’extension étant totalement ramifiée au-dessus de , on a . D’autre part, l’extension est une -extension abélienne infinie qui est non ramifiée au-dessus de . Or les extensions non ramifiées d’un corps local sont cycliques (cf. prop. p.  de [FV93]) ce qui n’est pas le cas de l’extension dès que . On obtient donc:

D’où le résultat annoncé. ∎

\backmatter

Remerciements

Je souhaite remercier Francesco Amoroso et Vincent Bosser mes directeurs de thèse ainsi que Bruno Anglès pour toutes les discussions que nous avons eus à propos de ce travail.

Références

  • [CD13] S. Checcoli et P. Dèbes – «  Tchebotarev theorems for function fields  », 2013, [arXiv:1301.1815].
  • [Che10] S. Checcoli – «  On fields of algebraic numbers with bounded local degrees  », Thèse, Université de Pise, 2010.
  • [FJ08] M. D. Fried et M. JardenField arithmetic, third éd., Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], vol. 11, Springer-Verlag, Berlin, 2008, Revised by Jarden.
  • [FV93] I. B. Fesenko et S. V. VostokovLocal fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, vol. 121, American Mathematical Society, Providence, RI, 1993, A constructive approach, With a foreword by I. R. Shafarevich.
  • [Ros02] M. RosenNumber theory in function fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 210, Springer-Verlag, New York, 2002.
  • [Sti09] H. StichtenothAlgebraic function fields and codes, second éd., Graduate Texts in Mathematics, vol. 254, Springer-Verlag, Berlin, 2009.
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