1 Эллиптические функции

S. R. Nasyrov

GEOMETRIC AND ANALYTIC PROBLEMS

OF THE THEORY OF RAMIFIED COVERINGS OF THE SPHERE

This is a course of lectures given for students of the Regional Mathematical Center of the Novosibirsk State University from October 20 to November 3, 2017.

The course is devoted to some geometric problems of ramified coverings of the Riemann sphere. A special attention is payed to compact surfaces of genus one (complex tori). In the first section we give a short introduction to the theory of elliptic functions.

Section 2 is devoted to one-parametric families of holomorphic and meromorphic functions. We recall the role of such families on Loewner’s equation in solving some problems of the theory of univalent functions. Further we deduce a system of ODEs expressing dependence of critical points of a family of rational functions from their critical values. This gives an approximate method to find a conformal mapping of the Riemann sphere onto a given simply-connected compact Riemann surface over the sphere. Thereafter a similar problem is solved for elliptic functions uniformizing complex tori over the Riemann sphere. The corresponding system of ODEs also contains a differential equation for the modules of complex tori. In Section 2 we follow to our papers [15], [17], [18].

In Section 3 we apply complex tori in some problems connected to Pade-Hermit approximations. We study the partition of a 3-sheeted Riemann surface into sheets induced by some abelian integrals (so-called Nattall’s partition). In the symmetric case we describe the structure of trajectories of quadratic differentials connected with the abelian integrals.

С. Р. Насыров

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ

ТЕОРИИ РАЗВЕТВЛЕННЫХ НАКРЫТИЙ СФЕРЫ111Работа выполнена при поддержке Регионального математического центра, г. Новосибирск.

Содержание этой статьи составляет небольшой курс лекций, прочитанных для слушателей Регионального математического центра Новосибирского государственного университета с 20 октября по 3 ноября 2017 г.

Курс посвящен некоторым геометрическим аспектам теории разветвленных накрытий сферы Римана. Особое внимание уделяется компактным поверхностям рода один (комплексным торам). В связи с этим, в первом разделе сначала дается введение в теорию эллиптических (двоякопериодических мероморфных) функций.

Второй раздел посвящен однопараметрическим семействам голоморфных и мероморфных функций. Напоминается роль таких семейств и дифференциального уравнения Левнера для решения экстремальных задач, связанных с однолистными функциями. Далее выводится система дифференциальных уравнений, выражающая зависимость критических точек семейства рациональных функций от их критических значений. Это дает возможность нахождения приближенного конформного отображения сферы Римана на заданную компактную односвязную риманову поверхность, разветвленно накрывающую сферу. Затем аналогичная задача решается для эллиптических функций, т. е. для комплексных торов над сферой Римана. При этом, в соответствующую систему входит и дифференциальное уравнение для определения модуля соответствующего комплексного тора. Материал этого раздела изложен в статьях автора [15], [17], [18].

Третий раздел посвящен применению комплексных торов в задачах, связанных с аппроксимациями Паде-Эрмита. Изучается разбиение трехлистной поверхности рода один на листы, индуцированное некоторыми абелевыми интегралами (так называемое разложение Наттолла). В симметричном случае исследуется поведение траекторий квадратичных дифференциалов, связанных с данными абелевыми интегралами.

1 Эллиптические функции

Теория эллиптических функций — это теория двоякопериодических мероморфных функций на комплексной плоскости . В этом разделе мы излагаем некоторые факты теории эллиптических функций, которые являются, в основном, классическими и будут необходимы нам во втором и третьем разделах. Более подробную информацию можно найти в известных монографиях и учебниках, напр., в [3, 8].

1 Определение эллиптической функции. Комплексные торы.

Функция , заданная на всей комплексной плоскости называется двоякопериодической, если существуют два комплексных числа и , линейно независимых над полем , таких что

Отметим, что примеры мероморфных функций с одним периодом можно построить достаточно просто: это функции , , и т. д. Существование непостоянных двоякопериодических функций не так очевидно. Отметим также следующее утверждение.

Теорема 1 (Якоби)

На комплексной плоскости у непостоянной мероморфной функции не может быть трех линейно независимых над периодов. Если таких периодов два, то они линейно независимы над

Таким образом, случай двух периодов является наиболее интересным.

Очевидно, что если функция является двоякопериодической с периодами и , то периодами этой функции будут также все ненулевые элементы решетки

Множество является свободной абелевой группой с двумя образующими и . Ясно, что в качестве образующих решетки можно взять любые числа вида

где числа и матрица, составленная из них, унимодулярна, т.е. .

Заметим также, что у двоякопериодической функции , заданной на комплексной плоскости, значение зависит от класса эквивалентности точки по модулю решетки , поэтому можно определить фактор-отображение по правилу . На фактор-множестве определяется топология, превращающая в поверхность, точнее, в ориентированную компактную поверхность рода один (тор). Кроме того, с помощью фактор-отображения на можно ввести комплексную структуру, превращающую его в риманову поверхность (комплексный тор). При этом, это фактор-отображение является универсальным накрытием тора. Отметим, что для разных решеток торы, как правило, неэквивалентны, т. е. в общем случае их нельзя отобразить конформным гомеоморфизмом друг на друга.

Замечание 1

Достаточно просто найти необходимое и достаточное условие эквивалентности двух комплексных торов и , выражающееся в терминах их решеток и .

Если двоякопериодическая функция мероморфна, то фактор-отображение является мероморфной функцией на торе . Таким образом, по-существу, теория эллиптических функций является теорией мероморфных функций на торе.

Пусть и — любые два периода, порождающие решетку . Рассмотрим любой параллелограмм , построенный на векторах и , отложенных из произвольной точки . Он называется параллелограммом периодов или фундаментальным параллелограммом. Для удобства в дальнейшем будем считать, что параллелограмм содержит не все граничные точки, а ровно по одной из каждого класса эквивалентности по модулю решетки. Например, можно добавить к внутренности параллелограмма две смежные стороны параллелограмма, представляющие собой отрезки, соединяющие точку с точками и без этих концевых точек и .

Поскольку при замене на решетка не меняется, в дальнейшем всегда будем считать, что выполнено условие .

2 Простейшие свойства эллиптических функций. Теоремы Лиувилля

Отметим следующее свойство эллиптических функций.

Теорема 2

Сумма вычетов любой эллиптической функции, взятая по всем полюсам, лежащем в параллелограмме периодов , равна нулю.

Доказательство основано на том, что если выбрать параллелограмм периодов так, чтобы его стороны не содержали полюсов эллиптической функции, то интеграл по границе параллелограмма от этой функции равен нулю, поскольку интегралы по противоположным сторонам параллелограмма сокращаются. С другой стороны, интеграл равен сумме вычетов по всем полюсам, лежащим в . Наконец, в каждом параллелограмме содержится ровно по одному полюсу из каждого класса эквивалентности, а вычет зависит только от этого класса эквивалентности.

Напомним, что в окрестности своего нуля любая непостоянная мероморфная функция имеет разложение

где и . Число называется кратностью этого нуля. В общем случае, если , точка называется -точкой функции , и кратность этой точки, по определению, это кратность нуля функции .

Теорема 3 (Лиувилль)

Любая непостоянная эллиптическая функция в каждом параллелограмме периодов имеет одинаковое число нулей и полюсов (с учетом их кратности). Более того, для любого число -точек (с учетом их кратности) совпадает с числом полюсов функции и является характеристикой функции .

Если эллиптическая функция не имеет полюсов в параллелограмме периодов, то она постоянна.

Непостоянная эллиптическая функция имеет не менее двух полюсов (с учетом их кратности) в каждом параллелограмме периодов.

Доказательство. 1) Утверждение следует из теоремы  2, если применить ее к функции , т. е. является своеобразной версией принципа аргумента. В случае -точек нужно вместо рассмотреть функцию .

Утверждение 2) сразу следует из 1). Для доказательства 3) заметим, что если у эллиптической функции ровно один полюс в параллелограмме периодов, то она принимает любое значение в этом параллелограмме ровно один раз. Значит, функция должна быть однолистна в этом параллелограмме. Но тогда полюс должен быть простым, и вычет функции в этом полюсе отличен от нуля. Это противоречит утверждению теоремы 2.

Пусть — число полюсов непостоянной функции (с учетом их кратности). Это число называется порядком эллиптической функции . С точки зрения теории римановых поверхностей теорема 3 утверждает, что функция осуществляет -кратное разветвленное накрытие сферы Римана. При этом, .

Фиксируем точку . Пусть , -точки функции в параллелограмме периодов, причем если точка имеет кратность , то она записывается раз. Обозначим через , полюсы функции в параллелограмме периодов, также выписанные с учетом их кратности.

Теорема 4 (Лиувилль)

Сумма -точек функции в параллелограмме периодов сравнима с суммой полюсов по модулю решетки, т. е.

Доказательство следует из рассмотрения интеграла

взятого по границе параллелограмме периодов.

3 -функция Вейерштрасса

Наиболее естественный путь для построения эллиптических функций состоит в использовании двойных рядов. На этом пути Вейерштрасс построил важнейшую эллиптическую функцию, которая называется -функцией Вейерштрасса и традиционно обозначается готической буквой (<<пэ>>):

(1)

здесь и далее штрих при знаке суммирования означает, что оно ведется по всем ненулевым периодам решетки . Фактически ряд в (1) является двойным, суммирование ведется по всем целым , таким, что .

Сходимость ряда обеспечивается следующим утверждением.

Лемма 1

Ряд

(2)

сходится тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Сначала покажем, что можно свести дело к случаю , , Функция непрерывна на единичной окружности и по теореме Вейерштрасса ее модуль принимает там свои наибольшее и наименьшие значения. При этом, наименьшее значение отлично от нуля, т. к. и линейно независимы над . Следовательно, существуют константы такие, что , . В силу однородности отсюда получаем:

Если применить это неравенство к , то получим

Следовательно, ряд (2) сходится тогда и только тогда. когда сходится ряд

(3)

Наконец, сходимость ряда (3) эквивалентна сходимости двойного интеграла

Последний интеграл сходится тогда и только тогда, когда .

Лемма 1 обеспечивает абсолютную сходимость ряда в правой части (1), так как

Кроме того, ряд сходится равномерно на любом компакте, не содержащем точек решетки , следовательно, определяет некоторую голоморфную функцию в . Очевидно, что в каждой точек решетки ровно одно слагаемое ряда имеет особенность — полюс второго порядка; после удаления этого слагаемого ряд сходится абсолютно и равномерно и в окрестности этой точки. Следовательно, (1) определяет мероморфную функцию во всей плоскости.

Покажем, что -функция Вейерштрасса действительно является двоякопериодической с периодами и . Имеем с учетом абсолютной сходимости ряда

Очевидно, что сумма

(4)

является периодической с периодом , поэтому -функция также имеет период . Аналогично показывается, что функция имеет период .

С учетом (4) можно записать функцию в виде

Отметим некоторые очевидные и важные свойства функции Вейерштрасса.

1) Функция — четная. Это сразу видно из ее определения.

2) Функция в некотором смысле однородна. Для этого обозначим ее через , явно указывая ее зависимость от периодов. Легко видеть, что

(5)

для любого , поэтому по сути дела поведение этой функции зависит от отношения периодов .

3) Функция имеет единственный полюс второго порядка в параллелограмме периодов. Следовательно, в силу теоремы Лиувилля любое значение она принимает два раза (с учетом кратности). Другими словами, -функция Вейерштрасса осуществляет двулистное разветвленное накрытие тором расширенной комплексной плоскости.

Изучим, в каких точках производная функции обращается в нуль. Для этого выведем дифференциальное уравнения для этой функции.

Имеем в окрестности начала координат

поэтому с учетом четности -функция получаем

В теории эллиптических функций используются обозначения

Числа и называются инвариантами Вейерштрасса; они зависят от периодов и и являются однородными функциями от них порядка и соответственно. С использованием этих обозначений запишем

С учетом этих разложений получим при :

поэтому

Теперь заметим, что является эллиптической функцией, которая имеет только устранимые особенности в точках решетки. В силу теоремы Лиувилля эта функция — тождественная константа, равная . Итак, доказана

Теорема 5

Функция Вейерштрасса удовлетворяет дифференциальному уравнению

(6)

Теперь найдем нули функции . Так как — четная функция, ее производная нечетна. Тогда, используя этот факт и периодичность, получим

Таким образом, . Аналогично доказывается, что , . Итак, эллиптическая функция имеет в параллелограмме периодов нули в точках , и . Так как ее порядок равен , все эти нули — простые.

В силу (6)

где , и — корни многочлена . Значит, можно считать, что

Отметим, что значения , и попарно различны, поскольку эллиптическая функция имеет порядок два, а кратность этих значений также равна двум.

4 -функция Вейерштрасса

-функция Вейерштрасса вводится равенством

(7)

Поскольку

ряд (7) сходится абсолютно; он также сходится равномерно на компактах вне точек решетки и его сумма представляет собой мероморфную функцию во всей плоскости. В каждом параллелограмме периодов эта функция имеет единственный простой полюс с вычетом .

Нетрудно показать, что -функция обладает свойством: , таким образом, производная -функции является четной эллиптической функцией. Следовательно, -функция нечетна. К сожалению, эллиптической она не является. Это можно вывести их того, что не существует эллиптической функции с одним простым полюсом в параллелограмме периодов.

Однако при изменении аргумента на период значение функции изменяется на константу:

(8)

где . Действительно,

поэтому , а значение константы легко определяется подставлением значения .

Замечание 2

Можно доказать, что

На основании равенства (8) получаем следующее утверждение.

Теорема 6

Для любых точек , , не сравнимых по модулю решетки , мероморфная функция является эллиптической функцией, имеющий два простых полюса в каждом параллелограмме периодов.

Теперь установим, что

(9)

Для этого выберем параллелограмм , на границе которого нет точек решетки , с вершинами в точках , , , . (Здесь мы используем, что , т. е. при положительном обходе границы параллелограмма точки встречаются в порядке: , , , .) Внутри него содержится ровно один простой полюс функции с вычетом, равным , поэтому с помощью теоремы о вычетах получаем

Здесь криволинейные интегралы берутся по отрезкам, соединяющим вершины параллелограмма. Учитывая (8) и делая замену переменных, получаем

Аналогично

что и доказывает соотношение (9).

5 -функция Вейерштрасса

Эта функция Вейерштрасса определяется равенством

(10)

Сходимость произведения следует из того, что

(11)

При достаточно больших точки лежат в сколь угодно малой окрестности единицы, и мы выбираем ветви логарифмов в (11) так, чтобы . При

равномерно на компактах на плоскости, поэтому ряд (11) сходится абсолютно на компактах, не содержащих точек решетки . Следовательно, на таких компактах сходится и бесконечное произведение в правой части (10). Но поскольку каждый сомножитель произведения является голоморфной функцией, по принципу максимума произведение сходится на любом компакте, даже если он и включает точки решетки .

Из (10) сразу следует, что

(12)

Отсюда заключаем, что – нечетная функция. Она имеет простые нули в точках решетки .

Функция , как и , не является эллиптической, и при добавлении к аргументу периодов она изменяется по определенному закону. Для нахождения этого закона заметим, что в силу (8) и (12)

Интегрируя, получаем

значит,

Подставляя вместо точку , получаем

Учитывая, что , находим

Значит,

(13)

Аналогично доказывается, что

(14)

6 Представление эллиптических функций в виде частного двух произведений -функций

Пусть даны две системы точек , и , . Будем предполагать, что никакие две точки из разных систем не эквивалентны по модулю решетки периодов . Рассмотрим функцию

(15)

и поставим вопрос: когда эта функция будет эллиптической?

Необходимое условие для этого дает теорема Лиувилля: необходимо, чтобы

(16)

Найдем условие, при котором это сравнение является и достаточным условием. Используя (13), получаем

Мы видим что если , то . Аналогично показывается, что при выполнении этого равенства .

Таким образом, если заменить сравнение (16) на равенство

(17)

то функция (15) становится двоякопериодической.

Теперь установим теорему о восстановлении эллиптической функции по ее нулям и полюсам.

Теорема 7

Пусть непостоянная эллиптическая функция в некотором параллелограмме периодов имеет нулей в точках , и полюсов в точках , (нули и полюсы выписываются столько раз, какова их кратность). Обозначим

Тогда является элементом решетки и существует ненулевая константа такая, что

где , , и .

Доказательство. То, что , следует из теоремы Лиувилля. Имеем

поэтому функция

является эллиптической и имеет нули и полюсы в тех же точках что и . Частное является эллиптической функцией без нулей и полюсов, поэтому это — константа .

Дадим некоторые следствия теоремы 7.

Рассмотрим функцию , где . Эта эллиптическая функций имеет нули в точках и , а также полюс второго порядка в начале координат. Согласно теореме 7 она представима в виде

Разлагая левую и правую часть в ряд Лорана в окрестности нуля, получаем: .

Итак,

Беря логарифмическую производную, получаем

Меняя местами и , находим

Это равенство выражает эллиптическую функцию, имеющую простые полюсы в точках , через -функцию Вейерштрасса.

7 Зависимость функций Вейерштрасса от периодов

В дальнейшем нам понадобятся выражения для частных производных функции

по периодам и . Заодно найдем частные производные по периодам от функций и . Разумеется, эти производные с помощью (1), (7) и (10) можно представить в явном виде через ряды, однако мы выразим эти производные через - и -функции Вейерштрасса. Излагаемые здесь результаты получены в [18].

Теорема 8

Частные производные функции по периодам и равны

(18)
(19)

Доказательство. Запишем (8) в виде

Продифференцируем эти равенства по . Имеем

Если обозначить

(20)

то получим

где .

Из соотношений

с учетом (9) получаем для функции

(21)

соотношения

поэтому функция

(22)

удовлетворяет условиям

Подберем константы и так, чтобы выполнялись равенства

Тогда функция будет являться двоякопериодической на плоскости с периодами и . Учитывая, что в параллелограмме периодов эта функция имеет единственную особенность в точке , получаем

. Поэтому двоякопериодическая функция

(23)

в параллелограмме периодов имеет единственный простой полюс в нуле. Поскольку сумма вычетов любой двоякопериодической функции в точках, лежащих в параллелограмме периодов, равна нулю, заключаем, что ее вычет в этой точке равен нулю. Таким образом, эта функция не имеет особых точек, т. е. является константой , и равенство нулю вычета в точке дает

(24)

Из нечетности функции (23) следует, что константа равна нулю. С учетом (20), (21) и (22) получаем

(25)

Используя разложения в нуле

из равенства нулю коэффициента при первой степени в (25) найдем

(26)

Из (25) с учетом (24) и (26) получаем (19). Справедливость (18) устанавливается аналогично.

Интегрируя по полученные в теореме 8 соотношения, с учетом равенств

приходим к следующему результату.

Теорема 9

Частные производные функции по периодам равны

(27)