On one unstable bifurcation in the dynamics of vortex structure

On one unstable bifurcation in the dynamics of vortex structure

P. E. Ryabov
Аннотация

In this paper we consider a completely Liouville integrable Hamiltonian system with two degrees of freedom, which describes the dynamics of two vortex filaments in a Bose-Einstein condensate enclosed in a cylindrical trap. For vortex pairs of positive intensity detected bifurcation of three Liouville tori into one. Such bifurcation was found in the integrable case of Goryachev-Chaplygin-Sretensky in the dynamics of a rigid body. For the integrable perturbation of the physical parameter of the intensity ratio, identified bifurcation proved to be unstable, which led to bifurcations of the type of two tori into one and vice versa.

Key words: completely integrable Hamiltonian systems, bifurcation diagram of momentum mapping, bifurcations of Liouville tori

УДК 532.5.031, 517.938.5

MSC 2010: 76M23, 37J35, 37J05, 34A05

————————————————————

Received on 10 December 2018.

————————————————————

The work was supported by RFBR grants 16-01-00170 and 17-01-00846.

————————————————————

Ryabov Pavel Evgen‘evich

PERyabov@fa.ru

Financial University under the Government of the Russian Federation
Leningradsky prosp. 49, Moscow, 125993 Russia

Institute of Machines Science, Russian Academy of Sciences
Maly Kharitonyevsky per. 4, Moscow, 101990 Russia

Udmurt State University
ul. Universitetskaya 1, Izhevsk, 426034 Russia

—————————————————————

1 Введение

В аналитической динамике вихревых структур особое место уделяется интегрируемым моделям точечных вихрей на плоскости. С другой стороны, исследования динамики вихрей, но уже в квантовой физике, показали, что квантовые вихри ведут себя примерно также, как тонкие вихревые нити, изучаемые в классической гидродинамике. Особое место при этом занимают вихревые структуры в бозе-эйнштейновском конденсате, полученном для ультрахолодных атомных газов. Cовременный обзор таких исследований представлен, например, в [1]. В данной статье будет рассмотрена математическая модель динамики двух вихревых нитей в бозе-эйнштейновском конденсате, заключенном в цилиндрической ловушке [2]. Такая модель приводит к вполне интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системе с двумя степенями свободы, и по этой причине, могут быть применены топологические методы, используемые в таких задачах. Топологические методы успешно показали себя в исследовании характера устойчивости абсолютных и относительных хореографий [3], [4], [5], [6]. Таким движениям в интегрируемых моделях, как правило, соответствуют значения постоянных первых интегралов, для которых сами интегралы, рассматриваемые как функции от фазовых переменных, оказываются зависимыми в смысле линейной зависимости дифференциалов. Основную роль в топологическом анализе играет бифуркационная диаграмма отображения момента. В работах [7, 8] получена бифуркационная диаграмма в задаче о движении системы двух точечных вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате и исследованы бифуркации лиувиллевых торов, в частности, наблюдалась бифуркация двух торов в один.

Настоящая публикация посвящена интегрируемому возмущению динамики рассматриваемой модели. В данной работе исследованы бифуркации торов Лиувилля, в частности, в случае вихревой пары положительной интенсивности для некоторых значений физических параметров наблюдается бифуркация трех торов в один. Бифуркации трех торов в один отмечена в работах М. П. Харламова для интегрируемого случая Чаплыгина – Горячева – Сретенского в динамике твердого тела (см. [9]) и как одна из особенностей в виде так называемого 2-атома особого слоя лиувиллева слоения в работах А. Т. Фоменко, А. В. Болсинова, C. В. Матвеева [10]. В работе А. А. Ошемкова и М. А. Тужилина [11], посвященной расщепляемости седловых особенностей, такая бифуркация оказалась неустойчивой и приведены ее возмущенные слоения, одна из которых и реализуется в рассматриваемом случае.

2 Модель и необходимые определения

Математическая модель динамики двух точечных вихрей в Бозе-Эйнштейновском конденсате, заключенном в цилиндрической ловушке, описывается системой дифференциальных уравнений, которая может быть представлена в гамильтоновой форме [2]:

(2.1)

c функцией Гамильтона

(2.2)

Здесь через обозначены декартовы координаты -ого вихря (), фазовый вектор имеет координаты , параметр обозначает отношение интенсивностей . Физический параметр характеризует меру вихревого взаимодействия интенсивностей и пространственной неоднородности в гармонической ловушке [2], [12]. В работах [7], [8] такой параметр принимался равным единице, тем не менее в ряде физических работ [2], [12] для параметра в случае вихревой пары положительной интенсивнойсти () на основе экспериментальных данных принимались следующие значения , , и др. В связи с чем представляет интерес исследование фазовой топологий, когда параметр взаимодействия принимает любые положительные значения.

Фазовое пространство задается в виде прямого произведения двух открытых кругов радиуса , с выколотом множеством столкновениий вихрей

Пуассонова структура на фазовом пространстве задается в стандартном виде

(2.3)

где – символ Кронекера.

Система (2.1) допускает один дополнительный первый интеграл движения – момент завихренности

Функция вместе с гамильтонианом образуют на полный инволютивный набор интегралов системы . Согласно теореме Лиувилля-Арнольда регулярная поверхность уровня первых интегралов вполне интегрируемой гамильтоновой системы представляет собой несвязное объединение торов, заполненных условно-периодическими траекториями. Определим интегральное отображение , полагая . Отображение принято также называть отображением момента. Обозначим через совокупность всех критических точек отображений момента, то есть точек, в которых . Множество критических значений называется бифуркационной диаграммой.

3 Бифуркационная диаграмма

Бифуркационная диаграмма отображения момента была явно определена в работе [13]. В случае неравных положительных интенсивностей, т.е. когда парамер отношения интенсивностей отличен от единицы, бифуркационная диаграмма имеет вид:

(3.1)

В случае вихревой пары положительной интенсивности, т.е. когда параметр отношения интенсивностей равен единице, бифуркационная диаграмма принимает простой вид и состоит из двух кривых и , где

(3.2)

Отметим, что при значениях физического параметра , кривая имеет точку возврата при , которая совпадает с точкой касания для при .

Параметризованная кривая (3.1) также имеет точки возврата, которые удовлетворяют уравнению . Здесь – многочлен десятой степени, коэффициенты которого зависят от физических параметров и . Более того, дискриминант этого многочлена описывает ситуацию, когда точки возврата ‘‘сливаются’’ в одну и одна из ветвей становится гладкой. Такая ситуация наблюдается в динамике взаимодействия двух точечных вихрей в идеальной жидкости внутри цилиндра [16]. Далее, вновь происходит рождение ‘‘точек возврата’’. На рис. 1 и 2 представлены при фиксированном значении физического параметра увеличенный фрагмент бифуркационной диаграммы, которая соответствует значению физического параметра и анимация бифуркационной диаграммы интегрируемого возмущения для . Знак на рис. 1 отвечает эллиптическим (устойчивым) периодическим решениям в фазовом пространстве, которые являются пределом концентрического семейства двумерных регулярных торов, а знак – гиперболическим периодическим решениям, для которых существуют движения, асимптотические к этому решению, лежащие на двумерных сепаратрисных поверхностях. Как и следовало ожидать, смена типа происходит в точке касания и точке возврата бифуркационной диаграммы .

Рис. 1: Увеличенный фрагмент бифуркационной диаграммы для и .
\animategraphics

[width=12cm,height=10cm,controls,buttonsize=1em,buttonfg=0.5]3D1_anim_00160

Рис. 2: Анимация увеличенного фрагмента бифуркационной диаграммы для при фиксированном .

4 Бифуркация

Здесь мы ограничимся положительными интенсивностями. Выполним явное приведение к системе с одной степенью свободы. Для этого в системе (2.1) с гамильтонианом (2.2) перейдем от фазовых переменных к новым переменным по формулам:

Физические переменные представляют собой декартовы координаты одного из вихрей в системе координат, связанной с другим вихрем, вращающейся вокруг центра завихренности. Выбор таких переменных подсказан наличием интеграла момента завихренности , который инвариантен относительно группы вращений . Существование однопараметрической группы симметрии позволяет выполнить редукцию к системе с одной степенью свободы, подобно тому, как это делается в механических системах с симметрией [9]. Обратная замена (в общем случае)

приводит к каноническим переменным относительно скобки (2.3):

Система по отношению к новым переменным является гамильтоновой

(4.1)

с гамильтонианом

(4.2)

Угол поворота вращающейся системы координат удовлетворяет дифференциальному уравнению

где

Неподвижные точки редуцированной системы (4.1) определяются критическими точками приведенного гамильтониана (4.2) и соответствуют относительным равновесиям вихрей в системе (2.1). Для фиксированного значения интеграла момента завихренности регулярные уровни приведенного гамильтониана (4.2) – компактны и движения происходят по замкнутым кривым. Можно показать, что критические значения приведенного гамильтониана определяют бифуркационную диаграмму (3.1) и (3.2). Для участка бифуркационной кривой движение на плоскости происходит по кривой, которая топологически устроена как (рис. 3), а интегральная критическая поверхность представляет собой тривиальое расслоение над со слоем .

Рис. 3: Топологическая кривая .

При переходе через участок кривой бифуркационной диаграммы при (см. рис. 1) реализуется бифуркация . С помощью линий уровней приведенного гамильтониана на рис. 4 наглядно продемонстрирована указанная бифуркация трех торов в один. Если рассмотреть интегрируемое возмущение по параметру отношения интенсивностей , то указанная критическая интегральная поверхность оказалась неустойчивой и распалась на два несвязных критических интегральных многообразия и . Этот факт также подтверждается работой [11]. Для наглядности на рис. 5 приведены абсолютные движения вихрей на плоскости и обмотка тора в трехмерном пространстве для следующих начальных данных ; ; ; .

Рис. 4: Линии уровня приведенного гамильтониана для и .
Рис. 5: Абсолютные движения вихрей на плоскости и в виде обмотки тора в пространстве .

После разбиения фазового пространства на области, в которых количество торов остается неизменным, явного определения бифуркационной диаграммы и самих бифуркаций можно сформулировать задачу классификации абсолютных движений вихрей, а также определения топологического типа трехмерных изоэнергетических многообразий.

5 Благодарности

Автор выражает благодарность А. В. Борисову за плодотворные обсуждения и ценные советы, касающиеся содержания работы. Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 16-01-00170 и 17-01-00846.

Список литературы

  • [1] A. L. Fetter. Rotating trapped Bose-Einstein condensates // Rev. Mod. Phys., 2009. Vol. 81, No. 2, V. 81. P. 647–691.
  • [2] P. J. Torres, P. G. Kevrekidis, D. J. Frantzeskakis, R. Carretero-Gonzalez, P. Schmelcher, D. S. Hall. Dynamics of vortex dipoles in confined Bose – Einstein condensates // Phys. Lett. A. 2011. Vol. 375. P. 3044–3050.
  • [3] А. V. Borisov, A. A Kilin. Stability of Thomson’s Configurations of Vortices on a Sphere // Regular and Chaotic Dynamics, 2000. Vol. 5, no. 2, pp. 189–200.
  • [4] A. V. Borisov, I. S. Mamaev, A. A. Kilin. Absolute and relative choreographies in the problem of point vortices moving on a plane // Regular and Chaotic Dynamics, 2004. Vol. 9, no. 2, pp. 101–111.
  • [5] A. V. Borisov, A.  Kilin and I. S. Mamaev. The Dynamics of Vortex Rings: Leapfrogging, Choreographies and the Stability Problem // Regular and Chaotic Dynamics, 2013. Vol. 18, Nos. 1–2, pp. 33–62.
  • [6] A. V. Borisov, P. E. Ryabov, S. V. Sokolov. Bifurcation analysis of the motion of a cylinder and a point vortex in an ideal fluid // Mathematical Notes. 2016. Vol. 99, no. 6. P. 834–839.
  • [7] S. V. Sokolov, P. E. Ryabov. Bifurcation Analysis of the Dynamics of Two Vortices in a Bose–Einstein Condensate. The Case of Intensities of Opposite Signs // Regular and Chaotic Dynamics, 2017. Vol. 22, no. 8. P. 979–998.
  • [8] S. V. Sokolov, P. E. Ryabov. Bifurcation Diagram of the Two Vortices in a Bose-Einstein Condensate with Intensities of the Same Signs // Doklady Mathematics, 2018. Vol. 97, no. 3. P. 1–5.
  • [9] М. П. Харламов. Топологический анализ интегируемых задач динамики твердого тела, Ленинград, Изд. ЛГУ, 1988. 200 c.
  • [10] А. В. Болсинов, С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности // УМН. 1990. Т. 45, вып. 2(272). C. 49–77.
  • [11] А. А. Ошемков, М. А. Тужилин. Интегрируемые возмущения седловых особенностей ранга 0 гамильтоновых систем // Матем. сб., 2018. Том 209, номер 9, C. 102–127.
  • [12] R. Navarro, R. Carretero-González, P. J. Torres, P. G. Kevrekidis, D. J. Frantzeskakis, M. W. Ray, E. Altuntaş, and D. S. Hall. Dynamics of Few Co-rotating Vortices in Bose-Einstein Condensates // Phys. Rev. Lett. 2013. Vol. 110, no. 22. P. 225301-6.
  • [13] P. E. Ryabov. Bifurcation diagram of one perturbed vortex dynamics problem // Preprint: https://arxiv.org/abs/1811.10512
  • [14] M. P. Kharlamov. Extensions of the Appelrot classes for the generalized gyrostat in a double force field // Regular and Chaotic Dynamics. 2014. Vol. 19, no. 2. P. 226–244.
  • [15] А. В. Болсинов., А. В. Борисов, И. C. Мамаев. Топология и устойчивость интегрируемых систем // УМН. 2010. Т. 65, вып. 2. C. 71–132.
  • [16] А. А. Килин, А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Динамика точечных вихрей внутри и вне круговой области. В сб.: А. В. Борисов, И. С. Мамаев, М. А. Соколовский (ред.) Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. М-Иж: ИКИ, 2003. 704 с.
Comments 0
Request Comment
You are adding the first comment!
How to quickly get a good reply:
  • Give credit where it’s due by listing out the positive aspects of a paper before getting into which changes should be made.
  • Be specific in your critique, and provide supporting evidence with appropriate references to substantiate general statements.
  • Your comment should inspire ideas to flow and help the author improves the paper.

The better we are at sharing our knowledge with each other, the faster we move forward.
""
The feedback must be of minimum 40 characters and the title a minimum of 5 characters
   
Add comment
Cancel
Loading ...
326994
This is a comment super asjknd jkasnjk adsnkj
Upvote
Downvote
""
The feedback must be of minumum 40 characters
The feedback must be of minumum 40 characters
Submit
Cancel

You are asking your first question!
How to quickly get a good answer:
  • Keep your question short and to the point
  • Check for grammar or spelling errors.
  • Phrase it like a question
Test
Test description