Groupes de réflexion, géométrie du discriminant et partitions non-croisées

Groupes de réflexion, géométrie du discriminant et partitions non-croisées

Vivien RIPOLL
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Université Paris VII - Denis Diderot École Normale Supérieure

École Doctorale Paris Centre


Thèse de doctorat


Discipline : Mathématiques


présentée par

Vivien Ripoll

  Groupes de réflexion, géométrie du discriminant

et partitions non-croisées

 

dirigée par David Bessis.


Soutenue le 9 juillet 2010 devant le jury composé de :

M. David Bessis École Normale Supérieure (Directeur)
M. Cédric Bonnafé Université de Franche-Comté
M. Frédéric Chapoton Université Lyon 1 (Rapporteur)
M. Patrick Dehornoy Université de Caen
M. Christian Krattenthaler Universität Wien (Rapporteur)
M. François Loeser École Normale Supérieure
M. Jean Michel Université Paris 7


Département de Mathématiques et Applications
École Normale Supérieure
45 rue d’Ulm
75 005 Paris


Université Paris Diderot - Paris 7
5 rue Thomas Mann
75 205 Paris Cedex 13


École Doctorale de Sciences Mathématiques de Paris-Centre
Case 188
4 place Jussieu
75 252 Paris Cedex 05

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[0]Résuméresume

Résumé

Résumé

Lorsque est un groupe de réflexion complexe bien engendré, le treillis des partitions non-croisées de type est un objet combinatoire très riche, généralisant la notion de partitions non-croisées d’un -gone, et intervenant dans divers contextes algébriques (monoïde de tresses dual, algèbres amassées…). De nombreuses propriétés combinatoires de sont démontrées au cas par cas, à partir de la classification des groupes de réflexion. C’est le cas de la formule de Chapoton, qui exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans le treillis en fonction des degrés invariants de . Les travaux de cette thèse sont motivés par la recherche d’une explication géométrique de cette formule, qui permettrait une compréhension uniforme des liens entre la combinatoire de et la théorie des invariants de . Le point de départ est l’utilisation du revêtement de Lyashko-Looijenga (), défini à partir de la géométrie du discriminant de .

Dans le chapitre 1, on raffine des constructions topologiques de Bessis, permettant de relier les fibres de aux factorisations d’un élément de Coxeter. On établit ensuite une propriété de transitivité de l’action d’Hurwitz du groupe de tresses sur certaines factorisations. Le chapitre 2 porte sur certaines extensions finies d’anneaux de polynômes, et sur des propriétés concernant leurs jacobiens et leurs discriminants. Dans le chapitre 3, on applique ces résultats au cas des extensions définies par un revêtement . On en déduit — sans utiliser la classification — des formules donnant le nombre de factorisations sous-maximales d’un élément de Coxeter de en fonction des degrés homogènes des composantes irréductibles du discriminant et du jacobien de .

Mots-clefs

Groupes de réflexion complexes, partitions non-croisées, nombres de Fuss-Catalan, formule de Chapoton, revêtement de Lyashko-Looijenga, factorisations d’élément de Coxeter.

 

Reflection groups, geometry of the discriminant and noncrossing partitions

Abstract

When is a well-generated complex reflection group, the noncrossing partition lattice of type is a very rich combinatorial object, extending the notion of noncrossing partitions of an -gon. This structure appears in several algebraic setups (dual braid monoid, cluster algebras…). Many combinatorial properties of are proved case-by-case, using the classification of reflection groups. It is the case for Chapoton’s formula, expressing the number of multichains of a given length in the lattice , in terms of the invariant degrees of . This thesis work is motivated by the search for a geometric explanation of this formula, which could lead to a uniform understanding of the connections between the combinatorics of and the invariant theory of . The starting point is to use the Lyashko-Looijenga covering (), based on the geometry of the discriminant of . In the first chapter, some topological constructions by Bessis are refined, allowing to relate the fibers of LL with block factorisations of a Coxeter element. Then we prove a transitivity property for the Hurwitz action of the braid group on certain factorisations. Chapter 2 is devoted to certain finite polynomial extensions, and to properties about their Jacobians and discriminants. In Chapter 3, these results are applied to the extension defined by the covering . We deduce — with a case-free proof — formulas for the number of submaximal factorisations of a Coxeter element in , in terms of the homogeneous degrees of the irreducible components of the discriminant and Jacobian for .

Keywords

Complex reflection groups, noncrossing partitions, Fuss-Catalan numbers, Chapoton’s formula, Lyashko-Looijenga covering, factorisations of a Coxeter element.

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[0]Table des matièrestablematieres

Introduction

Le point de départ des travaux de cette thèse était d’essayer de comprendre une formule qui exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans le treillis des partitions non-croisées associé à un groupe de réflexion , en fonction des degrés invariants de . J’ai ainsi été amené à étudier les relations entre la combinatoire du treillis et la géométrie de , et plus précisément à faire le lien entre certaines factorisations d’un élément de Coxeter et le revêtement de Lyashko-Looijenga de .

Ce chapitre introductif vise à présenter les principaux personnages :

  • les groupes de réflexion complexes bien engendrés ;

  • le treillis des partitions non-croisées de type , pour un tel groupe ;

  • le revêtement de Lyashko-Looijenga associé à ;

  • les factorisations par blocs d’un élément de Coxeter de .

La première partie introduit le treillis des partitions non-croisées de type , un objet combinatoire très riche, qui étend la notion de partitions non-croisées d’un -gone. Les parties 0.2, 0.3 et 0.4 donnent un aperçu des aspects combinatoires, algébriques, et géométriques de cet objet et des autres structures étudiées. On y expose l’état de l’art et le contexte historique dans lequel s’inscrit ce travail.

Dans la partie 0.5 on présente les principaux résultats de la thèse.

0.1 Le treillis des partitions non-croisées

0.1.1 Partitions non-croisées classiques

Soit un entier non nul. Considérons points du plan, disposés sur les sommets d’un -gone régulier, et étiquetés dans le sens des aiguilles d’une montre. Étant donnée une partition de l’ensemble , on peut tracer dans le polygone les enveloppes convexes des parts de la partition. On dit que celle-ci est non-croisée si ces enveloppes convexes ne s’intersectent pas deux à deux (dans le cas contraire, elle est dite croisée).

Figure 1: La partition est non-croisée ; la partition est croisée.

Si l’on préfère une définition combinatoire, on a la caractérisation suivante : une partition de est non-croisée si et seulement si pour , si et sont dans la même part , alors et sont soit dans des parts distinctes, soit tous deux dans la part également.

L’ensemble des partitions non-croisées d’un -gone (que l’on notera ) est un ensemble partiellement ordonné, par l’ordre de raffinement des partitions ( si est une partition plus fine que ). C’est de plus un treillis pour cet ordre, c’est-à-dire qu’il existe des infs et des sups (cf. définition 0.5).

Le treillis est l’un des nombreux objets combinatoires comptés par le nombre de Catalan :

La première étude détaillée des partitions non-croisées date de 1972, par Kreweras [Kre72] (pour plus de détails sur l’historique du problème, on renvoie à Stanley [Sta99, pp. 261–262] et Armstrong [Arm09, p. 5]). Le treillis est devenu depuis un objet classique en combinatoire algébrique (cf. l’article de synthèse de Simion [Sim00]).

Plus récemment, l’intérêt pour les partitions non-croisées s’est diversifié. Elles sont étudiées en lien avec la théorie des probabilités libres de Voiculescu (voir les synthèses de Speicher [Spe97] et Biane [Bia02]), et dans de nouveaux problèmes combinatoires (voir par exemple les fonctions parkings [Sta97b]). Surtout, elles interviennent dans de nombreuses situations algébriques (théorie des groupes, théorie des représentations) sur lesquelles nous reviendrons plus loin dans cette introduction. On renvoie à l’article [McC06] de McCammond pour un tour d’horizon des diverses incarnations des partitions non-croisées découvertes ces dernières années.

Depuis la fin des années 90, la structure combinatoire a été généralisée dans le contexte des groupes de réflexion finis (réels, puis complexes), le cas du -gone correspondant au type , i.e. au groupe de permutations . Pour expliquer cette généralisation, commençons par donner une autre interprétation des partitions non-croisées.

A chaque partition (croisée ou non) d’un -gone, on peut associer une permutation de , qui est le produit des cycles donnés par chaque part de , ses éléments étant pris dans le sens des aiguilles d’une montre : voir les diagrammes de la figure 2.

Figure 2: Les permutations et , correspondant aux partitions et de la figure 1.

On peut alors montrer que les partitions non-croisées correspondent exactement aux permutations qui se situent sur une géodésique entre la permutation identité et le -cycle dans le graphe de Cayley de , où est l’ensemble de toutes les transpositions de . Ainsi, l’ensemble des partitions non-croisées est en bijection avec l’ensemble des permutations de telles que

désigne le nombre minimal de transpositions nécessaires pour écrire (on a ). Sous cette forme, en voyant le groupe comme un groupe de Coxeter de type , on peut généraliser la notion de partitions non-croisées à tous les groupes de Coxeter finis (et à certains groupes de réflexion complexes).

0.1.2 Généralisation aux groupes de réflexion

Dans la suite, sauf mention explicite du contraire, tous les groupes de réflexion seront supposés finis.

Groupes de Coxeter finis

Soit un groupe de réflexion réel fini , c’est-à-dire un sous-groupe fini de (où est un espace vectoriel réel), engendré par des réflexions. La théorie de Coxeter permet d’étudier ce type de groupe de manière combinatoire, en fixant un ensemble de générateurs particuliers, noté , tel que ait une présentation très remarquable. On renvoie aux livres [Kan01], [Hum90], ou [Bou68] pour plus de détails sur les groupes de Coxeter et les groupes de réflexion finis.

Pour construire les partitions non-croisées de type , on munit au contraire d’une autre partie génératrice, notée , et constituée de toutes les réflexions de . Dans le cas d’un groupe de type , on retrouve l’ensemble de toutes les transpositions, noté dans le paragraphe précédent111L’ensemble de toutes les réflexions de est d’ailleurs par extension noté par plusieurs auteurs (cf. [Bes03] ou [Arm09]) ; on préfère ici la notation pour «  réflexions   »..

Définition 0.1.

On note la longueur d’un élément de en tant que mot sur l’alphabet , i.e.

Si , avec , on dit que est une décomposition réduite de . On définit un ordre partiel sur , en disant que «  divise   »  si et seulement si peut s’écrire en préfixe d’une décomposition réduite de , i.e. :

On notera simplement et , plutôt que et , s’il n’y a pas d’ambiguïté ; l’ordre est parfois appelé ordre absolu sur (et longueur absolue)222Il ne doit pas être confondu avec l’ordre plus classique sur les groupes de Coxeter, défini par la longueur relative à un système de réflexions fondamentales, ou encore avec l’ordre de Bruhat..

Remarque 0.2.

Le diagramme de Hasse pour cet ordre partiel est donné par le graphe de Cayley de (en effet, si et , on a nécessairement , car les réflexions ont pour déterminant ).

Le rôle du -cycle dans le type va être joué ici par un élément de Coxeter de , c’est-à-dire un produit (dans n’importe quel ordre) de toutes les réflexions par rapport aux murs d’une chambre donnée de l’arrangement d’hyperplans de (cf. par exemple [Kan01, 29.1]). L’ensemble des éléments de Coxeter de forme une classe de conjugaison constituée d’éléments de longueur maximale dans (en type — mais pas dans le cas général — on obtient tous les éléments de longueur maximale, i.e. les cycles maximaux). Fixons un élément de Coxeter . On définit ainsi l’ensemble des partitions non-croisées de type :

Soient et deux éléments de Coxeter. Comme la longueur est invariante par conjugaison, et que et sont conjugués, et sont isomorphes en tant qu’ensembles ordonnés. Du coup, tant qu’on peut travailler à isomorphisme près, on notera simplement .

On peut montrer (et ce n’est pas évident, voir paragraphe 0.3.1), que, comme pour le type , l’ensemble partiellement ordonné est un treillis.

Groupes de réflexion complexes

Dans [Bes07a], motivé par des questions géométriques sur les groupes de tresses généralisés (cf. partie 0.2), Bessis montre que la définition de peut s’étendre au cas où est un groupe de réflexion complexe bien engendré. Rappelons quelques définitions (plus de détails sont donnés au paragraphe 0.2.2).

Si est un -espace vectoriel de dimension , une réflexion333Certains auteurs utilisent le terme pseudo-réflexion ; on préfère ici utiliser simplement réflexion quand le cadre est un espace vectoriel complexe. est un élément de , d’ordre fini, et tel que soit un hyperplan de . Son unique valeur propre distincte de est donc une racine de l’unité, qui n’est pas nécessairement comme dans le cas réel.

Un groupe de réflexion complexe (fini) est un sous-groupe fini de engendré par des réflexions. Tout groupe de réflexion réel fini peut bien sûr se voir comme un groupe complexe, en complexifiant l’espace vectoriel sur lequel il agit. Cependant, on obtient avec cette définition de nombreux nouveaux groupes de réflexion non-réels (et ce même dans le cas où toutes les réflexions du groupe sont d’ordre ). La théorie de Coxeter ne s’applique pas à ces groupes. Mais comme les définitions de l’ordre et de la longueur vues plus haut sont relatives à l’ensemble de toutes les réflexions de , on peut les étendre telles quelles aux groupes de réflexion complexes. On construit ainsi, comme dans le cas réel, un ensemble partiellement ordonné , dont la structure provient de la longueur de réflexion .

Notons que la situation est plus subtile que dans le cas réel : comme les réflexions ne sont pas forcément de déterminant , on peut théoriquement avoir pour et (et ceci se produit effectivement dans certains cas) ; la remarque 0.2 sur le lien entre le diagramme de Hasse de et le graphe de Cayley de n’est donc plus valide. On verra cependant que, si l’on se restreint aux diviseurs d’un élément de Coxeter, ce problème ne se pose plus.

Si est un groupe de réflexion complexe qui agit de façon essentielle444c’est-à-dire que : en tant que -module, n’a pas de composante irréductible triviale. sur l’espace de dimension , on dit que est bien engendré s’il peut être engendré par réflexions (c’est le cas pour tous les groupes réels, mais pas pour tous les groupes complexes). Si est bien engendré, il existe une généralisation naturelle de la notion d’élément de Coxeter (voir la définition 1.6 du chapitre 1). On peut ainsi donner la définition générale de l’ensemble des partitions non-croisées de type .

Définition 0.3.

Soit un groupe de réflexion complexe bien engendré, et un élément de Coxeter de . On note l’ordre sur défini par la -longueur (cf. Déf. 0.1). Le treillis des partitions non-croisées de type est l’intervalle pour l’ordre :

Il s’avère que la structure combinatoire de cet ensemble est alors très similaire au cas réel ; en particulier est encore un treillis. Au paragraphe 0.2.2 on donnera une interprétation algébrique de ce treillis.

Historique et références

Le treillis des partitions non-croisées de type est un objet à la combinatoire très riche, et également très utile pour comprendre la structure et la géométrie des groupes de réflexion ; on développe ces questions en 0.2 et 0.3. Cette généralisation est apparue à la fin des années 90, de façon indépendante dans différents domaines mathématiques.

Travaillant en combinatoire algébrique, Reiner introduit des partitions non-croisées de types et dans [Rei97]. Du côté de la théorie des groupes, la construction du monoïde de Birman-Ko-Lee dans [BKL98] suscite deux axes de recherche indépendants donnant une définition algébrique de : voir d’une part Bessis-Digne-Michel [BDM02] (suivi de l’article [Bes03]), d’autre part Brady-Watt [Bra01, BW02b, BW02a]. Toujours dans la même période, des problèmes en théorie des probabilités libres motivent également la construction de certaines généralisations (Biane-Goodman-Nica [BGN03]).

En janvier 2005 une rencontre est organisée à l’American Institute of Mathematics, rassemblant pour la première fois tous les chercheurs de domaines divers travaillant sur ce même objet : il en résulte une longue liste de problèmes ouverts (cf. [Arm05]).

Pour plus de détails historiques, on renvoie au chapitre 4.1. dans [Arm09]. Ici on va s’intéresser tout particulièrement aux motivations algébriques liées aux groupes de réflexion et monoïdes de tresses.

0.2 Motivations algébriques

0.2.1 Groupes de tresses

Soit un groupe de réflexion complexe, et l’ensemble de toutes ses réflexions. On définit l’arrangement d’hyperplans de :

et l’espace des points réguliers :

Le groupe agit naturellement555On considèrera qu’il s’agit d’une action à gauche, et on notera les quotients à gauche. sur , et on définit :

le groupe de tresses de . Pour (i.e. le groupe de Coxeter ), on retrouve le groupe de tresses usuel à brins.


Dans le cas où est un groupe réel (complexifié), la théorie de Coxeter permet de comprendre la structure de . Si l’on choisit une chambre de l’arrangement réel (i.e. une composante connexe de l’espace des points réguliers réels), alors l’ensemble formé des réflexions par rapport aux murs de engendre , et l’on a une présentation de Coxeter :

(1)

est l’ordre du produit . D’après un théorème de Brieskorn ([Bri71]), le groupe de tresses est isomorphe au groupe d’Artin-Tits de , défini par la présentation suivante666dans laquelle l’ensemble des générateurs est plus exactement une copie formelle de . :

(2)

Deligne et Brieskorn-Saito, dans les deux articles fondateurs [Del72, BS72], ont étudié la structure de , notamment en construisant une forme normale dans (y résolvant ainsi le problème des mots), et en établissant que le monoïde d’Artin-Tits (défini par la présentation (2), mais en tant que monoïde) se plonge dans son groupe des fractions .

Cette méthode n’offre par contre aucune prise sur les groupes de réflexion complexes, puisqu’alors la théorie de Coxeter ne s’applique pas (on n’a plus de domaine fondamental naturel comme dans la géométrie réelle). Ce n’est qu’au début des années 2000 qu’a été contruit un substitut pour le monoïde d’Artin-Tits qui, lui, peut se généraliser.

0.2.2 Groupes de réflexion complexes et monoïde de tresses dual

Lorsqu’on passe des groupes de Weyl finis (groupes de réflexion définis sur ) aux groupes de Coxeter finis (définis sur ), peu de nouveaux exemples se présentent (dans la classification des groupes irréductibles, ce sont les types , , et les groupes diédraux). Par contre, si l’on autorise les groupes de réflexion à être définis sur , la situation change drastiquement. La classification des groupes de réflexion complexes irréductibles a été établie en 1954 par Shephard-Todd ([ST54] ; voir aussi Cohen [Coh76]) ; elle contient :

  • une série infinie à paramètres : est le groupe des matrices monomiales777Un seul coefficient non nul sur chaque ligne, ainsi que sur chaque colonne ; autrement dit, une matrice monomiale est le produit d’une matrice diagonale inversible et d’une matrice de permutation. de , dont les coefficients non nuls sont dans , avec un produit dans (où désigne l’ensemble des racines -ièmes de l’unité). On y retrouve les séries infinies réelles : , , , .

  • groupes exceptionnels (numérotés historiquement ), de petit rang : sont de rang , et le rang maximal est (atteint pour qui n’est autre que le groupe ).

Contrairement au cas réel, cette classification n’apparaît pas comme la solution d’un problème combinatoire simple. Elle a été obtenue par des méthodes ad hoc, et reste encore aujourd’hui assez mal comprise. En particulier, on ne peut pas toujours trouver un système générateur minimal de réflexions qui soit «  naturel   », et trouver des présentations satisfaisantes pour ces groupes est un problème difficile (voir les travaux de Broué-Malle-Rouquier [BMR95, BMR98], où sont construits des diagrammes «  à la Coxeter   » pour les groupes complexes). Encore aujourd’hui, on ne dispose pas d’une vision globale satisfaisante sur ces groupes, et de nombreuses propriétés importantes sont démontrées au cas par cas (comme des coïncidences constatées sur tous les groupes de la classification), et non comprises en profondeur. Les travaux de cette thèse visent d’ailleurs à améliorer la compréhension conceptuelle de certaines de ces propriétés empiriques.


L’étude des groupes de réflexion complexes connaît depuis une quinzaine d’années un regain d’intérêt, motivé par de nouvelles questions en théorie des représentations. De la même façon que les groupes de Weyl sont les «  squelettes   » de la théorie de Lie, il semblerait en effet qu’on puisse construire des structures algébriques (appelées Spetses) associées aux groupes de réflexion complexes (travaux de Broué, Malle, Michel, Rouquier, présentés dans [Bro01]).

Pour une présentation exhaustive de la théorie des groupes de réflexion complexes, on renvoie au récent livre de Lehrer-Taylor [LT09].


En 1998, Birman-Ko-Lee [BKL98] donnent une nouvelle présentation pour le groupe de tresses usuel, qui est réinterprétée par Bessis-Digne-Michel [BDM02] dans le langage alors tout récent des monoïdes de Garside (voir partie suivante). Ceci est le point de départ de la construction dans [Bes03] d’un nouveau monoïde de tresses pour tous les groupes de Coxeter finis (voir aussi [BW02a]) : le monoïde de tresses dual. Celui-ci vérifie des propriétés structurelles analogues à celles du monoïde d’Artin-Tits (c’est un monoïde de Garside), mais il a l’avantage de ne pas utiliser la structure de Coxeter du groupe : il est en effet construit à partir de la paire , où est l’ensemble de toutes les réflexions. Cela permet de le définir également pour certains groupes de réflexion non réels (ceux qui sont bien engendrés), cf. [Bes07a].

Pour une présentation synthétique du monoïde dual et de ses applications, on renvoie à l’introduction de [Bes07b]. Donnons ici simplement sa définition. Celle-ci s’inspire d’une présentation alternative du monoïde d’Artin-Tits (établie par Tits) :

(3)

désigne la longueur relativement à l’ensemble des réflexions fondamentales (définition analogue à Déf. 0.1). On définit alors le monoïde dual de tresses par :

(4)

est un élément de Coxeter et où , qui sert ici de système générateur, est l’ensemble des diviseurs de pour l’ordre (Déf. 0.3). On montre que le monoïde dual se plonge dans son groupe des fractions, qui est , mais qu’il n’est pas (dans le cas réel) isomorphe au monoïde d’Artin-Tits.

0.2.3 Structures de Garside

Le monoïde d’Artin-Tits et le monoïde dual sont deux exemples de monoïdes de Garside. Cette notion a été introduite à la fin des années 90 par Dehornoy et Paris [Deh02, DP99], dans le but d’axiomatiser les propriétés essentielles de , de sorte que les méthodes de preuve et les résultats de Deligne et Brieskorn-Saito s’appliquent dans un cadre plus général.

Il n’est pas utile de donner ici la définition précise d’un monoïde de Garside888Le nom donné à cette structure provient du premier cas historique, celui du monoïde de tresses classique de type , étudié par Garside dans [Gar69]. — d’autant que celle-ci n’est pas tout à fait stabilisée —, mais signalons qu’un axiome fondamental est une propriété de treillis pour un système générateur du monoïde. Les générateurs de la présentation (3) de constituent l’ensemble ordonné (où est l’ordre de divisibilité associé à ), dont on peut montrer géométriquement qu’il est un treillis. Pour le cas du monoïde dual (présentation (4)), il faut introduire un élément de Coxeter (l’ensemble entier n’est en général pas un treillis). Le système générateur est alors précisément , et on comprend l’importance algébrique de la propriété de treillis pour l’ensemble des partitions non-croisées de type (voir paragraphe 0.3.1).


La construction du monoïde de tresses dual pour les groupes non réels a donc des applications importantes, puisqu’elle permet d’adapter les preuves de Deligne et Brieskorn-Saito et de démontrer des propriétés fondamentales de et (problème des mots, problème de conjugaison…) dans des cas nouveaux. Une application importante est la démonstration de la propriété pour les arrangements d’hyperplans des groupes de réflexion complexes [Bes07a].


Remarque 0.4.

On ne traite dans cette thèse que de groupes de réflexion finis. Cependant, des monoïdes duaux ont également été construits pour les groupes d’Artin-Tits de type non sphérique : [CP03, Dig06, Bes06a, BCKM].

La théorie de Garside continue par ailleurs de se développer, et de nombreuses généralisations de structures de Garside ont été définies ces dernières années (groupoïdes, catégories) : voir par exemple [Bes06b], [Kra08], et l’article de synthèse [McC05].

0.3 Combinatoire de Coxeter-Fuss-Catalan

Fixons un groupe de réflexion complexe bien engendré . L’ensemble ordonné possède une combinatoire particulièrement riche, explorée depuis quelques années (au moins lorsque est réel). Suivant une terminologie d’Armstrong, on pourra parler de combinatoire de Coxeter-Fuss-Catalan, car des généralisations des nombres de Fuss-Catalan interviennent.

On donne dans cette partie quelques exemples (non exhaustifs) des problèmes posés par cette combinatoire. Pour un exposé plus complet, et pour d’autres références, on pourra se reporter à la thèse d’Armstrong [Arm09], en particulier les chapitres 1 et 5.

0.3.1 Propriété de treillis

Il est temps de rappeler la définition d’un treillis.

Définition 0.5.

Soit un ensemble partiellement ordonné. On dit que est un treillis si :

  • est borné : ;

  • pour tout , et admettent un infimum ;

  • pour tout , et admettent un supremum .

Lorsque est fini, deux quelconques de ces propriétés entraînent la troisième.


Comme expliqué au paragraphe 0.2.3, la propriété de treillis pour est essentielle pour montrer que le monoïde dual de tresses de est un monoïde de Garside.

Pour l’ensemble des partitions non-croisées d’un -gone, on vérifie aisément (i) et (ii).

Par contre, dans le cas général, une méthode de preuve uniforme est difficile à trouver. Historiquement, la démonstration a dans un premier temps été faite au cas par cas, avant que Brady-Watt [BW08] donnent une preuve générale — mais seulement dans le cas où est réel —, en construisant un complexe simplicial dont les simplexes représentent les éléments de (pour un exposé détaillé, voir le mémoire [Rip06]). Depuis, d’autres démonstrations uniformes indépendantes, mais toujours dans le cas réel, ont été publiées (Ingalls-Thomas [IT08], Reading [Rea09]).

Dans le cas où n’est pas réel, aucune démonstration sans cas par cas n’a été obtenue à l’heure actuelle. Les méthodes citées ci-dessus ne se généralisent pas facilement au cas complexe, car elles reposent de façon essentielle sur la théorie de Coxeter.

0.3.2 Sur la terminologie «  non-croisées   »

Historiquement, l’ensemble est une généralisation algébrique des partitions non-croisées d’un -gone. On peut se demander s’il est possible de voir effectivement les éléments de comme certains objets combinatoires sans croisement, ou plus généralement s’il existe une façon naturelle de représenter géométriquement les éléments de cette structure. C’est le cas pour les types et (Athanasiadis-Reiner [AR04]) et (Bessis-Corran [BC06]).

Un cas plus général (pour les séries réelles infinies et pour certains groupes exceptionnels) est traité par les récents travaux de Reading [Rea10], qui donne des représentations graphiques des sous-groupes non-croisés en utilisant le plan de Coxeter.

0.3.3 Nombres de Catalan associés

Le calcul du cardinal de fait intervenir des généralisations des nombres de Catalan, s’exprimant à partir des degrés invariants de . Rappelons la définition de ces degrés.

Soit un groupe de réflexion (complexe ou réel) de rang ; il agit naturellement sur l’algèbre symétrique (où est une base de ). En vertu du théorème de Chevalley-Shephard-Todd, l’algèbre des invariants est une algèbre de polynômes ; de plus, elle admet un système de générateurs homogènes , et leurs degrés ne dépendent pas du choix des invariants . Ce sont les degrés invariants de ; le degré maximal est appelé nombre de Coxeter (noté ), et est aussi l’ordre d’un élément de Coxeter.


Ces degrés invariants interviennent dans la combinatoire du treillis , avec des formules souvent étonnamment simples. Ainsi, pour tout groupe de réflexion complexe irréductible bien engendré , on a l’égalité suivante :

(5)

Aussi simple soit-elle, cette formule n’a jusqu’ici pas été démontrée de manière uniforme : elle a simplement été vérifiée pour chaque groupe irréductible de la classification. Le seul progrès vers une meilleure explication est une formule de récurrence établie par Reading dans [Rea08] (valable dans le cas réel), et qui permet de vérifier l’égalité au cas par cas de façon simple.

Par extension du cas du type (où est le -ième nombre de Catalan ), le membre de droite de l’égalité (5) est appelé nombre de Catalan de type , et noté .

Ce nombre apparaît dans de nombreux autres contextes. Dans le contexte des algèbres amassées («  cluster algebras   »), introduites par Fomin-Zelevinsky dans [FZ03], il compte le nombre de sommets dans l’associaèdre généralisé de type , pour réel (voir Fomin-Reading [FR05]). Quand est un groupe de Weyl, le nombre intervient aussi dans la combinatoire des «  partitions non-emboîtées   » (“nonnested partitions”), dans celle des antichaînes de racines, de l’arrangement de Shi étendu, des triangles de Chapoton [Ath04, Ath05, Ath98, Cha05, Cha06]… De nombreuses questions se posent en lien avec ces objets combinatoires, car l’on a souvent seulement une énumération au cas par cas, qui, de façon mystérieuse, donne , et très peu de preuves uniformes ou de bijections explicites entre les différents objets comptés par le même nombre.

La formule (5) n’est cependant qu’un cas particulier de la formule de Chapoton sur le nombre de chaînes dans .

0.3.4 Nombres de chaînes, formule de Chapoton

Définition 0.6.

Pour , le -ième nombre de Fuss-Catalan de type est défini par la formule suivante :

Théorème 0.7 (Formule de Chapoton).

Soit un groupe de réflexion complexe irréductible bien engendré. Alors le nombre de -chaînes dans est égal à .

Cette formule apparaît pour la première fois (dans le cas réel) dans l’article de Chapoton [Cha05] ; mais elle se vérifie au cas par cas en utilisant de nombreux travaux (Edelman, Athanasiadis, Reiner, Bessis…). On renvoie à [Arm09, 3.5] pour les détails historiques.

La plupart des remarques de la partie précédente s’appliquent encore ici : les nombres de Fuss-Catalan de type apparaissent dans d’autres contextes combinatoires, souvent sans qu’on en ait une explication satisfaisante.


La formule de Chapoton a pour conséquence deux formules «  classiques   » :

  1. , comme décrit en 0.3.3 ;

  2. , où désigne l’ensemble des décompositions réduites de l’élément de Coxeter .

Toutes deux avaient été observées avant la formule de Chapoton, également avec des preuves reposant sur la classification. Historiquement, la formule (ii) pour le cas réel a été conjecturée par Looijenga dans [Loo74], puis démontrée au cas par cas par Deligne [Del74]. A ma connaissance, aucune autre preuve n’est connue à ce jour.

La motivation initiale des travaux présentés ici était de progresser vers une explication conceptuelle de la formule de Chapoton. On verra qu’au-delà de cet enjeu qui pourrait sembler anecdotique, une compréhension profonde de cette formule exige d’élucider une structure algébro-géométrico-combinatoire riche et subtile.

L’un des principaux résultats obtenus est le calcul du nombre de factorisations d’un élément de Coxeter (de longueur ) en blocs, où un seul facteur est de longueur , les autres étant des réflexions. La preuve est de nature géométrique, et ne demande pas de nouvelle analyse au cas par cas si l’on admet la formule (i) (cf. Remarque 0.16).

0.3.5 Raffinements divers

On peut munir l’ensemble des -chaînes d’un ordre naturel, construit à partir de l’ordre produit sur . Il est alors appelé l’ensemble des partitions non-croisées -divisibles de type — terminologie inspirée par le cas du type , où est isomorphe à l’ensemble des partitions de dont toutes les parts sont de cardinal multiple de . Sa combinatoire très riche fait l’objet des chapitres 3 et 4 de [Arm09]. En particulier, on peut obtenir des formules encore plus fines, où le rang du premier terme de la chaîne est spécifié (nombres de Fuss-Narayana).


Signalons un autre raffinement de ces nombres, à base de -analogues : ainsi, Stump étudie dans [Stu10] des -nombres de Fuss-Catalan, qui sont en rapport avec l’algèbre des coinvariants diagonaux (travaux de Gordon [Gor03], Gordon-Griffeth [GG09]).

Un autre problème combinatoire sur , lié aux -analogues, est le «  phénomène de crible cyclique   » (“cyclic sieving phenomenon” défini par Reiner-Stanton-White [RSW04]) : on renvoie aux travaux de Bessis-Reiner [BR09] et Krattenthaler-Müller [KM09].

0.3.6 Factorisations d’un élément de Coxeter

Si est une chaîne de , on peut construire une factorisation en posant (avec et ) ; on a alors . Inversement, à toute telle factorisation de on peut associer une chaîne dans . Ce type de factorisation est une extension naturelle de la notion de décompositions réduites de ().

Dans le chapitre 1 de cette thèse, on va construire géométriquement des factorisations de (en passant par le groupe de tresses ), qui seront des factorisations strictes (aucun des facteurs n’est trivial). Mais il existe des formules de passage simples entre les factorisations strictes et les factorisations larges (ou entre les chaînes strictes et les chaînes larges) : dans l’annexe B on détaille ces relations.

La formule de Chapoton permet donc de calculer le nombre de factorisations d’un élément de Coxeter en un nombre donné de facteurs. La combinatoire de telles factorisations (qui, dans le cas du groupe symétrique, est déjà très riche) offre de nombreux problèmes intéressants (cf. les «  nombres de décompositions   » de Krattenthaler-Müller [KM10]).

0.4 Géométrie du discriminant

La plupart des travaux en combinatoire sur le treillis concernent le cas des groupes réels. Très souvent, les méthodes utilisées reposent sur la théorie de Coxeter (par exemple sur l’existence d’un diagramme de Coxeter qui admet un -coloriage, ce qui permet de choisir un élément de Coxeter bien adapté), et ne sont donc pas transposables aux groupes non réels.

En fait, la notion même d’élément de Coxeter dans un groupe de réflexion complexe (non réel) n’a pas encore de définition combinatoire satisfaisante. C’est plutôt une notion de nature géométrique (s’appliquant aux valeurs propres et vecteurs propres de l’élément, cf. Déf. 1.6), contrairement au cas où est un groupe de Coxeter.

Pour ces raisons, si l’on veut comprendre de manière globable la structure combinatoire de pour l’ensemble des groupes de réflexion complexes bien engendrés, on est amené à tenter une approche géométrique.

C’est l’approche qui a été menée dans ce travail de thèse.

0.4.1 Le revêtement de Lyashko-Looijenga

Le point de départ est l’utilisation d’un revêtement, construit à partir de la géométrie de l’hypersurface associée au discriminant de . Le revêtement de Lyashko-Looijenga () est introduit par Bessis dans [Bes07a], généralisant une définition de Looijenga et Lyashko (cf. partie 1.3). Décrivons grossièrement sa construction. On part de l’espace quotient , dont les fonctions coordonnées sont les invariants . On considère l’hypersurface , image de l’union des hyperplans par la surjection . Le revêtement permet d’étudier cette hypersurface via les fibres de la projection . Il associe à chaque -uplet le multi-ensemble des intersections (avec multiplicités) de sa fibre avec .

Le point de départ des travaux de [Bes07a] est l’observation que le degré du revêtement est égal au nombre de décompositions réduites d’un élément de Coxeter. La relation entre la géométrie de et les factorisations d’un élément de Coxeter dont on a parlé plus haut va en fait beaucoup plus loin : en quelque sorte, ces factorisations encodent naturellement les fibres de . Les travaux de cette thèse découlent d’un raffinement de ces observations.

0.4.2 Travaux de Saito

Signalons que ces questions sur la géométrie du discriminant sont liées aux travaux de Kyoji Saito sur la structure de variété de Frobenius (“flat structure”) de [Sai93, Sai04b, Sai04a, Sai05]. Même si ceux-ci concernent les groupes réels, beaucoup de propriétés peuvent s’étendre sans difficultés aux groupes complexes bien engendrés.

0.5 Principaux résultats de la thèse

Comme on l’a dit plus haut, les travaux présentés ici étaient initialement motivés par la recherche d’une explication conceptuelle de la formule de Chapoton. Le point de départ a été l’utilisation des résultats récents de Bessis [Bes07a] : ses constructions topologiques (les «  tunnels   ») permettent en effet de caractériser les fibres du revêtement à l’aide de certaines factorisations d’un élément de Coxeter . La combinatoire de ces factorisations est à son tour liée aux nombres de chaînes dans : on explique ces relations dans l’annexe B.

0.5.1 Morphisme de Lyashko-Looijenga, factorisations primitives, action d’Hurwitz

Soit un groupe de réflexion complexe bien engendré, irréductible, de rang . Notons le discriminant de (cf. paragraphe 1.3.1) ; c’est un polynôme invariant, donc dans (où est un système d’invariants fondamentaux de degrés ). On pose , de sorte que le quotient s’identifie à . Le morphisme de Lyashko-Looijenga associe à l’ensemble des points d’intersection (avec multiplicité) de la droite (complexe) avec l’hypersurface ; autrement dit, est le multi-ensemble des racines de vu comme polynôme en (cf. Déf. 1.18). Si l’on préfère le voir comme un morphisme algébrique explicite, envoie sur les coefficients en du polynôme .

Dans le chapitre 1 (qui est une reproduction de l’article [Rip10]), on commence par raffiner les constructions de [Bes07a]. On définit, en passant par le groupe de tresses , une application

est l’ensemble des factorisations par blocs d’un élément de Coxeter :

On obtient alors une reformulation d’un théorème fondamental de Bessis :

L’application est bijective

(où est un produit fibré au-dessus de l’ensemble des compositions — partitions ordonnées — de ).

Les conséquences de ce théorème sont étudiées dans [Bes07a], mais essentiellement sur la partie non ramifiée de (i.e. les tels que le multi-ensemble n’ait que des points simples) : la restriction à cette partie est un revêtement non ramifié. En particulier, le théorème implique que le degré de ce revêtement est égal au cardinal de l’ensemble des décompositions réduites de (qui sont les factorisations par blocs en réflexions). De plus, on peut construire deux actions du groupe de tresses usuel :

  • l’action de Galois (ou de monodromie) sur , définie par le revêtement ;

  • l’action d’Hurwitz sur (celle-ci conjugue les facteurs les uns avec les autres, cf. Déf. 1.2).

Via l’application , ces deux actions sont compatibles.

Dans le chapitre 1, on se demande ce qu’il se passe lorsqu’on n’est plus sur la partie non ramifiée. On traite particulièrement le cas où le multi-ensemble n’a qu’un seul point multiple (de multiplicité quelconque) ; c’est aussi le cas où contient un seul facteur de longueur quelconque, tous les autres étant des réflexions. On parle alors de factorisation primitive de .

On montre que le morphisme peut être vu comme un «  revêtement ramifié stratifié   » (Thm. 1.28). Ensuite, on étudie les orbites des factorisations primitives sous l’action d’Hurwitz : le groupe agit naturellement sur l’ensemble des factorisations de en blocs, en conjuguant les facteurs les uns avec les autres. Il était déjà connu que sur l’ensemble des décompositions réduites de , l’action d’Hurwitz est transitive. Le résultat principal du chapitre est le suivant :

Théorème 0.8 (Thm. 1.4).

Soit un groupe de réflexion complexe fini, bien engendré. Soit un élément de Coxeter de , et , deux factorisations primitives de (où les sont des réflexions). Alors et sont dans la même orbite d’Hurwitz sous si et seulement si et sont conjugués dans .

La démonstration nécessite l’étude de la connexité de certaines strates de l’hypersurface du discriminant.

Au passage, on approfondit la notion d’élément de Coxeter parabolique dans les groupes bien engendrés, en montrant que les propriétés classiques du cas réel s’étendent (Prop. 1.34 et 1.36) :

  • un élément de Coxeter parabolique peut être défini soit comme un élément de Coxeter d’un sous-groupe parabolique, soit comme un diviseur (pour ) d’un élément de Coxeter de ;

  • le sous-groupe associé à un élément de Coxeter parabolique est engendré par toute factorisation de .

0.5.2 Extension d’anneaux de polynômes, Jacobiens, discriminants, groupes de réflexion virtuels

Dans le chapitre 2, on se place dans un cadre plus général, où l’on étudie des questions d’algèbre commutative. Celles-ci ont au départ été motivées par des constatations empiriques sur le morphisme de Lyashko-Looijenga. En effet, pour pouvoir obtenir des formules explicites sur la combinatoire des factorisations par blocs (voir partie suivante), j’ai eu besoin d’examiner les degrés homogènes des composantes irréductibles du lieu ramifié de . Ce lieu ramifié est défini par le discriminant de Lyashko-Looijenga :

Or, en calculant dans quelques exemples le polynôme ainsi que le Jacobien (déterminant de la matrice jacobienne de , en tant que morphisme algébrique), j’ai observé qu’ils avaient une forme remarquable :

où les facteurs irréductibles sont les mêmes. J’ai cherché à établir ces formules en toute généralité.

Ces propriétés évoquent le couple discriminant-Jacobien issu de la théorie des invariants d’un groupe de réflexion complexe , qui est de la forme

Mais la démonstration de ces propriétés n’est pas du tout transposable au cas de , car elle repose sur l’utilisation de l’action du groupe .

Une question naturelle est donc de comprendre dans quelle mesure ce type de situation est général. On se place dans ce chapitre le cadre d’une extension polynomiale finie graduée (cf. Déf. 2.4) :

où les variables , sont homogènes pondérées, et où est fini sur en tant qu’anneau. Ainsi, les résultats obtenus s’appliquent à la fois :

  • à une extension galoisienne, de la forme ; dans ce cas, d’après le théorème de Chevalley-Shephard-Todd, est un groupe de réflexion complexe ;

  • à l’extension définie par un morphisme de Lyashko-Looijenga.

Pour une telle extension, on commence par donner la factorisation en irréductibles du Jacobien, en fonction des idéaux ramifiés de l’extension et de leurs indices de ramification. Pour pouvoir définir un «  discriminant   » de l’extension, qui se comporte comme ou dans les cas précités, on introduit la notion d’extension bien ramifiée. C’est une notion plus faible que celle d’extension galoisienne, où pour chaque idéal premier de hauteur de , les idéaux de au-dessus de sont soit tous ramifiés, soit tous non ramifiés (cf. Déf. 2.16). On peut donner de nombreuses caractérisations de cette propriété (Prop. 2.17).

Le résultat principal du chapitre 2 est le théorème suivant :

Théorème 0.9 (Thm. 2.1).

Soit une extension polynomiale finie graduée. Alors :

  • le Jacobien de l’extension vérifie :

    désigne l’ensemble des polynômes ramifiés de (à association près), et l’indice de ramification de ;

  • si l’extension est bien ramifiée, alors :

Ainsi, dans le cas où l’extension est bien ramifiée, le polynôme peut être appelé «  discriminant   » de l’extension, par analogie avec la situation galoisienne, où il s’agit du discriminant du groupe de réflexion associé.


Remarque 0.10.

Les résultats de ce chapitre sont des conséquences assez élémentaires de propriétés d’algèbre commutative, mais je n’ai pas trouvé de références satisfaisantes dans la littérature. Souvent, le point de vue est soit beaucoup trop général (algèbre commutative des extensions d’anneaux) soit trop spécifique (extensions galoisiennes). Ici, on se place dans un cadre intermédiaire, où les preuves utilisant une action de groupe (c’est-à-dire toute la théorie des invariants des groupes de réflexion) ne s’appliquent pas, et où les résultats généraux concernant les extensions d’anneaux se simplifient drastiquement.

Remarque 0.11.

Le vocabulaire et les propriétés énoncés dans ce chapitre sont utilisés dans le cas des extensions de Lyashko-Looijenga dans le chapitre suivant. Cependant, dans une optique plus générale, la situation décrite semble prometteuse, car elle offre une généralisation intrigante de la théorie des invariants d’un groupe de réflexion. Même s’il n’y a pas d’action de groupe, on a ainsi un Jacobien et un discriminant, qui se comportent de la même manière que dans le cas galoisien. Une telle extension peut ainsi être appelée groupe de réflexion virtuel999terminologie proposée par David Bessis. ; il serait intéressant de voir dans quelle mesure les analogies peuvent se poursuivre.

0.5.3 Le morphisme de Lyashko-Looijenga vu comme groupe de réflexion virtuel ; factorisations sous-maximales

Dans le chapitre 3, on applique les propriétés données au chapitre précédent, et on montre que les extensions de Lyashko-Looijenga sont bien ramifiées.

En utilisant les résultats du chapitre 1, on peut décrire les facteurs irréductibles du discriminant : il y en a un par classe de conjugaison de sous-groupes paraboliques de rang de (ou d’élements de Coxeter paraboliques de longueur ). On peut ainsi écrire

désigne l’ensemble des classes de conjugaison de paraboliques de rang .

On obtient le théorème suivant :

Théorème 0.12 (Thm. 3.3).

Soit l’extension associée au morphisme de Lyashko-Looijenga d’un groupe de réflexion complexe, bien engendré, irréductible. Pour , soit un élément de Coxeter parabolique de , qui correspond à .

Alors, est le nombre de décompositions réduites de en deux réflexions. De plus :

  1. les polynômes ramifiés de l’extension sont les ;

  2. le Jacobien de l’extension est égal (à un scalaire près) à :

  3. le polynôme engendre l’idéal .

Remarque 0.13.

La formule (b) pour le Jacobien avait déjà été observée (dans le cas réel) par K. Saito (formule 2.2.3 dans [Sai04a]) ; mais sa démonstration était au cas par cas. Ici on donne une preuve géométrique générale, qui repose sur les liens entre et l’application .

D’autre part, en raffinant des propriétés du chapitre 1, on parvient à calculer le nombre de factorisations sous-maximales d’un élément de Coxeter de type i.e. , constituées de réflexions et un facteur de longueur , ce dernier étant dans la classe de conjugaison :

Théorème 0.14 (Thm. 3.6).

Soit , et un élément de Coxeter de . Alors le nombre de factorisations sous-maximales de de type est :

Ce théorème fait donc le lien entre la combinatoire des factorisations par blocs d’un élément de Coxeter, et la géométrie de : les sont en fait les degrés des projetés sur des orbites de plats de codimension de .

Dans l’annexe A, on calcule explicitement les valeurs associées à cette formule pour tous les groupes irréductibles bien engendrés. On retrouve ainsi des formules de [KM10] pour les cas réels ; dans les autres cas, les résultats sont nouveaux.


Les deux théorèmes précédents permettent de calculer le nombre total de factorisations sous-maximales :

Théorème 0.15 (3.11).

Soit un groupe de réflexion complexe, bien engendré, irréductible, et ses degrés invariants. Alors, le nombre de factorisations d’un élément de Coxeter en blocs est :

Remarque 0.16.

Cette égalité est en réalité une conséquence logique de la formule de Chapoton. En effet, comme expliqué au paragraphe 0.3.6, on peut passer des nombres de chaînes aux nombres de factorisations par blocs (voir Annexe B).

Cependant, on en donne ici une preuve directe, alors que la formule de Chapoton n’est connue qu’au cas par cas. En fait, dans toute la thèse (exceptée l’annexe A sur les calculs explicites de discriminant), on n’utilise jamais la classification des groupes de réflexion. On se repose tout de même sur des propriétés pour lesquelles il n’y a pas encore de démonstrations générales (en particulier les premières propriétés de données dans [Bes07a]) ; mais, au final, on parvient ici à passer, à l’aide d’une preuve géométrique sans cas par cas, de la connaissance de à celle de .

Chapitre 1 Orbites d’Hurwitz des factorisations primitives d’un élément de Coxeter111Ce chapitre reproduit intégralement le texte d’un article publié dans Journal of Algebra, 323 (5), mars 2010.

Résumé. On considère l’action d’Hurwitz du groupe de tresses usuel sur les factorisations d’un élément de Coxeter d’un groupe de réflexions complexe bien engendré . Il est bien connu que l’action d’Hurwitz est transitive sur l’ensemble des décompositions réduites de en réflexions. On démontre ici une propriété similaire pour les factorisations primitives de , i.e. celles dont tous les facteurs sauf un sont des réflexions. Cette étude est motivée par la recherche d’une explication géométrique de la formule de Chapoton sur le nombre de chaînes de longueur donnée dans le treillis des partitions non croisées . La démonstration présentée repose sur les propriétés du revêtement de Lyashko-Looijenga et sur la géométrie du discriminant de .

Mots-clés : action d’Hurwitz, groupe de réflexions complexe, élément de Coxeter, treillis des partitions non croisées, revêtement de Lyashko-Looijenga.

Abstract. We study the Hurwitz action of the classical braid group on factorisations of a Coxeter element in a well-generated complex reflection group . It is well known that the Hurwitz action is transitive on the set of reduced decompositions of in reflections. Our main result is a similar property for the primitive factorisations of , i.e. factorisations with only one factor which is not a reflection. The motivation is the search for a geometric proof of Chapoton’s formula for the number of chains of given length in the non-crossing partitions lattice . Our proof uses the properties of the Lyashko-Looijenga covering and the geometry of the discriminant of .

Keywords: Hurwitz action, complex reflection group, Coxeter element, non-crossing partitions lattice, Lyashko-Looijenga covering.

Introduction

Soit un -espace vectoriel de dimension finie, et un groupe de réflexions complexe fini bien engendré (définition en partie 1.1.1). On note l’ensemble de toutes les réflexions de . On définit la longueur d’un élément de :

On note l’ensemble des décompositions réduites de , i.e. des mots de longueur représentant . Ce sont donc des factorisations minimales de en réflexions. Plus généralement, on peut définir des factorisations par blocs de :

Définition 1.1.

Soit , de longueur . Soit . Une factorisation en blocs de est un -uplet d’éléments de tels que , avec . On note l’ensemble de ces factorisations.

Si est de longueur , on a donc .

Ci-dessous on définit l’action d’Hurwitz du groupe de tresses sur les factorisations en blocs d’un élément de . Une factorisation est dite primitive lorsqu’elle ne comporte qu’un seul facteur qui n’est pas une réflexion (définition 1.3). Dans cet article on détermine les orbites sous l’action d’Hurwitz des factorisations primitives d’un élément de Coxeter de (définition 1.6).

Action d’Hurwitz

Considérons un groupe , et un entier . On fait agir le groupe de tresses à brins, noté , sur le produit cartésien :

Définition 1.2 (Action d’Hurwitz).

Soient les générateurs standards de . L’action d’Hurwitz (à droite) de sur est définie par :

pour tout et tout .

On vérifie aisément que cette définition donne bien une action du groupe de tresses. Cela vient essentiellement du fait que la conjugaison fait partie de la classe des opérations auto-distributives : (ici ). L’intérêt de ces opérations a été décrit par Brieskorn (ensembles automorphes [Bri88]) et plus récemment par Dehornoy (LD-systèmes [Deh00]).

Factorisations primitives

L’action d’Hurwitz préserve les fibres de l’application produit . Ainsi, si l’on revient au cadre décrit plus haut, où est un groupe de réflexions complexe muni de sa partie génératrice naturelle , on obtient une action d’Hurwitz du groupe de tresses sur l’ensemble des factorisations en blocs de (définition 1.1), pour tout et .

Considérons . Le -uplet définit donc une composition (i.e. une partition ordonnée) de l’entier . Si est une composition de en termes, on note l’ensemble des factorisations dont les longueurs des facteurs forment la composition .

Si l’on fait agir sur un élément de , la composition de associée peut être modifiée, mais pas la partition de (non ordonnée) sous-jacente. En effet, l’ensemble des réflexions étant invariant par conjugaison, la longueur est également invariante par conjugaison.

On dit qu’une factorisation en blocs est de forme , pour partition de (notation : ), si le -uplet non ordonné des longueurs des facteurs constitue la partition . On note l’ensemble des factorisations de forme . Ainsi, l’action d’Hurwitz de sur stabilise les ensembles , pour et ( désignant le nombre de parts de la partition ).

Pour , on note classiquement (où et ), si la partition est constituée de fois l’entier , , fois l’entier .

Définition 1.3.

Une factorisation primitive de est une factorisation par blocs de , de forme , pour : tous les blocs sauf un doivent être des réflexions. L’unique facteur de longueur strictement supérieure à est appelé facteur long de la factorisation primitive.

On étudie ici les factorisations d’un élément de Coxeter, au sens de [Bes07a] (voir définition 1.6). Dans le cas réel, on retrouve la notion classique d’élément de Coxeter. Dans la suite de l’introduction, on précisera l’intérêt fondamental des éléments de Coxeter dans certaines constructions algébriques relatives à un groupe de réflexions complexe bien engendré.

Considérons un élément de Coxeter de , et notons sa longueur. Le cas le plus élémentaire des factorisations de forme , i.e. des décompositions réduites de , est connu : on sait que l’action d’Hurwitz sur est transitive. Dans un premier temps cette propriété a été prouvée pour les groupes réels ([Del74], puis [Bes03, Prop. 1.6.1]), avec une preuve générale, puis vérifiée au cas par cas pour le reste des groupes complexes [Bes07a, Prop. 7.5].

Le cas que nous traitons ici peut se voir comme l’étape suivante, c’est-à-dire la détermination des orbites d’Hurwitz des factorisations primitives de . Le résultat principal de cet article est le suivant :

Théorème 1.4 (Orbites d’Hurwitz primitives).

Soit un groupe de réflexions complexe fini, bien engendré. Soit un élément de Coxeter de . Alors, deux factorisations primitives de sont dans la même orbite d’Hurwitz si et seulement si leurs facteurs longs sont conjugués.

L’idée de la preuve est d’utiliser certaines constructions de Bessis [Bes07a] pour obtenir les factorisations de à partir de la géométrie du discriminant de dans l’espace-quotient (qui s’identifie à si on a choisi des invariants fondamentaux ). On interprète ensuite l’action d’Hurwitz en termes géométriques.

Dans une première partie on rappelle les définitions classiques et les propriétés de l’ordre de divisibilité dans le treillis des partitions non croisées généralisées, noté . La partie 1.2 présente une notion de forte conjugaison pour les éléments de , qui permet de formuler une version plus forte du théorème principal 1.4.

Par la suite, on considère l’hypersurface de , d’équation le discriminant de , qui admet une stratification naturelle (par les orbites de plats). On projette cette hypersurface sur (en oubliant la coordonnée correspondant à l’invariant de plus haut degré ), et on en déduit une stratification du lieu de bifurcation de . En partie 1.3 on rappelle les propriétés du revêtement de Lyashko-Looijenga , puis dans la partie suivante on modifie légèrement les constructions de [Bes07a], en définissant une application qui produit des factorisations associées à la géométrie de . Dans la partie 1.5, on démontre des propriétés plus fines du morphisme , qui apparaît alors comme un revêtement ramifié « stratifié ». On en déduit que l’ensemble des orbites d’Hurwitz des factorisations primitives est en bijection avec l’ensemble des composantes connexes par arcs de certains ouverts des strates de . La démonstration du théorème revient ainsi à un problème de connexité dans (traité en parties 1.6 et 1.7), et est achevée en partie 1.8 par l’étude du cas particulier des réflexions.

Dans la partie 1.6, on détaille les propriétés de la stratification de . À cette occasion, des conséquences remarquables de certaines propriétés énoncées dans [Bes07a] sont exposées, en particulier concernant les sous-groupes paraboliques de , leurs classes de conjugaison et leurs éléments de Coxeter.


La suite de cette introduction présente les motivations du problème.

Treillis des partitions non croisées, monoïde de tresses dual

Fixons un élément de Coxeter dans . On note l’ordre partiel sur associé à la -longueur (voir définition 1.7) :

On considère l’ensemble des diviseurs de : (la notation signifie « non-crossing partitions », cf. interprétation ci-dessous).

L’ensemble partiellement ordonné permet de construire les générateurs (appelés les simples) du monoïde de tresses dual de (cf. [BKL98] pour le type , [Bes03] et [BW02a] pour les groupes réels, puis [Bes07a] pour le cas général).

L’étude de la combinatoire de est au départ motivée par les conséquences sur les propriétés algébriques du monoïde dual. Ainsi, une des propriétés remarquables de est qu’il forme un treillis pour l’ordre : preuve générale dans le cas réel par Brady et Watt [BW08] (voir aussi [IT08]), le reste au cas par cas, cf. [Bes07a, Lemme 8.9]. C’est essentiellement cette propriété de treillis qui donne au monoïde de tresses dual sa structure de monoïde de Garside (comme défini dans [Deh02]).

Mais la richesse de la structure combinatoire de en a fait plus récemment un objet d’étude en soi (voir par exemple [Arm09]). Dans le cas du groupe , ce treillis correspond à l’ensemble des partitions non croisées d’un -gone, et est à la base de la construction du monoïde de Birman-Ko-Lee [BKL98, BDM02]. Pour les groupes de type , on peut également interpréter l’ensemble des diviseurs de comme certains types de partitions non croisées [BC06]. Par extension, l’ensemble des diviseurs d’un élément de Coxeter dans un groupe bien engendré est appelé le treillis des partitions non croisées généralisées (d’où la notation ).

Formule de Chapoton pour les chaînes de et factorisations de

Si n’est pas irréductible et s’écrit , alors le treillis est le produit des treillis et (où désigne la composante de sur ), muni de l’ordre produit. Dans cette partie on supposera que est irréductible.

Notons les degrés invariants de . Une formule, énoncée initialement par Chapoton, exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans le treillis en fonction de ces degrés. Notons le polynôme Zêta de : c’est la fonction sur telle que pour tout , est le nombre de chaînes larges (ou multi-chaînes) dans (de façon générale est toujours un polynôme : voir par exemple Stanley [Sta97a, Chap. 3.11]).

Proposition 1.5.

Soit un groupe de réflexions complexe bien engendré, irréductible. Alors, avec les notations ci-dessus, on a :