Spectre et topologie des variétés hyperboliques

Quelques conséquences des travaux d’Arthur pour le spectre et la topologie des variétés hyperboliques

Nicolas Bergeron et Laurent Clozel Institut de Mathématiques de Jussieu
Unité Mixte de Recherche 7586 du CNRS
Université Pierre et Marie Curie
4, place Jussieu 75252 Paris Cedex 05, France
bergeron@math.jussieu.fr http://people.math.jussieu.fr/ bergeron Université Paris Sud
Unité Mixte de Recherche 8628 du CNRS
Laboratoire de Mathématiques
Bât. 425, 91405 Orsay cedex, France
Laurent.Clozel@math.u-psud.fr
Résumé.

En nous basant sur les résultats d’Arthur annoncés dans [7, §30] nous démontrons les conjectures énoncées dans [10, 13, 12] dans le cas des groupes orthogonaux à l’exclusion des groupes de type . En ce qui concerne ces derniers, nous annonçons la démonstration – encore en préparation – que leur réseaux de congruences ont toujours un trivial. Les démonstrations d’Arthur devraient paraître prochainement.

1. Introduction

Soit le -groupe semi-simple obtenu – par restriction des scalaires – à partir d’un groupe spécial orthogonal sur un corps de nombres totalement réel. On considère pour l’instant un groupe qui ne provient pas d’une forme tordue – on dit alors que est non trialitaire. On suppose enfin égal au produit de par un groupe compact. L’espace symétrique associé au groupe est alors l’espace hyperbolique réel que l’on munit de sa métrique de courbure sectionnelle constante égale à . Étant donné un sous-groupe de congruence (sans torsion) on peut former le quotient . Ce quotient est une variété hyperbolique réelle de volume fini; appelons variétés hyperboliques de congruence les variétés ainsi obtenues. Le cas échéant nous parlons de variétés hyperboliques de congruence non trialitaires afin de rappeler que le groupe est supposé non trialitaire.

Burger, Li et Sarnak [16] ont proposé la conjecture suivante – dite de pureté ou de quantification – décrivant le spectre du laplacien sur les variétés hyperboliques de congruence.

1.1 Conjecture.

Soit une variété hyperbolique de congruence de dimension . Le spectre du laplacien (sur les fonctions) de est contenu dans l’ensemble

Un cas particulier – le cas du groupe déployé – de cette conjecture est la célèbre conjecture de Selberg. Dans [13, §6.2 & 6.3] nous avons ramené cette conjecture aux conjectures d’Arthur telles que formulées dans [5] et proposé des extensions au spectre du laplacien sur les formes différentielles. Depuis, le programme d’Arthur a fait de spectaculaires progrès, d’une part grâce à Arthur lui-même – voir [7, §30] – et d’autre part grâce à la démonstration du lemme fondamental – par Ngô [25] – puis de ses différents avatars (tordus et pondérés) par Ngô, Waldspurger, Laumon et Chaudouard. À la suite de quoi les résultats contenus dans [7, §30] peuvent maintenant être rendus inconditionnels. C’est la raison d’être de cet article. Nous commençons par déduire de ces bouleversements récents le théorème 6.4 qui implique en particulier l’approximation suivante de la conjecture 1.1 :

1.2 Théorème.

Soit une variété hyperbolique de congruence non trialitaire de dimension . Le spectre du laplacien (sur les fonctions) de est contenu dans l’ensemble

Un aspect remarquable de ce résultat est que, bien que l’on ne connaisse qu’une approximation de la «  conjecture de Ramanujan   » donnant la décomposition spectrale des formes automorphes pour , le spectre – au moins dans l’intervalle – est exactement celui prédit par Burger et Sarnak.

Notons – cela découle de [16] – que les valeurs propres «  pures   » apparaissent bien dans le spectre de certaines variétés hyperboliques de congruence.

Le théorème 6.4 implique plus généralement un résultat de pureté pour le spectre sur les formes différentielles. Dans cette introduction nous ne retenons que le corollaire suivant, conjecture de [13].

1.3 Théorème.

Pour , il existe une constante strictement positive telle que pour toute variété hyperbolique de congruence non trialitaire la première valeur propre non nulle du laplacien sur les -formes différentielles vérifie :

Remarque. Dans un article récent [30] B. Speh et T. N. Venkataramana ont démontré le résultat d’isolation de la valeur propre nulle (théorème 1.3) s’il est vrai en degré médian (pour pair) pour tout . Comme on le voit, ce dernier résultat est vrai mais la démonstration donne directement un résultat (bien meilleur) pour les autres degrés.

Ce théorème a un certain nombres de conséquences sur la topologie des variétés hyperboliques de congruence; conséquences que nous avons rassemblées sous le nom de propriétés de Lefschetz automorphes dans [10, 13, 12]. Nous supposerons – pour simplifier – que les variétés hyperboliques sont compactes et renvoyons aux articles cités ci-dessus pour les énoncés dans le cas général. Dorénavant nous supposerons donc anisotrope.

1.4. Propriétés de Lefschetz automorphes

Celles-ci prédisent un lien entre entre la (co-)homologie des variétés hyperboliques et les «  sections hyperplanes   » données par leur sous-variétés compactes totalement géodésiques. Une telle sous-variété est associée à un sous-groupe sur stable par l’involution de Cartan de . Le groupe est alors localement isomorphe au produit du groupe (avec ) par un groupe compact. Au niveau des espaces symétriques, on obtient un plongement totalement géodésique et si est un sous-groupe de congruence l’inclusion ci-dessus passe au quotient en une immersion totalement géodésique

Cette immersion induit une application naturelle entre groupes d’homologie :

(1.4.1)

Si maintenant , on peut considérer l’immersion

On définit alors l’application de restriction virtuelle

(1.4.2)

induite par les applications de restriction duales aux immersions . En passant à la limite sur le système inductif des sous-groupes de congruence , on obtient finalement les application naturelles :

(1.4.3)

et de même pour .

En ces termes, les deux théorèmes suivants découlent de [10, Theorem 2.4] et du théorème 1.3, pour le premier, et de la démonstration de [12, Théorème 8.7] (voir aussi la Conjecture 1.13), pour le second.

1.5 Théorème.

Soient deux groupes semi-simples sur . Supposons , , invariant par une involution de Cartan de et tous deux non trialitaires. Alors,

  1. pour tout entier , l’application naturelle

    est injective,

  2. pour tout entier , l’application naturelle

    est injective.

Noter qu’un résultat proche du théorème 1.5 est démontré dans [14].

1.6 Théorème.

Soit un groupe semi-simple sur . Supposons et non trialitaire. Soient et deux classes de cohomologie de degrés respectifs et dans avec . Il existe alors un élément tel que

dans .

Comme dans [10] on peut également considérer le cas où est un groupe unitaire tel que soit isomorphe au produit de par un groupe compact. L’espace symétrique associé est l’espace hyperbolique complexe . On note les groupes de cohomologie holomorphe obtenus en passant à la limite sur les sous-groupes de congruence. Le théorème suivant découle également du théorème 1.3, voir [12]. Remarquons que l’inclusion correspond au plongement totalement géodésique – et totalement réel – .

1.7 Théorème.

Soient deux groupes semi-simples sur . Supposons , et invariant par une involution de Cartan de . Alors, pour tout entier , l’application naturelle

est injective.

Comme l’ont fait remarquer Raghunathan et Venkataramana dans [27] si est un groupe obtenu – par restriction des scalaires – à partir d’un groupe spécial orthogonal sur un corps de nombres totalement réel qui n’est pas une forme exceptionnelle de ou de , alors il existe un groupe unitaire sur , obtenu par restriction des scalaires à partir d’un «  vrai   » groupe unitaire – c’est-à-dire associé à une algèbre de matrices – et tel que soit invariant par une involution de Cartan de . De plus si on peut supposer . Or Anderson montre dans [2] que pour un tel groupe unitaire et pour tout entier , . Il découle donc du théorème 1.7 le corollaire – semble-t-il nouveau, voir [22] pour des résultats partiels – suivant.

1.8 Corollaire.

Soit un réseau arithmétique dans le groupe de Lie réel , . Si nous supposons de plus que ne provient pas d’une forme tordue . Si et est commensurable au groupe des unités d’une algèbre de quaternions sur un corps de nombres avec un unique plongement complexe, nous supposons de plus que contient un sous-corps d’indice .

Alors, il existe un sous-groupe d’indice fini – que l’on peut choisir de congruence – tel que pour tout , – le -ème nombre de Betti de la variété – est non nul.

Une conjecture célèbre (attribuée à Thurston dans [15]) affirme – au moins pour le premier nombre de Betti – qu’un résultat similaire devrait être vrai pour tout réseau dans . Dans [9] l’analogue du corollaire 1.8 est vérifié pour les réseaux non-arithmétiques construits par Gromov et Piatetski-Shapiro [20]. Le cas général est encore ouvert. C’est également le cas pour la plupart des réseaux arithmétiques exclus dans le corollaire 1.8, à l’exception notable de ceux couverts par les résultats de Clozel [18] et Rajan [28].

1.9. Groupes trialitaires

Le cas des réseaux arithmétiques exceptionels dans provenant d’une forme tordue est particulièrement intéressant. Commençons par remarquer que ces réseaux proviennent en fait nécessairement d’une forme tordue . De tels réseaux existent bel et bien – cela résulte par exemple de [26] – et sont tous cocompacts.

Dans cet article on exclut le cas de ces formes exceptionnelles; les groupes considérés sont alors des formes intérieures de groupes quasi-déployés auxquels la théorie d’Arthur s’applique. Nous détaillons le cas des formes tordues dans un travail en préparation. Au prix d’un grand nombre d’efforts techniques le théorème 1.3 devrait s’étendre à ces formes tordues. Nous ne le vérifions pas – les corollaires mentionnés plus haut sont essentiellement vides. Nous montrons par contre le théorème suivant qui contraste avec le corollaire 1.8 et vient confirmer la conjecture 4.6 de [11].

1.10 Théorème.

Soit un groupe un groupe projectif orthogonal ou de spin du type défini sur un corps de nombres totalement réel. Alors, pour tout sous-groupe de congruence ,

Le problème des sous-groupes de congruence reste ouvert pour ces groupes algébriques; il n’est donc pas exclu que la conjecture de Thurston soit vérifiée mais, contrairement à tous les autres cas arithmétiques connus, pour la démontrer il sera nécessaire de considérer des sous-groupes qui ne sont pas de congruence.

On l’a dit, le théorème ci-dessus n’est pas vide, il existe de tels . Concluons par la construction – due à Allison [1, Example 11.8] – d’un exemple.

Soit , où le polynôme minimal de est . L’algèbre est de dimension sur , elle est naturellement munie d’une trace et d’une involution . On peut associer à une algèbre à involution – non associative – de dimension  :

muni du produit

et de l’involution

Notons

et

L’algèbre obtenue en formant la somme directe de l’algèbre des dérivations intérieures de et de l’algèbre est une algèbre de type . Sur , l’algèbre est isomorphe à l’algèbre de Cayley . Soient et respectivement la norme et la trace de et

La forme trilinéaire vérifie

On peut alors vérifier que l’algèbre est isomorphe à l’algèbre

On peut donc identifier à une -forme de et la sous-algèbre associative engendrée par dans – appelé invariant d’Allen de – est l’algèbre est l’algèbre de quaternions sur extension cubique – de groupe de Galois – associée à un élément de polynôme minimal .

Le polynôme possède une racine réelle et deux racines complexes conjuguées de telle manière que et . L’algèbre est donc isomorphe à et les groupes – projectif orthogonal ou de spin – associés à l’algèbre de Lie sont des exemples de groupes auxquels le théorème 1.10 s’applique.

2. Groupes orthogonaux

On note un groupe spécial orthogonal sur un corps de nombres totalement réel . Dans cette section on suppose non trialitaire, c’est-à-dire que l’on exclut le cas des formes exceptionnelles de . Soit l’anneau des adèles sur .

Nous supposons compact à toutes les places à l’infini de sauf une – notée – où le groupe est isomorphe au groupe . Supposons et notons le nombre de variables du groupe orthogonal, la partie entière de et . Le groupe est toujours forme intérieure d’un groupe quasi-déployé .

On décrit maintenant le groupe en distinguant deux cas selon la parité de .

2.1.

Supposons d’abord impair. Alors, le groupe est forme intérieure du groupe orthogonal déployé sur associé à la forme bilinéaire symmétrique attachée à

Le groupe dual (complexe) de est , le groupe symplectique de la forme alternée sur de matrice

et .

2.2.

Supposons maintenant pair. On note le groupe orthogonal déployé sur associé à la forme bilinéaire symmétrique attachée à

Les formes quasi-déployées de sont paramétrés par les morphismes de vers . D’après la théorie du corps de classes ces morphismes correspondent aux caractères de tels que – caractères d’Artin d’ordre deux. Dans la suite nous notons le groupe orthogonal tordu obtenu en faisant agir sur la diagramme de Dynkin – ou la forme de si via le caractère . Lorsque est pair, il existe un caractère d’Artin d’ordre deux tel que le groupe soit forme intérieure du groupe quasi-déployé . Le groupe dual (complexe) de est alors et , où opère sur par un automorphisme d’ordre – trivial sur le noyau de – et respectant un épinglage. (Pour une description explicite, voir [13, p. 79].) Notons que le caractère est trivial à l’infini si et seulement si est pair. Au niveau des groupes réels cela revient à la dichotomie : si est impair, est forme intérieure de , si est pair, est forme intérieure de (déployé sur ).

2.3.

Nous supposons défini par la forme de matrice

Une sous-algèbre de Cartan de est alors donnée par les matrices

(2.3.1)

Posons , pour , et , pour . Les coordonnées donnent un isomorphisme

pour lequel les racines dans sont réelles. Le groupe de Weyl correspondant est , dans le premier cas, alors que dans le deuxième cas , étant le sous-groupe de , opérant diagonalement, défini par . Notons l’espace vectoriel réel engendré par les . Cet espace s’identifie à une sous-algèbre de Cartan déployée de la forme réelle déployée de ; il s’identifie en particulier au sous-espace correspondant pour .

3. Spectre automorphe des formes quasi-déployées

Dans ce chapitre nous supposons quasi-déployé, autrement dit . Dans ce cas les résultats globaux d’Arthur [7, §30] s’appliquent. En particulier le théorème 30.2 donne une décomposition de la partie discrète du spectre automorphe de selon certains paramètres globaux . En la place archimédienne un tel paramètre se localise en un paramètre local égal à une somme directe formelle

(3.0.1)

où chaque est la localisation en d’un paramètre global discret pour avec

Les rangs sont des entiers strictement positifs de la forme avec et chaque paramètre est le produit tensoriel formel d’une représentation irréductible de – composante archimédienne d’une représentation automorphe cuspidale de – et de l’unique représentation irréductible de dimension du groupe . Enfin chaque paramètre est autodual, i.e. isomorphe à , où est la représentation contragrédiente de .

3.1. Paramètres d’Arthur (généralisés)

Notons le paramètre de Langlands associé à la représentation . On préfèrera voir comme la représentation de dimension du groupe égale à . Notons sa restriction à . Chacun des paramètres se restreint à en une représentation semi-simple donnée par (quasi-)caractères de la forme avec ; puisque est un paramètre réel, si apparaît dans alors apparaît aussi dans (mais peut-être pour un indice différent de ). Ici on a noté .

La conjecture de Ramanujan généralisée impliquerait que chacun de ces caractères est unitaire, i.e. . À défaut, le théorème de Luo, Rudnick et Sarnak [23] – tel qu’étendu dans [13, Chapitre 7] – implique que . La condition d’auto-dualité force chaque caractère à apparaître avec son dual . Enfin se factorise à travers puisque .

Appelons donc paramètre d’Arthur généralisé toute représentation

où chaque est une représentation semi-simple de de rang , est la représentation irréductible de dimension du groupe , et si est un caractère apparaissant dans un , et apparaissent aussi et :

3.2. Caractère infinitésimal

À tout paramètre d’Arthur généralisé on associe un paramètre

Étant semi-simple, il est (à conjugaison près) d’image contenu dans le tore maximal

de . On peut donc écrire

où les sont des caractères, de la formes . On vérifie aisément que le vecteur

est uniquement défini modulo ; on l’appelle le caractère infinitésimal associé à . Noter que le paramètre – vu comme vecteur dans – associé à est . La proposition suivante découle du théorème 30.2 de [7] et de [13, Lemmes 6.3.1 & 6.4.1].

3.3 Proposition.

Soit est une représentation automorphe de . Alors, il existe un paramètre d’Arthur généralisé tel que le caractère infinitésimal de soit associé à .

4. Stabilisation de la formule des traces

On voudrait comparer les spectres automorphes discrets des groupes et .

Soit donc une fonction lisse à support compact, décomposable, sur . On s’intéresse essentiellement à

(4.0.1)

est la partie discrète de l’espace des formes automorphes sur . Cette trace est bien définie d’après Müller [24], mais ceci n’est pas nécessaire pour les démonstrations qui suivent. En effet, ce n’est pas l’expression (4.0.1) que l’on peut comparer à son analogue pour , mais «  la partie discrète de la formule des traces pour   ». Il s’agit alors de fixer un réel strictement positif et, selon Arthur, de considérer des expressions relatives à et portant sur des représentations dont la norme du caractère infinitésimal est égale à .

Pour fixé, Arthur définit une distribution , somme de la partie de (4.0.1) relative à et de termes associés à diverses représentations induites de sous-groupes de Levi [7, (21.19)]. On reviendra plus tard sur les termes complémentaires. Observons que l’on ne sait pas a priori montrer que la somme sur de ces distributions converge; cela nécessiterait d’étendre le résultat de Müller mentionné plus haut.

4.1. Sous-groupes elliptiques

Considérons la famille des données endoscopiques elliptiques pour [7, §27]. Puisque est forme intérieure de , . Cet ensemble est décrit explicitement par Arthur [7, §30]. Il faut distinguer deux cas selon la parité de .

Si est impair et l’ensemble est paramétré par des pairs d’entiers pairs avec et . Le groupe endoscopique correspondant est le groupe déployé

(4.1.1)

Ainsi

et .

Si est pair et l’ensemble est paramétré par des pairs d’entiers pairs tels que , et des paires correspondantes de de caractères d’Artin , avec . 111Si , ; si ou est égal à , le caractère correspondant est non trivial. Le groupe endoscopique correspondant est le groupe quasi-déployé

(4.1.2)

Ainsi

et , où opère sur chaque facteur par un automorphisme d’ordre , respectant un épinglage.

Dans tous les cas, on vérifie l’existence d’un morphisme naturel .

4.2. Lemmes fondamentaux et transfert

Les hypothèses d’analyse harmonique locale de [6, §5] – lemmes fondamentaux standard et pondéré – sont maintenant des théorèmes, voir Ngô [25] et Chaudouard-Laumon [17]. Elles permettent d’associer à une famille de fonctions (c’est une correspondance, non une application : n’est définie que par ses intégrales orbitales stables). Si est non ramifiée hors d’un ensemble fini de places , il en est de même de (si est ramifié en une place et non ramifiée, alors et donc est nulle).

Le groupe appartient à . C’est le seul de dimension maximale. On notera la fonction .

4.3 Théorème (Arthur).

On a :

(4.3.1)

où, pour tout , est une distribution stable.

Voir [7, Cor. 29.10]. Les coefficients sont définis dans [7, §27] et sont des rationnels . Noter que (4.3.1) – appliqué à plutôt qu’à , et inductivement à ses sous-groupes endoscopiques – définit, de façon unique, les distributions .

5. Déstabilisation de la formule des traces

Les termes de droite de (4.3.1), définis à partir du côté géométrique de la formule des traces, n’ont pas a priori d’interprétation spectrale. Pour utiliser cette identité, il faut donc déstabiliser son membre de droite.

5.1.

Supposons pour un instant que est un groupe (réductif, connexe) arbitraire sur un corps de nombres. Si est quasi-déployé, apparaît dans (4.3.1) comme l’un de ses sous-groupes endoscopiques et l’on a l’égalité

(5.1.1)

où la somme porte sur les groupes endoscopiques propres. Cf. [7, (29.21)], ainsi que la discussion suivant le Cor. 29.10; ibid. Nous pouvons appliquer (5.1.1) à chacun des groupes endoscopiques apparaissant dans (4.3.1).

5.2. Transfert

Fixons un ensemble fini de places de , contenant les places archimédiennes, et supposons que contient les places de ramification de . Pour , est isomorphe au groupe quasi-déployé et se déploie sur un extension non-ramifée de ; ce groupe possède donc un sous-groupe hyperspécial (voir [31, 1.10.2]) que l’on note . Soit l’algèbre de Hecke correspondante.

On supposera que , où et pour tout .

Si , la correspondance est une application, décrite explicitement, de vers l’algèbre de Hecke de est un sous-groupe hyperspécial de , qui est non-ramifié si . Les groupes ont été décrits dans le paragraphe précédents, et dépendent, puisque , d’un caractère d’Artin quadratique . Ce caractère étant non ramifié hors , ceci ne laisse qu’un nombre fini de possibilités pour et donc pour les groupes .

En la place réelle , on dispose des résultats de Shelstad [29] sur le transfert pour les fonctions dans les espace de Schwartz-Harish-Chandra. Il découle de [19, Appendice, Théorème A.3] que les propriétés de support compact et de -finitude peuvent aussi être préservées. L’application de transfert n’a pas d’importance pour nous, seuls comptent son existence et le fait, que nous expliquons dans le paragraphe suivant, que le transfert est compatible aux multiplicateurs d’Arthur.

5.3. Multiplicateurs d’Arthur

Rappelons que le centre de l’algèbre enveloppante de s’identifie à . Toute représentation irréductible admissible de a un caractère infinitésimal que l’on voit comme un élément . L’algèbre agit sur – l’algèbre des fonctions -finies et à support compact sur . Arthur montre plus généralement – voir [3, Theorem 4.2] ou encore [7, Theorem 20.4] – qu’il existe une action canonique de l’algèbre sur . Ici désigne l’algèbre des multiplicateurs – distributions -invariantes et à support compact sur munis du produit de convolution. Arthur montre en outre que pour toute représentation irréductible admissible de ,

(5.3.1)

est la transformée de Fourier qui est en particulier une fonction holomorphe -invariante sur .

5.4.

Revenons maintenant au transfert. Soit un paramètre de Langlands réel pour le groupe endoscopique et le paramètre de Langlands réel obtenu en composant par le morphisme naturel . Notons et les -paquets correspondants de représentations admissibles de et de .

On peut identifier le tore maximal de au tore maximal

de ( ou ). On en déduit un isomorphisme entre les tores maximaux et de et . Par ailleurs et ont la même complexification, et leurs sous-algèbres de Cartan complexifiées s’identifient donc canoniquement (modulo l’action du groupe de Weyl ). Cet isomorphisme permet de réaliser le groupe de Weyl comme sous-groupe du groupe de Weyl et induit un isomorphisme

Les paramètres et étant semi-simples, leurs images sont alors (à conjugaison près) contenues dans . Il résulte de [13, Lemmes 6.3.1 & 6.4.1] que les paramètres diagonaux associés à et sont respectivement et (modulo ), où et sont les caractères infinitésimaux respectifs des membres des -paquets et . Nous dirons que les caractères infinitésimaux et sont associés par fonctorialité. De la même manière on peut parler de multiplicateurs et associés par fonctorialité; cela revient à demander que

pour tout couple de caractères infinitésimaux associés par fonctorialité.

Dire que le transfert est compatible aux multiplicateurs d’Arthur revient alors à dire que si et sont deux multiplicateurs associés par fonctorialité alors

(5.4.1)

pour tout couple de -paquets se correspondant par la fonctorialité .

5.5. Déstabilisation

Appliquons maintenant (5.1.1) à chacun des termes de (4.3.1). Par récurrence, on voit que s’écrit comme combinaison linéaire des termes où les groupes sont des groupes endoscopiques itérés des groupes .

Soit un groupe endoscopique associé à une partition , voir (4.1.1) ou (4.1.2). Un groupe endoscopique pour se décompose en produit de groupes endoscopiques pour chacun des facteurs et ceux-ci sont décrits au paragraphe précédent. Si est par exemple le premier facteur de (4.1.1), resp. (4.1.2), tout sous-groupe endoscopique elliptique pour est de la forme

, sont pairs positifs et de somme et , sont des caractères d’Artin d’ordre avec . Comme dans le paragraphe précédent, on a un morphisme naturel .

Après itération (finissant par des groupes , resp. , qui n’ont pas de sous-groupes endoscopiques propres), on voit que les groupes endoscopiques itérés sont, dans le premier cas, des produits de groupes et, dans le second cas, des produits de groupes où les sont des entiers pairs qui forment une partition de et les sont des caractères d’Artin d’ordre qui vérifient . (Ce ne sont des groupes endoscopiques pour que s’il y a deux facteurs.) Dans tous les cas, l’argument de ramification précédent reste valide : ils sont en nombre fini. Un groupe endoscopique itéré est défini par une itération :

(5.5.1)

et l’application – en fait, une correspondance entre fonctions lisses – n’est pas évidemment indépendante de la suite . On conviendra donc qu’un groupe endoscopique itéré est, non le groupe , mais la suite de (5.5.1), et on note le terme final.

Au terme de cette procédure, on obtient dans tous les cas une expression finie :

(5.5.2)

où les sont des rationnels, peut-être négatifs ou nuls.

5.6.

Supposons pour l’instant (réductif connexe sur ) arbitraire. Il est temps de décrire le terme . Il est défini par Arthur dans [4, §4] – voir la formule (4.3) – ainsi que dans [7, (21.19)] :

(5.6.1)

Le terme correctif porte sur les sous-groupes de Levi standard, propres, de ; l’opérateur est défini par l’action de dans une représentation de unitairement induite à partir d’une somme finie (pour -finie) de représentations du spectre discret de . Les définitions des autres termes n’ont pas d’importance pour nous, cf. [4, 7]. Qu’il nous suffise de dire que est un opérateur d’entrelacement de la représentation induite. Nous appliquerons (5.6.1) à chaque terme de (5.5.2).

6. Caractères infinitésimaux des représentations automorphes de

Compte tenu de la convergence absolue des expressions dans (5.5.2), la compatibilité du transfert archimédien -fini aux multiplicateurs d’Arthur (voir [8, §2.15] ou encore [21, Prop. 3.5.4]) permet de raffiner l’identité (5.5.2) en séparant les caractères infinitésimaux. Ceci fournit une identité entre traces de représentations dont les caractères infinitésimaux sont fixés et associés par fonctorialité; les sommes apparaissant dans (5.5.2) sont alors finies. On a ainsi ramené l’étude des caractères infinitésimaux de représentations automorphes de à l’analogue pour ses sous-groupes endoscopiques. Ceux-ci sont des produits de groupes quasi-déployés et les résultats d’Arthur [7, §30] que nous avons rappelés au chapitre 3 s’appliquent.

Fixons un groupe endoscopique itéré . Puisque est un produit de groupes quasi-déployés, il découle du chapitre 3 que si est une représentation automorphe de , il existe un paramètre d’Arthur généralisé (ainsi défini dans l’introduction du chapitre 2) tel que le caractère infinitésimal de est égal à .

Le paragraphe précédent et la séparation des caractères infinitésimaux impliquent donc :

6.1 Théorème.

Si une représentation irréductible de apparaît (faiblement) dans pour un sous-groupe de congruence , il existe un paramètre d’Arthur généralisé tel que le caractère infinitésimal de soit égal à .

On peut tirer de ce théorème des conséquences similaires à celles que l’on tire de la conjecture 6.1.2 dans [13, §6.3 et 6.4]. Supposons donc et . Notons le sous-groupe qui – dans notre réalisation de – stabilise la décomposition . Sa composante neutre est compacte. D’après la classification de Langlands, une représentation admissible irréductible de est soit un membre de la série discrète de – auquel cas est pair – soit un sous-quotient irréductible