Problème de Plateau, équations fuchsiennes et problème de Riemann–Hilbert

Problème de Plateau, équations fuchsiennes et problème de Riemann–Hilbert

Laura Desideri
Universität Tübingen
Mathematisches Institut
Auf der Morgenstelle 10
72 076 Tübingen, Germany
E-mail : desideri@mathematik.uni-tuebingen.de
Url : http://www.mathematik.uni-tuebingen.de/ab/Differentialgeometrie/desideri.html

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[0]Résuméresume

Résumé

Ce mémoire est consacré à la résolution du problème de Plateau à bord polygonal dans l’espace euclidien de dimension trois. Il s’appuie sur la méthode de résolution proposée par René Garnier dans un article publié en 1928 et qui a été oublié depuis, voire ignoré à l’époque. L’approche de Garnier est très différente de la méthode variationnelle, elle est plus géométrique et constructive, et permet d’obtenir des disques minimaux sans point de branchement. Cependant, elle est parfois très compliquée, voire obscure et incomplète. En s’inspirant des idées de Garnier, on propose une nouvelle démonstration, qui est non seulement complète, mais également plus simple et plus moderne que la sienne. Ce travail repose principalement sur l’utilisation plus systématique des systèmes fuchsiens et la mise en évidence du lien entre la réalité d’un système et sa monodromie.

La méthode de Garnier repose sur le fait que, par la représentation de Weierstrass spinorielle des surfaces minimales, on peut associer une équation fuchsienne réelle du second ordre, définie sur la sphère de Riemann, à tout disque minimal à bord polygonal. La monodromie de cette équation est déterminée par les directions orientées des côtés du bord. Le bon point de vue consiste à considérer des polygones pouvant avoir un sommet en l’infini. Pour résoudre le problème de Plateau, on est donc amené à résoudre un problème de Riemann–Hilbert. On procède ensuite en deux étapes : tout d’abord, on décrit explicitement, par déformations isomonodromiques, la famille de tous les disques minimaux dont le bord est un polygone de directions orientées données. Puis on utilise cette description pour étudier les longueurs des côtés des bords polygonaux, et on montre ainsi que tout polygone est le bord d’un disque minimal.

Mots-clefs Surfaces minimales, systèmes complètement intégrables, équations fuchsiennes et systèmes fuchsiens, problème de Riemann–Hilbert, déformations isomonodromiques, système de Schlesinger.

Classification mathématique par sujets (2010)

53A10, 34M03, 34M35, 34M50, 34M55, 34M56.

The Plateau problem, Fuchsian equations and the Riemann–Hilbert problem


Abstract

This dissertation is devoted to the resolution of the Plateau problem in the case of polygonal boundary curves in the three-dimensional Euclidean space. It relies on the method developed by René Garnier and published in 1928 in a paper which seems today to be totally forgotten. Garnier’s approach is more geometrical and constructive than the variational one, and it provides minimal disks without branch point. However, it is sometimes really complicated, and even obscure or incomplete. Following Garnier’s initial ideas, we propose a new proof, which intends not only to be complete, but also simpler and moderner than his one. This work mainly relies on a systematic use of Fuchsian systems and on the relation that we establish between the reality of such systems and their monodromy.

Garnier’s method is based on the following fact: using the spinor Weierstrass representation for minimal surfaces, we can associate a real Fuchsian second-order equation, defined on the Riemann sphere, with each minimal disk with a polygonal boundary curve. The monodromy of the equation is determined by the oriented directions of the edges of the boundary. To solve the Plateau problem, we are thus led to solve a Riemann–Hilbert problem. We then proceed in two steps: first, by means of isomonodromic deformations, we construct and describe the family of all minimal disks with a polygonal boundary curve of given oriented directions. Then we use this description to study the edges’s lengths of their boundary curves, and we show that every polygon is the boundary of a minimal disk.

Keywords Minimal surfaces, integrable systems, Fuchsian equations and Fuchsian systems, the Riemann–Hilbert problem, isomonodromic deformations, Schlesinger system.

Mathematics Subject Classification (2010)

53A10, 34M03, 34M35, 34M50, 34M55, 34M56.

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[0]Table des matièrestablematieres

Introduction

Ce mémoire a pour but de présenter une résolution du problème de Plateau à bord polygonal, qui est très différente de la méthode variationnelle, et qui repose sur une méthode élaborée par René Garnier. Garnier a exposé cette méthode dans l’article Le Problème de Plateau [Garnier28]. Publié en 1928, c’est-à-dire environ deux ans avant les démonstrations du problème de Plateau obtenues indépendamment par T. Radó [Rado] et J. Douglas [Douglas], cet article semble avoir été complètement oublié, voire ignoré à l’époque. Même si l’existence de cette résolution est aujourd’hui connue de certains spécialistes, lorsque j’ai commencé ma thèse (dont ce mémoire est un des résultats), personne ne semblait être en mesure de dire comment elle fonctionnait, ni même si elle était correcte ou non. Sa démonstration est en effet très compliquée, parfois elliptique et obscure, et certains passages en sont même peu convaincants. En s’inspirant des idées de Garnier, on propose ici une nouvelle preuve de ce résultat, qui soit non seulement complète et compréhensible, mais aussi plus simple, et qui apporte un point de vue nouveau sur la méthode de Garnier. Ce travail repose principalement sur l’utilisation plus systématique des systèmes fuchsiens et la mise en évidence du lien entre la réalité d’un tel système et sa monodromie. Cette clarification des fondements de la méthode de Garnier m’a permis de l’étendre au cas où l’espace ambiant est l’espace de Minkowski de dimension trois [Desideri-minkowski].


Les surfaces minimales sont les surfaces dont la courbure moyenne est partout nulle. Elles constituent les points critiques de la fonctionnelle d’aire pour les variations fixant le bord. La théorie des surfaces minimales a commencé au xviii siècle, avec les débuts du calcul des variations, et connaît d’importantes avancées dans la seconde moitié du xix siècle, avec notamment la représentation due à Weierstrass de toute immersion conforme minimale à partir de deux fonctions holomorphes. À la fin du xix siècle et au début du xx siècle, les mathématiciens s’intéressent au << problème de Plateau >>, du nom du physicien belge Joseph Plateau qui en 1873, a établi expérimentalement, par de très nombreuses expériences sur les films de savon, que toute courbe fermée de l’espace est le bord d’une surface minimale. L’énoncé mathématique du problème de Plateau est le suivant : étant donné une courbe fermée connexe de Jordan de l’espace euclidien de dimension trois, montrer qu’il existe une surface minimale régulière et ayant la topologie d’un disque dont le bord soit la courbe fermée. Au début des années 1930, Tibor Radó [Rado] et Jesse Douglas [Douglas] obtiennent indépendamment par la méthode variationnelle les premiers résultats généraux (reconnus !) du problème de Plateau. Cependant, ils ne parviennent pas à exclure l’existence de points de branchement isolés à l’intérieur ou au bord du disque minimal. Il faut attendre les années 1970, et les travaux de R. Osserman [Osserman], R. Gulliver [Gulliver] et R. Osserman, R. Gulliver et H. L. Royden [GulliverOssermanRoyden] pour obtenir une démonstration du problème de Plateau qui soit absolument complète.

La méthode de Garnier pour résoudre le problème de Plateau est très différente de la méthode variationnelle. Même si elle paraît moins puissante, elle permet d’obtenir des surfaces, qui, contrairement aux solutions de Douglas–Radó, sont régulières partout. De plus, l’approche de Garnier est plus géométrique, s’inscrivant dans la continuation des travaux de K. Weierstrass, B. Riemann, H.-A. Schwarz et G. Darboux. Elle est également plus constructive que la méthode variationnelle.

La méthode de Garnier repose sur la correspondance de tout disque minimal à bord polygonal avec une équation fuchsienne réelle du second ordre définie sur la sphère de Riemann. Cette correspondance est antérieure aux travaux de Garnier. Elle est donnée par la représentation de Weierstrass, aujourd’hui dite spinorielle, des immersions conformes minimales. Cette équation fuchsienne semble être mentionnée pour la première fois, de manière indépendante et presque simultanée, dans un bref article de Karl Weierstrass [Weierstrass1] publié au mois de décembre 1866, et lors d’une présentation posthume des travaux de Bernhard Riemann [Riemann] par Hattendorf le 6 janvier 1867 à la Société Royale de Göttingen. Riemann n’utilise pas la représentation de Weierstrass, mais deux représentations conformes (sphérique et plane) du même disque minimal. Gaston Darboux étudie en détail cette équation associée à un disque minimal à bord polygonal ([Darboux], chapitre xiii), et expose les difficultés à surmonter pour être en mesure de résoudre le problème de Plateau. Au premier rang de celles-ci figure la détermination d’une équation fuchsienne à partir de sa monodromie : c’est le << problème de Riemann–Hilbert >>, qui deviendra bientôt le vingt-et-unième des vingt-trois problèmes proposés par David Hilbert au Congrès International de Paris en 1900. C’est seulement une vingtaine d’années après ces observations de Darboux que seront obtenues les premières solutions du problème de Riemann–Hilbert, par J. Plemelj [Plemelj] et G. Birkhoff [Birkhoff] – solutions dont A. A. Bolibruch a montré des décennies plus tard par une série de contre-exemples [Bolibruch1], [Bolibruch2] qu’elles contiennent une erreur.

Garnier est un étudiant de Paul Painlevé. En 1912, il publie un article [Garnier12] qui rassemble les résultats de sa thèse et dans lequel il étudie en particulier les déformations isomonodromiques d’équations fuchsiennes ayant un nombre arbitraire de singularités et aucune singularité logarithmique. Le système différentiel qui gouverne ces déformations, connu aujourd’hui sous sa forme hamiltonienne sous le nom de système de Garnier, est en un sens une généralisation de la sixième équation de Painlevé . En 1926, il propose une résolution du problème de Riemann–Hilbert [Garnier26] basée sur l’étude du système Schlesinger au voisinage de ses singularités non mobiles, et de ses liens avec le système de Garnier. Les résultats obtenus dans ces deux articles lui permettent d’espérer être en mesure de lever les difficultés mises en évidence par Darboux pour la résolution du problème de Plateau. Il lui reste néanmoins encore beaucoup de travail à accomplir pour obtenir cette résolution [Garnier28].

Depuis les années 1970, leurs liens avec des problèmes issus de la physique sont à l’origine de l’intérêt nouveau que suscitent les équations de Painlevé, et consécutivement, le système de Garnier. C’est à Kazuo Okamoto et à Hironobu Kimura que l’on doit la << redécouverte >> du système de Garnier au début des années 1980 et, en particulier, la mise en évidence de sa structure hamiltonienne [Okamoto]. Dans ce contexte, et grâce notamment aux travaux de Mikio Sato, Tetsuji Miwa et Michio Jimbo [SMJ] sur le problème de Riemann–Hilbert et le système de Schlesinger, la résolution du problème de Plateau par Garnier revêt elle aussi un intérêt nouveau, avec entre autre la possibilité d’une simplification.

Résumé des chapitres

L’objet de ce mémoire est la démonstration du théorème suivant.

Théorème 1 (Problème de Plateau à bord polygonal).

Tout polygone en position générique, ayant éventuellement un sommet en l’infini, est le bord d’au moins un disque minimal immergé. De plus, si a un sommet en l’infini, alors le disque minimal a un bout hélicoïdal en ce sommet.

On dit ici qu’un polygone à côtés est en position générique si le -uplet des directions orientées de ses côtés est dans l’ensemble (définition 2), i.e. si deux directions quelconques de ne sont pas colinéaires et trois directions quelconques ne sont pas coplanaires.

Pour toute direction orientée , on introduit l’ensemble des polygones à côtés de direction ayant éventuellement un sommet en l’infini (i.e. des lignes brisées éventuellement infinies), définis à translation et homothétie de rapport positif près (définition 3) : ces polygones sont caractérisés par rapports de longueurs de côtés, entre leurs longueurs finies, et l’ensemble est ainsi isomorphe à . On définit également l’ensemble des immersions conformes minimales qui représentent des disques minimaux ayant un bord polygonal , et un bout hélicoïdal si a un sommet en l’infini, également à translation et homothétie de rapport positif près (définition 4). On peut toujours supposer qu’une telle immersion est définie sur le demi-plan supérieur

On peut alors paraphraser ainsi le théorème 1 : il revient à montrer que pour toute direction , l’application suivante est surjective

Pour cela, la méthode que propose Garnier repose sur une correspondance bijective explicite entre une classe adéquate d’équations fuchsiennes, notée , et l’ensemble . On cherchera donc plutôt à montrer que la composition suivante est surjective

Après deux premiers chapitres introductifs, on définit et on caractérise au chapitre 3 l’ensemble d’équations , en constituant une sorte de dictionnaire entre les ensembles et . Au chapitre 4, on considère l’ensemble analogue de systèmes fuchsiens, et on décrit au moyen de déformations isomonodromiques l’ensemble . Le chapitre 5 est consacré à la résolution du problème de Plateau proprement dite : on utilise la description précédente pour étudier les rapports de longueurs des bords polygonaux des immersions de , et on montre ainsi que tout polygone de directions orientées est le bord d’au moins un disque minimal.

Chapitre 1. Surfaces minimales

On expose des aspects généraux sur les surfaces minimales de l’espace euclidien de dimension trois. Le point essentiel est la représentation de Weierstrass que l’on appelle aujourd’hui spinorielle : tout couple de fonctions holomorphes sur une le demi-plan supérieur et sans zéro commun définit une immersion conforme minimale de dans , et réciproquement, toute immersion de ce type est obtenue par un couple de fonctions holomorphes sans zéro commun.

Chapitre 2. Équations fuchsiennes et systèmes fuchsiens

On donne une introduction assez détaillée des notions de base telles que le comportement local au voisinage des singularités, la monodromie, le problème de Riemann–Hilbert, les déformations isomonodromiques et, en particulier, le système de Schlesinger. On explicite aussi les liens entre équations et systèmes fuchsiens.

Chapitre 3. L’équation associée à un disque minimal à bord polygonal

Ce chapitre n’est pas consacré à la résolution du problème de Plateau proprement dite, mais plutôt à l’étude de la correspondance entre disques minimaux à bord polygonal et équations fuchsiennes. Cette correspondance est antérieure aux travaux de Garnier sur le problème de Plateau, elle est déjà étudiée par Darboux ([Darboux], chapitre xiii).

On considère une immersion conforme minimale qui représente un disque minimal à bord polygonal de direction , c’est-à-dire un élément de . Cette immersion est caractérisée par ses données de Weierstrass et , qui sont des fonctions holomorphes dans , et qui sont linéairement indépendantes dès que l’image de n’est pas plane. Elles sont donc solutions d’une unique équation différentielle ordinaire linéaire du second ordre

()

L’équation () est l’équation associée à l’immersion . On note l’ensemble des équations qui sont associées en ce sens à une immersion appartenant à . Le but de ce chapitre est d’obtenir une caractérisation de l’ensemble , en traduisant des propriétés géométriques des immersions en terme de propriétés analytiques des équations (). Une équation () de a deux types de singularités : les antécédents par l’immersion des sommets du bord polygonal , qui sont réels

et les ombilics de , qui sont des singularités apparentes. En appliquant le principe de réflexion de Schwarz, on montre que l’équation () s’étend à la sphère de Riemann, sur laquelle c’est une équation fuchsienne réelle, et on détermine comment les données de Weierstrass sont transformées autour des singularités . On montre ainsi que la monodromie de l’équation () est entièrement déterminée par la direction orientée du bord polygonal de : l’ensemble est isomonodromique. Il n’y a par contre aucune traduction naturelle des longueurs des côtés de en terme de propriétés de l’équation ().

On obtient ainsi que les équations de sont caractérisées par trois conditions : une condition (i) qui est d’ordre local (nature et position des singularités, valeurs des exposants), une condition (ii) qui impose la monodromie à partir de la direction , et une condition de réalité (iii). Finalement, on montre que l’ensemble est en bijection avec l’ensemble .

Chapitre 4. Déformations isomonodromiques

Étant donné un -uplet de directions orientées , le but de ce chapitre est d’utiliser l’ensemble pour décrire explicitement l’ensemble . Contrairement à Garnier, pour obtenir cette description, on va plutôt utiliser des systèmes fuchsiens, à la place des équations fuchsiennes de . Cette approche apporte un point de vue nouveau à la méthode de Garnier et la simplifie notablement.

On commence donc par introduire l’ensemble analogue des systèmes fuchsiens du premier ordre de taille , qui sont associés, dans un sens que l’on précisera, aux immersions de l’ensemble . On établit une caractérisation de ces systèmes par des conditions (i), (ii), et (iii), qui sont les analogues des conditions (i), (ii), et (iii) précédentes. Notamment, les conditions (ii) et (ii), qui portent sur la monodromie, sont identiques. L’ensemble n’est pas en bijection avec l’ensemble , puisque des systèmes fuchsiens différents peuvent définir la même équation.

Pour décrire l’ensemble , on lève ensuite une difficulté ignorée par Garnier, qu’est la condition de réalié (iii). On montre que la << réalité >> d’un système fuchsien peut être caractérisée par sa monodromie : on établit une condition nécessaire et suffisante portant sur la monodromie d’un système pour que celui-ci satisfasse la condition (iii). En particulier, cette condition est vérifiée par une monodromie satisfaisant la condition (ii) : l’ensemble est donc simplement l’ensemble des systèmes vérifiant les conditions (i) et (ii).

Enfin, on utilise des déformations isomonodromiques pour décrire les systèmes de . On obtient que l’ensemble contient une famille isomonodromique de systèmes fuchsiens paramétrée par la position des singularités variant dans le simplexe

décrite par le système de Schlesinger et qui est en bijection avec l’ensemble . On obtient également un résultat de régularité en pour cette famille. On en déduit une description explicite de l’ensemble , et de la famille des polygones de direction qui sont le bord d’au moins un disque minimal.

Chapitre 5. Rapports de longueurs des côtés

Le but de chapitre est de montrer que la famille de polygones décrit entièrement l’ensemble . Un système de coordonnées sur est donné par rapports de longueurs de côtés. Pour chaque valeur de , les données de Weierstrass de l’immersion sont obtenues à partir d’une solution fondamentale du système fuchsien . Les rapports de longueurs des côtés du polygone s’écrivent donc

(), et on obtient ainsi la fonction << rapports des longueurs >> associée à la direction

Le but de ce chapitre est donc d’établir le théorème suivant, qui conclut la démonstration du théorème 1, et qui en est la partie la plus difficile.

Théorème.

Étant donné un -uplet de directions orientées , la fonction << rapports des longueurs >> est surjective.

On propose une démonstration de ce théorème très différente de celle Garnier, basée sur l’étude de la famille au bord du simplexe et une récurrence portant sur le nombre de côtés des polygones. Par identification naturelle des simplexes et , on obtient une fonction . Pour montrer que la fonction est surjective, on montre que la fonction est de degré , c’est-à-dire homotope à l’identité. On établit un résultat de topologie qui nous permet de nous ramener à montrer que la fonction est continue et de degré au bord de . Pour obtenir cela, il faut interpréter la fonction en terme de nouvelles fonctions << rapports des longueurs >> de dimension inférieure : c’est l’objet de la proposition 6 dont l’énoncé paraît naturel et qui est l’étape la plus importante de la démonstration : la fonction s’étend continûment à chacune des faces du bord du simplexe (qui sont des simplexes de dimension inférieure). Chaque face est caractérisée par la << disparition >> de certains , qui ont fusionné avec la singularité suivante . On affirme qu’alors la fonction restreinte à chaque face est, à homéomorphisme près, la fonction << rapports des longueurs >> () définie par les directions orientées obtenues à partir de en << enlevant >> les composantes correspondant aux qui ont disparu. Une fois que l’on a obtenu la proposition 6, il suffit pour conclure de faire une récurrence sur le nombre de côtés, dont l’hérédité est assurée par le résultat de topologie mentionné plus haut, et dont l’initialisation au rang (cas d’un bord quadrilatéral) est immédiate une fois que l’on a obtenu la proposition 6.

La majeure partie de ce chapitre est donc consacrée à la démonstration de la proposition 6. La partie la plus difficile est d’obtenir la continuité de la fonction au bord, et non pas son interprétation géométrique. On s’appuie sur des résultats généraux sur les singularités fixes du système de Schlesinger, que Garnier appelle les pseudo-chocs, c’est-à-dire en les points tels que , . Ces résultats sont une partie plus connue du travail de Garnier [Garnier26], et ont été développés et généralisés par Sato, Miwa et Jimbo [SMJ]. On reprend ces résultats en en approfondissant des aspects qui nous seront utiles pour étudier l’holomorphie de la fonction en les pseudo-chocs. On applique ensuite cette étude générale aux solutions particulières du système de Schlesinger qui nous intéresse, c’est-à-dire au cas réel, et on établit la proposition 6.

Remerciements. Je souhaite remercier mon directeur de thèse Frédéric Hélein de m’avoir suggéré de travailler sur la résolution du problème de Plateau par R. Garnier, et pour son aide tout au long de ce travail.

Chapitre 1 Surfaces minimales

On expose dans ce chapitre des aspects généraux sur les surfaces minimales de l’espace euclidien de dimension trois . On note un repère orthonormal de . Une immersion conforme d’une surface de Riemann dans est dite minimale si sa courbure moyenne est partout nulle. Rappelons que la courbure moyenne d’une immersion est la moitié de la trace de sa deuxième forme fondamentale.

1.1 Représentation de Weierstrass

La représentation de Weierstrass est un outil fondamental dans l’étude des surfaces minimales. Elle permet à la fois de caractériser et de construire des surfaces minimales. Donnons tout d’abord une première forme, classique, de cette représentation.

Théorème 1.

Soient une surface de Riemann et un point de .

Soient une fonction méromorphe dans et une -forme différentielle holomorphe dans telles que

  • les zéros de sont d’ordre pair,

  • a un pôle d’ordre en un point si et seulement si a un zéro d’ordre en .

Alors l’application définie sur le revêtement universel de par

est une immersion conforme minimale de dans .

Réciproquement, si est une immersion conforme minimale, alors il existe un point , une fonction méromorphe dans et une -forme différentielle holomorphe dans vérifiant les deux conditions ci-dessus tels que

La différentielle de Hopf de l’immersion est, par définition, la -forme différentielle

et elle s’exprime en fonction des données par . On peut voir facilement que la fonction est le projeté stéréographique par rapport au pôle nord du vecteur de Gauss de l’immersion . Les données géométriques de l’immersion sont caractérisées par les données  : sa métrique induite et sa seconde forme fondamentale sont

Cependant, la représentation qu’utilise Garnier, et que l’on va utiliser exclusivement dans ce mémoire, est la représentation aujourd’hui dite spinorielle des surfaces minimales. Bien que soit probablement sous cette forme que la représentation de Weierstrass ait été donnée pour la première fois — par K. Weierstrass lui-même [Weierstrass1] —, elle n’est pas considérée aujourd’hui comme la représentation classique. Par souci de simplicité, comme on ne s’intéresse dans ce mémoire qu’aux disques minimaux, on n’énonce cette représentation que dans le cas des immersions définie dans le demi-plan supérieur ou demi-plan de Poincaré

(1.1)

désigne la partie imaginaire du nombre complexe . Il n’y a pas alors de problème de période, et de passage au revêtement universel. On pourra se reporter à [KuSch] pour un énoncé plus général et pour plus de détails sur la représentation spinorielle.

Théorème 2.

Soit un point du demi-plan supérieur .

Pour tout couple de fonctions holomorphes dans sans zéro commun, l’application définie par

(1.2)

est une immersion conforme minimale.

Réciproquement, si est une immersion conforme minimale, alors il existe un point , et un couple de fonctions holomorphes tels que

Comme on utilisera exclusivement cette représentation, on l’appellera, contrairement à l’usage actuel, la représentation de Weierstrass, et le couple de fonctions holomorphes les données de Weierstrass de l’immersion . La correspondance entre les deux représentations précédentes est donnée par

Le projeté stéréographique nord du vecteur de Gauss est . La différentielle de Hopf est donnée par le Wronskien des fonctions et

(1.3)

et la métrique induite et la seconde forme fondamentale par

(1.4)
Exemple.

Voici les exemples les plus classiques de surfaces minimales.

  1. Si les fonctions et sont proportionnelles, alors l’immersion associée définit une surface minimale contenue dans un plan (c’est même une équivalence). Si et si les fonctions et sont constantes, on obtient un plan entier.

  2. Si on choisit , , , on obtient une hélicoïde. L’immersion est définie dans le revêtement universel de . Les hélicoïdes sont des surfaces réglées (figure 1.2).

  3. Si on choisit , , , on obtient une caténoïde. On peut montrer qu’alors l’immersion est bien définie dans . Les caténoïdes sont les seules surfaces minimales de révolution (figure 1.2).

Figure 1.1: Une hélicoïde
Figure 1.2: Une caténoïde

Une application différentiable donnée par (1.2) où les fonctions et sont seulement supposées holomorphes, représente une surface minimale généralisée, c’est-à-dire qui peut avoir des points de branchement. Ces points de branchement sont les points où la dérivée s’annule, et où donc la surface minimale n’est plus immergée. Ce sont exactement les zéros communs des fonctions et .

On voit que l’immersion ne change pas si on change le signe du couple . En fait, les données de Weierstrass associées à une immersion conforme minimale sont uniques au signe près. Par ailleurs, si on considère deux représentations conformes sur du même disque minimal, elles se déduisent l’une de l’autre par composition à droite par une représentation conforme du demi-plan dans lui-même, i.e. par une application de Möbius

Il suffit donc de fixer l’image de trois points par une immersion pour la déterminer entièrement à partir de son image.

Remarquons que si la représentation de Weierstrass donne une description locale très simple des immersions conformes minimales, elle paraît a priori peu utile à la résolution du problème de Plateau. Il semble en effet difficile de déduire d’une courbe que l’on s’est fixée à l’avance des conditions sur les données de Weierstrass qui assurent que l’immersion conforme minimale associée passe par cette courbe. On verra au chapitre 3 comment l’équation associée à un disque minimal à bord polygonal permet de déduire de cette description locale des contraintes globales sur les données de Weierstrass.

1.2 Surface minimale conjuguée et famille associée

Les coordonnées d’une immersion conforme minimale sont les parties réelles de fonctions holomorphes : elles sont donc harmoniques. Rappelons qu’à toute application harmonique définie sur une surface de Riemann , on peut associer une autre application harmonique , qui est a priori définie dans le revêtement universel de , telle que la fonction soit holomorphe dans ( est définie à une constante additive près). L’application est appelée l’application harmonique conjuguée de . On peut ainsi introduire la définition suivante.

Définition 3.

Soit une immersion conforme minimale. Alors l’immersion conforme minimale dont les coordonnées sont les applications harmoniques conjuguées de celles de est appelée l’immersion conjuguée de . Elle est définie à une translation près.

Si l’immersion a pour données de Weierstrass , alors l’immersion conjuguée s’écrit

et ses données de Weierstrass sont

Les immersions et ont la même application de Gauss, et elles sont localement isométriques. Par exemple, la surface conjuguée d’une caténoïde est une hélicoïde, bien qu’elles ne soient pas globalement isométriques. L’équation différentielle des lignes de courbure de est donnée par

et celle des lignes asymptotiques par

Les lignes de courbure et les lignes asymptotiques sont donc échangées entre une surface minimale et sa conjuguée. Comme une surface minimale et sa conjuguée ont les mêmes géodésiques et la même application de Gauss, on en déduit donc le lemme suivant.

Lemme 4.

Si une surface minimale de contient un segment de droite de vecteur directeur , alors ce segment correspond sur la surface minimale conjuguée à une courbe plane contenue dans un plan normal à et que la surface coupe perpendiculairement.

En effet, si est une surface immergée dans , alors les droites contenues dans sont exactement les courbes qui sont à la fois des lignes asymptotiques et des géodésiques de . De même, les courbes tracées sur et contenues dans un plan que la surface coupe perpendiculairement sont exactement les courbes qui sont à la fois des lignes de courbure et des géodésiques de .

Par exemple, les méridiens d’une caténoïde correspondent sur une hélicoïde conjuguée aux droites qui engendrent l’hélicoïde. Le cercle médian de la caténoïde correspond à la droite centrale de l’hélicoïde.

Plus généralement, pour tout , on peut définir l’immersion conforme minimale de données de Weierstrass . On a

Si le scalaire est réel ou purement imaginaire, alors les immersions sont homothétiques à l’immersion . Lorsque le scalaire appartient au cercle unité , les immersions sont localement isométriques à l’immersion . La famille d’immersions conformes minimales est appelée famille associée à l’immersion .

1.3 Principes de réflexion de Schwarz

Les deux propositions suivantes mettent en évidence certaines symétries apparaissant sur les surfaces minimales. Elles permettent également d’étendre les surfaces minimales ayant un bord au delà de celui-ci, lorsque ce bord contient un segment de droite ou une courbe contenue dans un plan que la surface coupe perpendiculairement. Ces résultats nous seront très utiles par la suite. On note le disque unité ouvert de , et .

Proposition 5.

Soit une immersion conforme minimale . Si s’étend continûment à l’intervalle , et si l’image par de l’intervalle est un segment de droite, alors l’immersion se prolonge à par réflexion par rapport à cette droite et est une immersion conforme minimale. De plus, deux points symétriques sur l’image ont des antécédents conjugués.

Proposition 6.

Soit une immersion conforme minimale . Si s’étend continûment à l’intervalle , et si l’image par de l’intervalle est une courbe contenue dans un plan que la surface coupe perpendiculairement, alors l’immersion se prolonge à par réflexion par rapport à ce plan et est une immersion conforme minimale. De plus, deux points symétriques sur l’image ont des antécédents conjugués.

On donnera une démonstration de ces propositions au chapitre 3.

Par le lemme 4, une réflexion axiale sur une surface minimale correspond sur la surface minimale conjuguée à une réflexion par rapport à un plan orthogonal à cet axe, et réciproquement.

1.4 Description quaternionique

Considérons l’isomorphisme de dans l’ensemble des matrices de hermitiennes à trace nulle, qui identifie un vecteur avec la matrice définie par

Le produit scalaire de induit sur le produit scalaire suivant

et la norme euclidienne d’un vecteur est donnée par l’opposé du déterminant de la matrice

Pour toute matrice , l’application

est une isométrie directe de pour ce produit scalaire. On identifie avec le groupe des rotations de : pour toute matrice , on appelle aussi la rotation correspondante dans et pour tout vecteur , on a

On obtient le morphisme de groupe

qui est le revêtement à deux feuillets de par le groupe . On peut expliciter ce morphisme : si est une rotation d’angle et d’axe unitaire , alors les deux relevés de sont et avec

(1.5)

Rappelons que si on pose

alors pour toute matrice , on a

(1.6)

La proposition suivante explicite le caractère spinoriel de la représentation de Weierstrass (1.2).

Proposition 7.

Soit une immersion conforme minimale de données de Weierstrass . Soit une matrice dans . Alors le vecteur constitue les données de Weierstrass de l’immersion conforme minimale image de l’immersion par la rotation .

Démonstration.

Supposons que l’immersion soit donnée par le vecteur par la formule de Weierstrass (1.2) (i.e. ). Il suffit d’écrire l’immersion en terme de matrices  :

Calculons  :

On obtient donc

ce que l’on peut écrire sous la forme

Par l’identité (1.6), on trouve

Les données de Weierstrass définissent donc l’immersion conforme minimale . ∎

On reprend les notations de la section précédente.

Lemme 8.

Soit une immersion conforme minimale de données de Weierstrass . On suppose que s’étend continûment à . Alors

  • l’image par de l’intervalle est un segment de droite si et seulement s’il existe une matrice telle que le vecteur soit à valeurs réelles ou purement imaginaires sur ;

  • l’image par de l’intervalle est une courbe contenue dans un plan que la surface coupe perpendiculairement si et seulement s’il existe une matrice telle que le vecteur soit à valeurs réelles ou purement imaginaires sur .

Démonstration.

Soit les données de Weierstrass de l’immersion . Pour la première assertion, on va montrer que l’image de par l’immersion est un segment de droite dirigé par le vecteur de base si et seulement si les fonctions , et sont réelles sur , c’est-à-dire si et seulement si les fonctions et sont toutes les deux réelles ou purement imaginaires. On en déduit alors la première assertion par la proposition 7.

La condition suffisante est immédiate. Pour la nécessité, il faut exprimer par exemple que sur , la troisième composante de l’immersion est constante et que son application de Gauss est orthogonale au vecteur . Comme la projection stéréographique nord de est , on obtient que sur

Ceci donne le résultat annoncé, puisque les données de Weierstrass et ne peuvent pas être simultanément nulles.

Pour la deuxième assertion, il suffit de considérer l’immersion conjuguée , qui a pour données de Weierstrass . Alors le lemme 4 nous permet de nous ramener au cas précédent. ∎

Comme on va le voir à la section 3.2, le lemme 8 permet de retrouver les principes de réflexion de Schwarz.

Chapitre 2 Équations fuchsiennes et systèmes fuchsiens

On présente dans ce chapitre les notions de base de la théorie des équations et systèmes fuchsiens sur la sphère de Riemann. On commence par étudier les équations fuchsiennes, on donne ensuite les résultats analogues pour les systèmes d’équations, et enfin, on précise les liens entre systèmes fuchsiens et équations fuchsiens (dans le cas non résonnant), dont on aura besoin au chapitre 4. Pour une approche plus complète, ainsi que pour connaître les démonstrations des résultats énoncés, on pourra se reporter à [IKSY] — particulièrement pour ce qui concerne les transformations isomonodromiques, que ce soit le système de Garnier ou le système de Schlesinger. Pour le problème de Riemann–Hilbert pour les systèmes fuchsiens, on pourra se référer à Anosov et Bolibruch [AB], ou plus simplement à [Beauville] pour une présentation générale du problème et des résultats de Bolibruch.

2.1 Équations fuchsiennes

On considère une équation différentielle linéaire du second ordre définie sur la sphère de Riemann

()

désigne la dérivation par rapport à la variable complexe . On suppose que les cœfficients et sont des fonctions méromorphes sur . On note l’ensemble des singularités de l’équation (), i.e. des points en lesquels ou a un pôle

Les solutions de l’équation () sont des fonctions multi-formes dans , c’est-à-dire des fonctions holomorphes dans le revêtement universel de . Par abus de langage, on notera encore une telle fonction. Ces solutions forment un espace vectoriel de dimension . On appelle système fondamental de solutions un vecteur dont les composantes forment une base de cet espace.

2.1.1 Étude locale

On commence par étudier le comportement des solutions de l’équation () au voisinage de ses singularités. On en déduira ensuite une caractérisation globale des équations fuchsiennes.

Singularités régulières et singularités fuchsiennes En général, les solutions de l’équation () ne sont pas uniformes au voisinage d’une singularité. On distingue certains types de singularités.

Définition 1.

On dit qu’une singularité de l’équation () est fuchsienne si la fonction a en un pôle d’ordre au plus et la fonction un pôle d’ordre au plus .

On distingue une autre catégorie de singularités : on considère les singularités au voisinage desquelles toute solution a une croissance au plus polynomiale en quand . Comme a priori une solution de l’équation () a un point de branchement logarithmique en une singularité, il faut être plus précis dans cette définition.

Définition 2.

On dit qu’une singularité de l’équation () est régulière si pour tout secteur centré en , pour tout revêtement de ce secteur dans le revêtement de et pour toute solution de l’équation (), la restriction a une croissance polynomiale en quand .

Comme on va le voir, une singularité fuchsienne est toujours régulière. Pour les équations, la réciproque est également vraie ([Hartman]), mais elle est fausse en général pour les systèmes d’équations.

Méthode de Fröbenius La méthode de Fröbenius permet de décrire le comportement local des solutions de l’équation () au voisinage d’une singularité fuchsienne. On se place au point en supposant qu’il est une telle singularité.

Si on cherche les solutions formelles de l’équation () de la forme

on se rend compte que le nombre complexe ne peut prendre au plus que deux valeurs, qui sont les racines de l’équation quadratique

(2.1)

avec

L’équation (2.1) s’appelle l’équation caractéristique de l’équation () en la singularité fuchsienne . Ses racines s’appellent les exposants en . Si on les note et avec

alors on peut vérifier qu’il existe toujours une solution convergente (multi-valuée) de l’équation () de la forme

Pour expliciter une autre solution linéairement indépendante de , il faut distinguer deux cas :

  • s’il existe également une solution convergente de la forme

    alors la singularité fuchsienne est dite non logarithmique. En particulier, c’est toujours le cas si n’est pas un entier naturel ;

  • sinon, la singularité fuchsienne est dite logarithmique, et la deuxième solution canonique en est de la forme

On peut observer que la singularité fuchsienne est non logarithmique si et seulement s’il existe un système fondamental de solutions dont la matrice de monodromie en soit diagonale.

Les expressions que l’on vient de donner pour les solutions de l’équation () au voisinage d’une singularité fuchsienne montrent qu’une singularité fuchsienne est régulière.

Équations fuchsiennes Il nous reste à étudier le point . Pour cela, on fait le changement de variable dans l’équation (), et la nature du point est celle du point dans la nouvelle équation. On montre ainsi facilement que le point est une singularité fuchsienne de l’équation () si et seulement si les fonctions

sont holomorphes au point . On note alors et leurs valeurs respectives en , et l’équation caractéristique au point est

Définition 3.

On dit que l’équation () est une équation fuchsienne sur la sphère de Riemann si toutes ses singularités, y compris éventuellement le point en l’infini, sont fuchsiennes.

On obtient alors la caractérisation suivante des équations fuchsiennes.

Proposition 4.

L’équation () est fuchsienne sur la sphère de Riemann , de singularités , si et seulement si ses cœfficients sont de la forme

avec

On range dans un tableau appelé schéma de Riemann les singularités fuchsiennes de l’équation (), et les exposants et en chaque singularité  :

(2.2)
Proposition 5 (Relation de Fuchs).

Supposons que l’équation () soit fuchsienne et que son schéma de Riemann soit donné par (2.2). Alors la somme de tous les exposants de () ne dépend que du nombre de singularités, et plus précisément

(2.3)
Démonstration.

Il suffit d’écrire que la somme des résidus du cœfficient est nulle. Par la proposition 4, on a

et par définition du résidu , on a . D’après les équations caractéristiques en chacune des singularités, on déduit

ce qui permet de conclure. ∎

2.1.2 Équations projectivement équivalentes et schwarzien

Étant donné une fonction non constante et méromorphe dans un ouvert d’une surface de Riemann, le schwarzien de par rapport à une coordonnée conforme est donné par

. Si est une autre coordonnée conforme, alors . De plus, le schwarzien est invariant sous l’action de  :

Ces deux propriétés assurent en particulier que le schwarzien est identiquement nul si et seulement si la fonction est une homographie . Une fonction est dite -multi-forme si deux branches arbitraires de sont reliées par une homographie. Si une fonction est -multi-forme, alors son schwarzien est uniforme.


Pour tout système fondamental de solutions de l’équation (), le schwarzien du rapport est indépendant du choix de et vaut

(2.4)

Le rapport est défini à partir de l’équation () à une homographie près.

Définition 6.

La classe d’équivalence du rapport de deux solutions linéairement indépendantes de l’équation () est appelée la solution projective de l’équation (). Deux équations différentielles linéaires du second ordre à cœfficients méromorphes dans la sphère de Riemann sont dites projectivement équivalentes si elles ont la même solution projective.

Soient deux équations et ayant le même ensemble de singularités . Alors elles sont projectivement équivalentes si et seulement s’il existe une fonction holomorphe et jamais nulle dans le revêtement universel de l’ensemble telle que toute solution de l’équation soit obtenue par la multiplication d’une solution de l’équation par la fonction . La fonction est alors de la forme

2.1.3 Monodromie

On ne suppose pas que l’équation () est fuchsienne. On a vu qu’en général, les solutions de l’équation () sont des fonctions multi-formes dans . Pour mesurer ce défaut d’uniformité de ses solutions, on introduit la monodromie de l’équation (), qui est une classe d’équivalence de représentations du groupe fondamental de l’ensemble .

Soient un point et un ouvert simplement connexe de contenant . On considère un système fondamental de solutions de l’équation () défini dans . On peut prolonger analytiquement le système le long de tout lacet de point de base et contenu dans , et ce prolongement ne dépend que de la classe d’homotopie du lacet. Pour toute classe dans le groupe fondamental , on peut donc noter le prolongement du système le long de tout représentant de . Alors le système est défini dans et il est aussi un système fondamental de solutions de l’équation (). Il existe donc une unique matrice qui vérifie