La stabilité des lunes de Saturne, Janus et Épiméthée

La stabilité des lunes de Saturne,
Janus et Épiméthée: de l’observation astronomique à la théorie KAM

Alexandre Pousse Dipartimento di Matematica “Tullio Levi-Civita”, Università degli Studi di Padova, soutenu par le projet H2020-ERC 677793 StableChaoticPlanetM Laurent Niederman Topologie et Dynamique, LMO, Université Paris-Saclay, soutenu par le projet ANR BEKAM (ANR-15-CE40-0001)  and  Philippe Robutel Astronomie et Systèmes Dynamiques, IMCCE, Observatoire de Paris, Université PSL
5 août 2019
Résumé.

Popular science article associated with the work “On the co-orbital motion in the three-body problem: existence of quasi-periodic horseshoe-shaped orbits” (Arxiv.1806.07262) from the same authors. Janus and Epimetheus are two moons of Saturn which exhibit a really peculiar dynamics. As they orbit on circular trajectories whose radii are only 50 km apart (less than their respective diameters), every four (terrestrial) years the bodies are getting closer and their mutual gravitational influence leads to a swapping of the orbits: the outer moon becoming the inner one and vice-versa. In this article, we describe how, from this specific astronomical problem to the KAM theory, we came to prove the existence of perpetually stable trajectories associated with the Janus and Epimetheus orbits.

Acknowledgment

Le travail de recherche associé à cet article de vulgarisation a été soutenu par le projet H2020-ERC 677793 StableChaoticPlanetM.

Introduction

La sonde Voyager 1, lancée en 1977 afin d’explorer Jupiter, Saturne et leurs cortèges de satellites, confirma en 1980 l’existence de deux nouvelles lunes de Saturne: Janus et Épiméthée. En comparaison avec les lunes Titan, Japet, Rhéa, Dione ou Téthys dont le diamètre dépasse le millier de kilomètres, Janus et Épiméthée sont des petits objets avec un diamètre de l’ordre de . Toutefois, ces satellites ont la remarquable propriété d’être les seuls corps connus du système solaire à évoluer sur des trajectoires en “fer-à-cheval” 111Remarque pour les spécialistes : ce type d’orbite est sans rapport avec les orbites en fer-à-cheval au sens de Smale en dynamique hyperbolique. où tous les quatre ans, l’un et l’autre se rapprochent et échangent leurs orbites: le plus proche de Saturne passant sur l’orbite externe et inversement (voir la figure 2 et la vidéo 222https://photojournal.jpl.nasa.gov/catalog/PIA08348 de la NASA issue des observations de la sonde Cassini).

Il est naturel de se demander si cette configuration observée depuis plus de 30 ans est stable sur des temps beaucoup plus longs. Autrement dit: est-ce que Janus et Épiméthée auront des rapprochements et consécutivement des échanges d’orbites sur des temps comparables à l’âge du système solaire? Ou bien, est-ce qu’au bout d’un certain temps ces échanges n’auront plus lieu à cause, par exemple, d’une collision mutuelle ou, au contraire d’un éloignement progressif des deux lunes?

Dans un travail récent, nous avons étudié une idéalisation de ce système (Saturne, Janus et Épiméthée représentées par trois corps massifs ponctuels évoluant dans un même plan) et démontré rigoureusement (en un sens qui sera précisé par la suite) l’existence de mouvements perpétuellement stables de ce type. Plus précisément, notre résultat garantit l’existence de conditions initiales (positions et vitesses des deux lunes à un instant donné) telles que le ballet gravitationnel mené par Janus et Épiméthée continuera indéfiniment.

Le point de départ de ce travail est un modèle développé par P. Robutel et A. Pousse pour l’étude de la dynamique de deux planètes en résonance co-orbitale (i.e. dont les périodes orbitales sont identiques; plus bas, dans l’encadré du premier paragraphe nous revenons sur ce phénomène de résonance). Les motivations étaient purement astronomiques, liées aux recherches d’exoplanètes (donc de planètes en dehors de notre système solaire) dans cette configuration particulière. En effet, parmi les milliers de détections accumulées depuis 1995 et malgré une grande diversité de dynamiques observées, pour l’instant aucun système de planètes extrasolaires ne comporte de couple de planètes “co-orbitantes”. Or, a priori aucun phénomène physique n’entrave leur formation et, au contraire, certaines études numériques (c’est-à-dire des calculs de solutions réalisés par ordinateur) suggèrent leur existence. D’un point de vue plus théorique, il s’agissait donc de construire un modèle permettant d’interpréter les expérimentations numériques qui avaient été menées pour ce type de problème. Puis, lors d’une discussion de couloir, nous avons réalisé qu’une démonstration rigoureuse de la stabilité perpétuelle de mouvements co-orbitaux de même type que ceux de Janus et Épiméthée pouvait être obtenue en associant à ce modèle des théorèmes de stabilité développés par J. Pöschel 333Remarque: ce sont des théorèmes qui ont été obtenus initialement par S. Kuksin et H. Eliasson. dans les années 90.

Après une présentation détaillée de la problématique astronomique posée par les trajectoires de Janus et Épiméthée (voir le premier paragraphe), nous aborderons le thème plus général de la stabilité en mécanique céleste (second paragraphe). C’est une question très ancienne qui remonte à Newton avec la découverte de l’attraction universelle. Il est généralement très difficile d’y répondre même lorsque le système physique considéré est restreint à des corps massifs ponctuels, c’est-à-dire au problème idéal et mathématiquement bien défini connu sous le nom de “problème des corps”.

Alors que le cas a été entièrement résolu par Newton, pour , seuls quelques rares résultats de stabilité perpétuelle ont été démontrés, notamment dans le cas des configurations d’équilibre d’Euler et de Lagrange (le troisième paragraphe est dédié à ce sujet) et pour la configuration Soleil-Jupiter-Saturne dans un article 444Plus précisément, le résultat était valable pour trois corps évoluant dans un même plan et a été étendu dans le cas général ( corps dans l’espace) par M. Herman et J. Féjoz. fondateur d’Arnol’d en 1963 (voir le cinquième paragraphe).

La situation à considérer pour les orbites en fer-à-cheval est particulièrement complexe (les détails sont présentés dans le quatrième paragraphe) ce qui a rendu difficile l’application des théories existantes bien que l’existence de ces trajectoires ait été pressentie au début du vingtième siècle par l’astronome E. Brown 555Intuition remarquable puisque à l’époque aucun corps céleste en dynamique “fer-à-cheval” n’avait été observé.. C’est en poursuivant l’idée de l’article d’Arnol’d tout en surmontant les obstacles liés à notre situation compliquée à l’aide de théorèmes beaucoup plus récents (voir le dernier paragraphe) que nous avons pu établir notre résultat de stabilité perpétuelle pour des trajectoires de type fer-à-cheval dans le problème des 3 corps.

D’un point de vue purement astronomique, notre travail n’apporte pas de réponse définitive quand à la stabilité d’éventuelles exoplanètes en dynamique “fer-à-cheval” ou des trajectoires de Janus et Épiméthée. Pour ces dernières, il faudrait tenir compte de nombreux effets supplémentaires comme l’influence gravitationnelle d’autres satellites de Saturne, l’effet des anneaux, l’aplatissement de Saturne, les effets de marées, etc… Cependant, notre résultat indique que les régulières rencontres proches entre les deux lunes ne déstabiliseront pas nécessairement leur mouvement. Pour aller plus loin, il serait nécessaire de raffiner la représentation du phénomène en intégrant les divers effets physiques. La problématique deviendrait alors purement astronomique.

Nous faisons remarquer que ce type de travail rapprochant mathématiciens et astronomes n’est pas si courant. D’une part, c’est un modèle développé pour des raisons astronomiques et permettant aussi d’obtenir des résultats mathématiques qui a favorisé notre association. D’autre part, il n’est pas simple d’avoir une collaboration interdisciplinaire aussi avancée, ne serait-ce que par manque de langage commun.

1. Janus et Épiméthée: échanges d’orbites et “fers-à-cheval”

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Figure 1. (a.) Système Saturne-Janus-Épiméthée lors de l’observation de Voyager 1 en février 1980. Les trois corps sont presque alignés, les lunes de part et d’autre de Saturne, tels qu’Épiméthée se situe sur l’orbite interne (orbite rouge) tandis que Janus est sur l’orbite externe (orbite bleue). (b.) Représentation de l’échange d’orbite de 1982. Au moment de leur rencontre proche, sans jamais être dépassée par Épiméthée, Janus accélère et se décale vers l’orbite interne (orbite rouge), tandis qu’Épiméthée ralentit et “tombe” sur l’orbite externe (orbite bleue). (Images: A.Pousse).

Janus (J) et Épiméthée (E) orbitent à une distance moyenne de Saturne (S) de (soit fois le rayon de la planète) en effectuant leur révolution en un peu moins de heures. En première approximation, ces deux satellites décrivent dans un même plan des orbites circulaires dont les rayons diffèrent d’une cinquantaine de kilomètres, c’est-à-dire moins que leurs tailles respectives. Des collisions sont donc possibles a priori.

En février 1980, lors de l’observation de Voyager 1, les deux lunes se situaient de part et d’autre de Saturne, Janus gravitant sur l’orbite la plus externe (voir la figure 1.a). Une analyse grossière basée uniquement sur la troisième 666https://fr.wikipedia.org/wiki/Lois_de_Kepler loi de Kepler implique qu’Épiméthée rattrape lentement Janus ce qui, compte tenu de leurs dimensions, engendrerait inévitablement une collision au cours de l’année 1982. Or cette collision n’eut jamais lieu. En effet, lorsqu’Épiméthée rattrapa Janus, il y eut rencontre proche: leurs interactions gravitationnelles mutuelles devinrent suffisamment fortes pour modifier significativement leurs trajectoires circulaires. De ce fait, sans jamais être dépassée par Épiméthée, Janus accéléra en se décalant vers l’orbite interne tandis qu’Épiméthée ralentît et “tomba” sur l’orbite externe (voir la figure 1.b). Janus s’éloignant d’Épiméthée, leurs interactions gravitationnelles mutuelles faiblirent ce qui “figea” leurs orbites sur des cercles (quasi) identiques à l’instant précédent la rencontre proche. Il y eut ainsi échange d’orbites sans que les deux lunes n’entrent en collision, leur distance minimale ayant été de (l’influence gravitationnelle de Saturne sur la dynamique des lunes restant dominante par rapport aux interactions mutuelles des deux lunes). Cet échange ne fut pas instantané mais s’effectua de manière continue et relativement lente pendant environ 8 mois.

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Figure 2. I-III. Observations par la sonde Cassini en 2006 d’une rencontre proche suivit d’un échange d’orbites entre Janus et Épiméthée. (Images: NASA/JPL/Space Science Institute)

Depuis sa découverte, ce “ballet” gravitationnel est observé tous les quatre ans (aussi bien par des sondes spatiales orbitant autour de Saturne que par des télescopes professionnels sur Terre). La figure 2 constituée de trois images prises par la sonde Cassini en 2006, ainsi qu’une vidéo 777https://photojournal.jpl.nasa.gov/catalog/PIA08348 de la NASA fournissent l’exemple d’un moment où Janus “passe devant” Épiméthée et devient alors la lune interne du système (comme observé en 1982; voir la figure 1.b). Bien que les deux lunes semblent très proches dans la seconde image, Janus se situe à plus de d’Épiméthée.

Le fait que les rayons des orbites soient presqu’égaux et donc que leur périodes orbitales soient quasi-identiques engendre des comportements particuliers, caractéristiques d’une dynamique en résonance (comme celle qui apparaît dans le mouvement entretenu d’une balançoire).

Sur la notion de résonance. Plus précisément, supposons que les orbites circulaires que deux lunes suivraient autour d’une planète si leurs masses étaient infiniment petites soient telles que leurs périodes orbitales et sont commensurables, c’est-à-dire dans un rapport rationnel donc sont des entiers quelconques. Cela signifieraient que si la planète et ses deux satellites sont initialement en conjonction alors tous les tours de la lune ou les tours de la lune , les trois corps seraient à nouveau dans cette même configuration de conjonction. Dans cette situation, les deux lunes sont dites en résonance. Considérons maintenant une situation à proximité de la résonance. La perturbation provoquée par les interactions gravitationnelles mutuelles des deux lunes est alors presque périodique ce qui peut induire une augmentation importante de l’amplitude des orbites et conduire à une éjection ou une collision. Toutefois, à l’intérieur de la “zone” de résonance, certaines trajectoires peuvent être stables avec des interactions qui se produisent pendant un temps caractéristique beaucoup plus long que ce qui l’engendre (un exemple de ce phénomène est mis en évidence dans la vidéo http://images.math.cnrs.fr/Du-ressort-a-l-atome-une-histoire-de-resonance.html d’Images des Mathématiques réalisée par Benoît Grebert et qui est dédiée aux résonances dans le cas d’un système physique beaucoup plus simple: une corde et deux pinces-à-linge). Dans le cas de Janus et Épiméthée, le phénomène d’échange d’orbites intervient tous les quatre ans alors que leur périodes orbitales sont de heures.

Pour Janus et Épiméthée, c’est une résonance “” ou “co-orbitale” qui est à l’oeuvre. Une bonne manière d’observer leurs interactions est de représenter le mouvement relatif des lunes vu par un observateur Saturnien tournant sur lui-même à la vitesse angulaire moyenne de Janus et Épiméthée. Ainsi, avec ce référentiel représenté dans la figure 3, les lunes parcourent des trajectoires en fer-à-cheval sur une période de ans ce qui correspond à plus de révolutions autour de Saturne.

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Figure 3. Représentation des trajectoires en fer-à-cheval parcourues par Janus et Épiméthée sur une période de 8 ans. La configuration A correspond à un échange d’orbites où Épiméthée et Janus deviennent respectivement les lunes interne et externe. Les configurations B (trois corps alignées tels que les lunes sont de part et d’autre de Saturne) et C (inverse de la configuration A, rencontre proche où Épiméthée et Janus deviennent respectivement les lunes externe et interne) sont associées respectivement aux positions des deux lunes lors de l’observation de Voyager 1 en 1980 (figure 1.a) et des échanges d’orbites de 1982 (figure 1.b) et de 2006 (figure 2). (Image: A.Pousse).

2. Newton et la stabilité du système solaire

Kepler fut le premier à donner une description précise du mouvement des planètes suivant ses trois célèbres lois 888https://fr.wikipedia.org/wiki/Lois_de_Kepler. Cependant, en enserrant leur mouvement dans un emboîtement de solides platoniciens 999J. Kepler “Mysterium Cosmographicum”, 1596; voir https://en.wikipedia.org/wiki/Mysterium_Cosmographicum, il considérait un “Monde” rigide et immuable où la question de la stabilité ne se posait pas.

Newton révolutionna cette description avec une représentation dynamique du système solaire, régie par un principe fondamental “la masse du corps multiplié par son accélération est égale à la somme des forces qui s’exercent sur lui” associé à sa loi d’attraction universelle “deux corps s’attirent en raison directe de leur masse et en raison inverse du carré de leur distance”. L’invention du calcul différentiel lui permit de réduire le mouvement des corps qui composent un système physique à un jeu d’équations différentielles 101010https://fr.wikipedia.org/wiki/Equation_differentielle du second ordre nécessitant la connaissance de deux quantités, les vitesses et positions à un instant initial (ce que l’on dénomme plus simplement conditions initiales), pour déterminer une solution: les vitesses et positions au cours du temps.

L’application des lois de Newton au mouvement d’une unique planète autour du Soleil bouleversa notre compréhension du monde. En effet, ce problème à 2 corps possédant – miraculeusement – une solution explicite pour toutes conditions initiales, il permit de retrouver les trois lois énoncées par Kepler pour décrire les trajectoires des planètes du système solaire. Or, si les planètes sont attirées par le Soleil, la loi d’attraction universelle impose aussi qu’elles s’influencent mutuellement. De ce fait, rien ne justifie qu’elles décrivent perpétuellement un mouvement keplerien 111111https://fr.wikipedia.org/wiki/Mouvement_keplerien comme dans le cas de deux corps : au bout d’un certain temps, collisions, éjections, ré-agencements deviennent possibles. Pour Newton, la stabilité du monde telle que nous l’observons ne doit alors son salut qu’à l’intervention de temps à autre d’un “Grand horloger” 121212I. Newton “Traité d’optique”, 1732, p.489. Ses découvertes firent cependant émerger la question de la stabilité du système solaire et plus généralement la recherche de solutions dans le problème des N corps, où est un entier quelconque, ce qui donna naissance à la mécanique céleste.

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Figure 4. Newton et le système solaire.

Clairaut fut l’un des premiers à écrire précisément les équations du problème des 3 corps et comprendre l’étendue des difficultés posées par la recherche de solution. D’ailleurs, il termina son calcul par:“Intègre maintenant qui pourra” 131313A. Clairaut “Mémoire lu à l’Académie des Sciences le 23 juin 1759. Contenant des réflexions sur le Problème des trois corps, avec les équations différentielles qui expriment les conditions de ce Problème”, 1759, Journal des Sçavans, p.563.. Face à ce constat, les travaux se sont alors focalisés sur la recherche de solutions d’équilibre (i.e. configurations où le mouvement relatif des corps est figé au cours du temps, voir un exemple plus bas) afin de tenter d’éclaircir le problème des 3 corps.

Pour approfondir… Pour plus de détails, nous renvoyons le lecteur à la belle exposition virtuelle “les mathématiques du ciel” (http://ciel.mmi-lyon.fr) issue d’une collaboration entre le Labo junior de l’ENS Lyon et le musée des confluences. Plus particulièrement, la partie “2 astres en tête à tête” (http://ciel.mmi-lyon.fr/deux-astres-en-tete-a-tete/) présente le problème des 2 corps (et pourquoi l’étudier), les lois et concepts de Kepler, la révolution apportée par Newton et enfin un entretien éclairant avec Alain Chenciner à propos du problème des 3 corps.

3. La recherche de solutions dans le problème des 3 corps

La première solution remarquable du problème des 3 corps fut présentée par Euler en 1764 quand il fit remarquer que, “si la Lune était quatre fois plus éloignée de la Terre qu’elle ne l’est actuellement, les mouvements relatifs du Soleil, de la Terre et de la Lune seraient tels que cette dernière nous apparaîtrait comme une éternelle pleine Lune”. Plus généralement, il mit en évidence trois familles de solutions pour lesquelles deux corps gravitent autour d’un troisième tels que les trois corps restent en permanence alignés sur une droite mobile (voir les figures 5.a–f). La seconde solution remarquable fut découverte par Lagrange en 1772: la configuration équilatérale. Comme cela est illustré sur les figures 5.g–h, cette famille de solutions représente une configuration où deux corps gravitent autour d’un troisième telle que les trois corps forment en permanence un triangle équilatéral en rotation.

Ces configurations alignées et équilatérales coïncident avec les célèbres points de Lagrange 141414voir l’article d’Images des Mathématiques “les fameux points de Lagrange
http://images.math.cnrs.fr/Les-fameux-points-de-Lagrange.html
(notés respectivement , , et , ) connus dans le cas où l’un des trois corps a une masse négligeable par rapport aux deux autres. Dans le cas particulier d’un astéroïde uniquement soumis aux forces d’attraction du Soleil et d’une planète supposée en orbite circulaire, ce sont des trajectoires singulières car représentant des points fixes dans le référentiel centré sur le Soleil et tournant avec la planète (voir la figure 6.a).

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Figure 5. Configurations d’équilibre dans le problème des 3 corps: les trois familles de configurations alignées d’Euler (a–f) et la famille de configurations équilatérales de Lagrange (g–h).(Image: A.Pousse).

En énonçant que: “trois masses étant placées non plus rigoureusement, mais à très-peu près dans les conditions énoncées [précédemment], on demande si l’action réciproque des masses maintiendra le système dans cet état particulier de mouvement ou si elle tendra au contraire à l’en écarter de plus en plus” 151515L. Euler, “Opera Omnia”. V.25, S.2, p. 246–257., Euler semblait penser que les configurations alignées étaient stables.

Liouville démontra en 1842 que les configurations alignées d’Euler étaient instables quelle que soit la valeur des masses des corps. Par conséquent si la Lune avait occupé la position énoncée par Euler, elle n’aurait pu s’y maintenir que pendant un temps très court. L’année suivante, Gascheau pose la première pierre d’une éventuelle preuve de stabilité de la configuration équilatérale de Lagrange sous une condition qui implique que deux masses soient suffisamment faibles par rapport à la troisième. Bien plus tard, un résultat de Liapounov permit d’en déduire l’existence de familles de solutions périodiques au voisinage des points d’équilibre et . Par ailleurs, ces solutions périodiques ont fourni une explication à la présence des astéroïdes “troyens” observés depuis 1906 au voisinage des positions et du système Soleil-Jupiter (voir la figure 6.a–b).

Contrairement aux configurations d’Euler et de Lagrange, ces orbites périodiques troyennes ne décrivent pas exactement des ellipses autour du Soleil mais en sont très proches: ce sont de petites déformations périodiques de la configuration équilatérale. Ainsi, ce sont des solutions perpétuellement stables du problème des 3 corps, en résonance co-orbitale et qui possèdent notamment la propriété d’échange d’orbites. En effet, comme illustré sur la figure 6.a, l’astéroïde troyen passe alternativement d’orbite externe à interne par rapport à celle de Jupiter (qui reste la même). Par contre, le mouvement relatif de l’astéroïde et de la planète entoure uniquement l’un des points de Lagrange ou : il ne décrit donc pas une trajectoire en fer-à-cheval comme celle de Janus et Épiméthée autour de Saturne.

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Figure 6. (a.) Trajectoires particulières du problème des 3 corps dans le cas d’un astéroïde (corps de masse négligeable) uniquement soumis aux forces d’attractions du Soleil et d’une planète (Jupiter) supposée en orbite circulaire. Celles-ci sont représentées dans un repère tournant avec Jupiter. Les trajectoires de type “troyenne” (courbes bleues) passent alternativement d’une orbite interne à externe respectivement à l’orbite de Jupiter en entourant les points de Lagrange ou . La trajectoire de type “fer-à-cheval” (courbe orange) passent également d’une orbite interne à externe respectivement à l’orbite de Jupiter mais en entourant les points de Lagrange , et . Autrement dit, elle passe continûment de configurations proches du triangle équilatéral à la configuration alignée de part et d’autre du Soleil tout en ayant des rencontres proches avec la planète. Cette trajectoire est du même type que celles de Janus et Épiméthée mais dans le cas où la masse de cette dernière serait négligeable par rapport à celle de Janus (or nous savons que et donc que les masses de Janus et Épiméthée sont comparables). (b.) Illustration du système solaire jusqu’à l’orbite de Jupiter mettant en évidence les astéroïdes troyens situés au voisinage des position et du système Soleil-Jupiter.

4. Notre problème : la “stabilité des fers-à-cheval”

Revenons maintenant au cas des lunes co-orbitantes de Saturne. Nous souhaitions démontrer l’existence de solutions perpétuellement stables associées aux trajectoires en fer-à-cheval dans le cadre du problème des 3 corps 161616Plus précisément dans le cadre du problème des 3 corps où deux masses comparables gravitent dans un même plan autour d’un corps central beaucoup plus massif.. Il s’agissait donc d’étudier une version simplifiée du problème réel en négligeant les autres forces en action: l’influence gravitationnelle d’autres satellites de Saturne, l’effet des anneaux, l’aplatissement de Saturne, les effets de marées, etc…

Nous recherchions des trajectoires en résonance co-orbitale qui, comme dans la figure 6.a dans le cas d’un système Soleil-planète-astéroïde (courbe orange), “entourent” les trois configurations d’équilibre , et , c’est-à-dire qui passent continument de configurations proches du triangle équilatéral à la configuration alignée de part et d’autre de Saturne tout en ayant des rencontres proches entre les deux lunes. Or, contrairement aux orbites périodiques troyennes décrites précédemment, ce type de configuration ne correspond pas à de petites déformations d’une configuration d’équilibre. Dans ce cas, les mathématiques requises ne sont plus les mêmes. Ainsi, bien qu’elle ait été pressentie au début du vingtième siècle par l’astronome E. Brown171717E. W. Brown “On a New Family of Periodic Orbits in the Problem of Three Bodies”, 1911, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, vol.71, Issue 5, p.438–454. dans une étude très simplifiée du problème des 3 corps, l’existence de trajectoires en fer-à-cheval perpétuellement stables n’avait jamais été établie avant notre résultat. Comme nous le verrons dans les paragraphes suivant, ce sont des mathématiques des années 90 qui nous ont permis de le prouver.

5. Une autre manière de trouver des solutions: la théorie KAM

Au début du vingtième siècle, Poincaré fournit un résultat crucial qui confirma la complexité des solutions du problème des 3 corps en démontrant sa non-intégrabilité. En un certain sens, cela revient à montrer que les solutions du problème des 3 corps sont qualitativement différentes des mouvements kepleriens qui sont quasi-periodiques (c’est-à-dire comme la superposition des mouvements périodiques des différents corps célestes). En effet, Poincaré exhiba une multiplicité de solutions très complexes, dîtes chaotiques 181818Pour aller plus loin, voir la partie dédiée à la notion mathématique de chaos (http://ciel.mmi-lyon.fr/dynamique-chaotique/) de l’exposition virtuelle “les mathématiques du ciel”.. Néanmoins il n’excluait pas la co-existence de trajectoires simples (périodiques ou quasi-périodiques) au milieu de ces trajectoires compliquées.

Une avancée spectaculaire fut accomplie au cours années 50-60 avec l’avènement de la théorie KAM du nom des trois mathématiciens Kolmogorov, Arnol’d et Moser. Dans un contexte plus général que le problème des 3 corps, cette théorie a pour objet l’étude de la persistance de mouvements quasi-périodiques sous l’effet d’une perturbation en combinant systèmes dynamiques, arithmétique et probabilités. Ainsi, si l’on connaît une approximation intégrable, c’est-à-dire une approximation du problème considéré par un autre mais dont les solutions sont composées uniquement de mouvements quasi-périodiques, la théorie KAM garantit qu’en dehors de certains cas complexes, l’effet d’une perturbation modifie la forme des solutions de l’approximation intégrable sans toutefois détruire leur caractère quasi-périodique 191919Voir l’article récent de B. Grébert dans Images des Mathématiques http://images.math.cnrs.fr/Du-ressort-a-l-univers-quand-les-resonances-se-jouent-des-pronostics. Plus précisément, cette théorie s’applique pour des trajectoires fortement non-résonantes (l’arithmétique intervient alors pour quantifier la notion de “distance” aux résonances) qui forment un “gros” ensemble parmi l’ensemble des solutions du problème (c’est alors la notion de “mesure” de cet ensemble qui fait intervenir la théorie des probabilités). Il s’agissait d’un résultat de stabilité retentissant tant l’ampleur des difficultés mathématiques à surmonter était importante.

En 1963, Arnol’d 202020V.I. Arnol’d “Small Denominators and Problems of Stability of Motion in Classical and Celestial Mechanics”, 1963, Russian Mathematical Surveys, vol.18, p.85–191. appliqua ce résultat au problème des 3 corps pour deux corps de masses comparables gravitant dans un même plan autour d’un troisième beaucoup plus massif, et démontra le théorème suivant: “si les masses de Jupiter et Saturne avaient été suffisamment petites par rapport à celle du Soleil, pour beaucoup (dans un sens mathématique précis) de conditions initiales, le mouvement de ces planètes aurait été quasi-périodique”. Plus récemment, ce résultat a été étendu par M. Herman et J. Féjoz au cas de corps (planètes) de masses comparables gravitant dans l’espace autour d’un corps central (le Soleil) beaucoup plus massif.

Bien qu’il ne soit pas adapté au cas réel puisqu’il nécessite des masses incomparablement plus petites que les masses des planètes du système solaire, ce théorème garantit l’existence de solutions quasi-périodiques pour deux (ou ) planètes en mouvement autour du Soleil sans que l’effet de leurs interactions mutuelles puisse déstabiliser leurs trajectoires en provoquant des éjections, des collisions ou des ré-arrangements entre les orbites. Nous pouvons cependant préciser que des études numériques menées dans le cas des masses du Soleil, de Jupiter et de Saturne fournissent des solutions extrêmement stables sur des temps comparables à l’âge du système solaire et qui semblent quasi-périodiques, ce qui s’accorde avec les prédictions de la théorie KAM. Malheureusement à ce jour, aucune preuve mathématique de ce comportement n’a été démontrée.

6. Théorie KAM et “fers-à-cheval”

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Figure 7. Dynamiques fournies par notre approximation intégrable dans les variables résonantes: la différence entre les rayons des orbites circulaires des deux lunes, et l’angle . Voir l’encadré “description du modèle” pour plus de détails.

Poursuivant l’idée d’Arnol’d, c’est la théorie KAM que nous appliquons au cas du système Saturne-Janus-Épiméthée mais dans un contexte plus délicat. En effet, alors que la théorie d’Arnol’d concerne des mouvements kepleriens fortement non-résonants (voir plus haut), nous considérons une situation résonante puisque les deux lunes sont co-orbitantes. En outre, alors qu’Arnol’d pouvait s’appuyer sur les mouvements kepleriens comme mouvements de référence, notre cas nécessitait de construire une approximation intégrable dont les solutions décrivent entièrement la topologie de la résonance co-orbitale: les configurations d’équilibre , et , la dynamique des orbites troyennes qui oscillent autour de et et la dynamique des trajectoires en fer-à-cheval qui entourent , et . La figure 7 illustre les différents types de trajectoires associés à ce modèle intégrable.

Description du modèle. Le long d’une solution de notre modèle, Janus et Épiméthée ont des trajectoires circulaires de rayons et autour de Saturne. Dans la figure 7, l’axe des ordonnées représente l’angle formé par Janus, Saturne et Épiméthée tandis que l’axe des abscisses est associé aux déformations de leur rayon. Lorsque les lunes sont alignées telle que , nous retrouvons les deux configurations alignées et . De celles-ci apparaissent des “séparatrices” (les courbes noires passant par et ) qui divisent le domaine en deux parties où les trajectoires ont des comportements bien distincts: l’extérieur non-résonant (régions grises) où la différence entre les rayons (et par conséquent entre les périodes orbitales) est importante, l’intérieur correspondant à la “zone” de résonance co-orbitale (mentionnée dans l’encadré détaillant la notion de résonance) où les échanges d’orbites se produisent (les trajectoires passent toutes par ). Lorsque les rayons sont égaux et que est égal , et degrés, nous retrouvons respectivement les configurations équilatérales , et la configuration alignée . Enfin, une séparatrice passant par divise la “zone” de résonance en deux dynamiques différentes: les trajectoires “troyennes” (les domaines bleus) le long desquelles les lunes échangent leurs orbites en maintenant une configuration proche de celle équilatérale (l’angle oscille autour de ou de degrés comme pour les deux courbes bleues), les trajectoires en fer-à-cheval (domaine rouge) le long desquelles, l’angle oscille autour de degrés avec une très grande amplitude jusqu’à ce que les lunes se rapprochent et échangent leurs orbites (lorsque est petit; voir la courbe rouge).

D’autre part, n’ayant pas d’expression explicite des solutions de l’approximation intégrable, il n’a pas été possible d’utiliser les versions classiques de la théorie KAM. De ce fait, nous avons été contraints d’utiliser une version plus récente de cette théorie, développée 212121J. Pöschel “A KAM-theorem for some nonlinear partial differential equations”, 1996, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, vol.23, p.119–148. par J. Pöschel dans les années 90, où les conditions requises sont particulièrement faibles.

Une fois ces difficultés surmontées, nous avons établi le théorème 222222L. Niederman, A. Pousse, P. Robutel “On the co-orbital motion in the three-body problem: existence of quasi-periodic horseshoe-shaped orbits”, 2018. Preprint disponible sur Arxiv: https://arxiv.org/abs/1806.07262 suivant: “en supposant que les masses de Janus et Épiméthée soient suffisamment petites par rapport à celle de Saturne, il existe des conditions initiales telles que leur ballet gravitationnel continuera indéfiniment.

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