Fonction complexité associée à une application ergodique du tore

Fonction complexité associée à une application ergodique du tore

Jean-François Bertazzon
Laboratoire d’Analyse, Topologie et Probabilités,

Aix-Marseille Université,
Avenue de l’escadrille Normandie-Niémen. 13397 Marseille, France
Abstract

In this article we give the optimal lower bound for the complexity function of a planar translation which induces an ergodic rotation of the torus . In addition, we give an explicit calculation of this complexity for the application , where is the golden mean.

Résumé

Nous proposons dans ce travail de minorer de manière optimale la fonction complexité associée à une translation du plan, qui induit une rotation ergodique du tore . De plus, nous donnons un calcul explicite de cette complexité pour l’application , où désigne le nombre d’or.

1 Introduction

Nous poursuivons dans ce travail, l’étude des interactions entre les systèmes dynamiques et les suites infinies avec un nombre fini de symboles. Nous nous concentrons principalement sur deux types de systèmes : les rotations du tore , et les nilsystèmes affines, qui sont des extensions de rotations du type . Ces systèmes sont particulièrement intéressants car ils interviennent dans des problèmes délicats d’arithmétique, que ce soit le problème de généralisation de l’algorithme des fractions continues à la dimension 2 pour les rotations du tore, ou celui de la répartition des suites mod pour les nilsystèmes affines.

Il est alors relativement naturel de vouloir conjuguer ces systèmes avec des échanges de morceaux du plan. L’existence d’une telle conjugaison est une question délicate, liée à la recherche de partitions génératrices, sur laquelle nous ne nous attarderons pas : il existe des échanges de morceaux conjugués aux translations [6], et aux nilsystèmes affines [1]. Les échanges de morceaux se font dans un cas par translation et dans l’autre de manière affine.

Pour chaque système, il peut exister de nombreux échanges de morceaux qui lui sont conjugués. Nous pouvons associer à chaque échange de morceaux une fonction complexité qui compte le nombre de morceaux dans le raffinement de la partition formée par les morceaux initiaux. Entre deux échanges de morceaux, nous privilégierons celui qui a la fonction complexité la plus petite à celui qui a les morceaux les plus réguliers. Empiriquement, son étude donne plus de résultats sur le comportement du système.

Par exemple, pour tout couple rationnellement indépendants, P. Arnoux, C. Mauduit, L. Shiokawa et J.-I. Tamura étudient dans [2, 3] des échanges de morceaux polygonaux par translation, conjugués aux rotations du tore . Ils arrivent à calculer explicitement la fonction complexité conjecturée par G. Rauzy dans [6], et trouvent pour tout entier : .

Cependant, pour certains couples , nous pouvons trouver des échanges de morceaux de complexité , dont le plus célèbre est celui qui échange les pièces du fractal de Rauzy. Bien que les morceaux soient à bords fractals, leurs échanges nous donnent beaucoup plus d’informations sur le système. Nous renvoyons à [4] pour mieux comprendre les interactions entre l’étude des suites infinies avec un nombre fini de symboles et les translations du cercle ou du tore.

Nous commençons par vérifier que cette complexité en est en fait optimale, puisque nous démontrons que tout échange de morceaux conjugué à une translation du plan est de complexité au moins . Cependant, dans une deuxième partie, nous verrons que les nilsystèmes affines se comportent différemment. En effet, pour un exemple bien choisi, la complexité d’un de ces systèmes est égale à la complexité de la rotation du cercle dont il est l’extension : .

2 Résultats principaux et notations

Soit une application mesurable du plan dans lui-même qui préserve la mesure de Lebesgue du plan et qui est -presque sûrement -périodique. C’est-à-dire

De telles applications induisent des applications du tore dans lui-même. Nous noterons la mesure de Lebesgue du tore et le système dynamique .

Un échange de morceaux du plan est dit adapté à l’application s’il vérifie les propriétés suivantes.

  1. Le système dynamique qu’il engendre est équivalent en mesure au système .

  2. Le sous-ensemble du plan est la réunion presque sûrement disjointe de morceaux mesurables (i.e. , ).

  3. La mesure de l’ensemble des points de tels qu’il existe un point de distinct de , vérifiant , est nulle.

  4. Pour tout point de , si , avec .

En particulier, avec cette définition, nous n’imposons pas aux morceaux d’être bornés.

Considérons par exemple l’application . L’échange des morceaux pour tout , sur lesquels agit l’application , si , est adapté à .

Pour chaque échange de morceaux adapté à , le codage de l’orbite des points nous permet de définir un langage de ; ainsi qu’un système dynamique symbolique . Nous noterons la fonction complexité du langage . Lorsque le système dynamique symbolique est conjugué en mesure au système dynamique , nous dirons que l’échange de morceaux est conjugué à . Nous reviendrons plus longuement sur ces différents objets dans la section 3.

Lorsqu’il existe un échange de morceaux conjugué à , nous pouvons définir la fonction complexité associée à l’application pour tout entier , par

Par le théorème de Krieger, lorsque le système est d’entropie nulle pour la mesure , la fonction complexité associée à l’application est bien définie.

Dans la section 4, nous minorons la fonction complexité associée à une translation du plan.

Théorème 2.1.

Si est une translation du plan , telle que soit ergodique, alors la fonction complexité associée à est bien définie et pour tout entier , elle est supérieure à .

Dans [6], G. Rauzy conjugue les rotations du tore avec des échanges de morceaux du plan. Donc, pour une translation du plan, qui induit une translation ergodique du tore, la première valeur de la fonction complexité est . D’autre part, la translation conjuguée à l’échange des pièces du fractal de Rauzy est de complexité . À l’heure actuelle, nous ne disposons que d’arguments constructifs pour majorer la complexité de toutes les translations du plan. Savoir si une translation du plan ergodique sur le tore est de complexité et si la complexité est atteinte pour tous les entiers par le même échange de morceaux, est une question encore ouverte, et à laquelle il semble très difficile d’apporter une réponse.

Dans la section 5, nous construirons une suite d’échanges de morceaux, conjugués à un nilsystème affine bien choisi, dont la complexité décroît. Nous reprenons des idées utilisées par G. Rauzy, pour construire ce qui est appelé aujourd’hui le fractal de Rauzy. Mais contrairement à sa construction, la nôtre ne converge pas vers un «échange de morceaux bornés limite» (cf. remarque 5). Une des conséquences de ce résultat est qu’il n’y a donc pas, a priori, d’échanges de morceaux bornés privilégiés du point de vue de la complexité pour s’intéresser aux nilsystèmes affines.

Théorème 2.2.

Notons l’application définie par

(1)

Pour tout entier fixé, il existe un échange de morceaux conjugué à tel que pour tout entier , . C’est-à-dire, pour tout entier , .

3 Objets symboliques

Nous reprenons les notations de l’introduction. Soit une application mesurable du plan -presque sûrement -périodique et qui préserve la mesure de Lebesgue. Fixons un échange de morceaux conjugué à .

Pour -presque tout point , désigne la suite d’éléments de dont le -ième terme est si . Il est relativement clair que cette application de codage est mesurable. Nous noterons l’ensemble des suites obtenues de cette manière et la mesure de probabilité sur qui provient de la mesure de Lebesgue via (c’est-à-dire pour tout ensemble mesurable , ). Le système dynamique symbolique associé à est le triplet , où désigne le décalage classique. De cette manière, il est clair que le système est un facteur mesuré du système et que l’application de codage est l’application facteur associée. Les codages ainsi obtenus sont les codages «naturels» décrits par V. Berthé, S. Ferenczi et L.Q. Zamboni dans [4].

Notons l’ensemble des mots à valeur dans finis ou infinis. La longueur d’un mot sera notée . Soient et . Le mot est un facteur de s’il existe un entier tel que pour tout entier , . Un langage est un sous-ensemble de . Il est dit factoriel si pour tout mot du langage, tout facteur de appartient au langage. Nous noterons le langage factoriel engendré par un langage . Nous définissons le langage associé à l’échange de morceaux , par . La fonction complexité associée au langage est définie pour tout entier par :

Ces définitions ne sont sûrement pas les meilleures pour une étude générale des applications du tore, mais elles suffiront amplement pour s’intéresser aux classes de systèmes très particulières que sont les translations et les nilsystèmes affines.

Nous rappelons également le résultat suivant de P. Halmos qui permet de déterminer si le système symbolique associé à un échange de morceaux adapté à est conjugué en mesure au système .

Proposition 3.1 (P. Halmos).

Soit une application du plan -presque sûrement -périodique, qui préserve la mesure de Lebesgue et telle que le système soit ergodique. Soit un échange de morceaux du plan adapté à . Alors, les assertions suivantes sont équivalentes.

  1. L’échange de morceaux est conjugué à .

  2. Pour toute suite ,

  3. La mesure de Lebesgue de l’ensemble tel qu’il existe tel que est nulle.

Proposition 3.2.

Soit un système dynamique défini sur le tore . Fixons un relèvement de défini dans le plan et supposons qu’il existe un échange de morceaux conjugué à . Nous supposons, de plus, que le système est totalement ergodique (c’est-à-dire que toutes ses puissances sont ergodiques). Alors, la fonction complexité associée à existe et croît strictement. En particulier, pour tout entier elle est supérieure ou égale à .

de la proposition 3.2.

Fixons un système satisfaisant les hypothèses de la proposition. Supposons alors qu’un des échanges de morceaux conjugués à ait une -ième complexité égale à et une -ième complexité encore égale à . Cela veut donc dire que la partition initiale se raffine en morceaux , , , lorsque l’on s’interesse à ses -ièmes pré-images. Puisque la -ième complexité est encore égale à , cela signifie que la partition , ne se raffine pas. Par ergodicité, l’application si définit un facteur mesuré. Or, puisque le système est totalement ergodique, il n’admet pas de facteur fini. La fonction est donc strictement croissante.

On conclut alors en remarquant qu’il faut échanger au moins deux morceaux pour conjuguer le système ergodique du tore avec le système symbolique engendré par l’échange de morceaux. ∎

4 Preuve du théorème 2.1

Lemme 4.1.

Si est une translation du plan telle que soit ergodique, alors .

Preuve du lemme 4.1.

Fixons deux réels et tels que la translation soit ergodique sur le tore (c’est-à-dire pour tout couple d’entiers non-nuls simultanément, ).

Supposons que l’application soit conjuguée à un échange de deux morceaux et , de mesure strictement positive (respectivement et ). Puisque , et que , on a immédiatement . Par le théorème ergodique de Birkhoff et de récurrence de Poincaré, il existe un point récurent de , tel que

Traduisons maintenant la condition de récurrence imposée sur le point . Pour tout entier :

Puisque le point est récurent, il existe une sous-suite croissante d’entiers telle que converge vers . Ce qui nous amène aux équations :

Nous trouvons donc :

En remarquant que les quantités et sont non nulles (sinon ou serait entier), nous trouvons alors que , ce qui est absurde. ∎

Proposition 4.2.

Si est une translation du plan telle que soit ergodique, alors .

Preuve de la proposition 4.2.

Fixons deux réels et tels que la translation soit ergodique sur le tore , et un échange de trois morceaux conjugué à , tel que .

Par la proposition 3.2, la fonction complexité est une fonction strictement croissante. De plus, nous avons vu dans le lemme 4.1 que . Il nous faut donc montrer qu’il est impossible d’avoir un échange de morceaux conjugué à tel que et .

Supposons qu’il existe , un échange de trois morceaux , et de mesures respectives , et , adapté à , tel que . Nécessairement, un seul des trois morceaux se raffine quand on s’interesse à la pré-image de la partition formée par les trois morceaux , et . Supposons donc que le morceau se raffine en deux morceaux et , de mesure et . En reprenant les arguments de la preuve du lemme 4.1, nous pouvons montrer qu’il existe six entiers , , , , et , tels que :

(2)

Puisque les morceaux et ne se raffinent pas, il existe tels que et . Remarquons immédiatement que par ergodicité, et puisque préserve la mesure, il est impossible que , ou que . Quitte à renuméroter et , ou et , il n’y a que trois cas possibles :

Nous allons étudier chacun des cas et vérifier qu’ils mènent tous à une absurdité. Pour cela, nous allons traduire les répercussions de ces inclusions sur les valeurs de , , et ; en utilisant le fait que l’application préserve la mesure de Lebesgue.

Premier cas. Puisque , alors . De plus, . De même, et . Puisque , alors nécessairement :

Le système 2 devient alors :

Comme nous l’avons vu dans la preuve du lemme 4.1, les réels et sont alors rationnellement dépendants et le système n’est donc pas ergodique. C’est absurde.

Deuxième cas. L’étude des inclusions nous amène aux conditions suivantes :

Donc et le système 2 devient alors :

Comme précédemment, cela nous amène à une absurdité.

Troisième cas. L’étude des inclusions impose les conditions suivantes :

Donc et le système 2 s’écrit :

Encore comme précédemment, cela nous amène à une contradiction. ∎

Preuve du théorème 2.1.

Fixons deux réels et tels que la translation soit ergodique sur le tore , ainsi qu’un échange de morceaux conjugué à . Fixons également un entier jusqu’auquel le résultat du théorème est vrai et montrons que le résultat persiste jusqu’au cran .

Comme dans la preuve de la proposition 4.2, il y a des situations trivialement dégénérées. Supposons par la suite que pour tout entier , , et montrons qu’il est impossible que soit égale à .

Le -ième raffinement des morceaux initiaux est donc composé de morceaux notés de mesure . Un seul de ces morceaux se raffine quand on s’interesse à la -ième pré-image de la partition formée par les trois morceaux initiaux. Supposons donc que le morceau se raffine en deux morceaux et , de mesure et . Comme précédemment, pour tout , il existe tel que .

Nous pouvons utiliser les arguments du lemme 4.1 pour monter qu’il existe des entiers et tels que :

(3)

Quitte à réindexer les indices , deux cas peuvent alors se produire :

Premier cas. C’est le cas le plus simple : une seule zone peut rentrer dans la zone . Quitte à réindexer les indices, on peut voir que puisque le système est ergodique, il n’est pas possible que la réunion de certaines zones soit envoyée dans elle-même. Donc , , , et . Ce qui nous amène aux contraintes suivantes sur les coefficients :

Soit encore : . Le système 3 se réécrit donc :

et . On conclut alors comme la preuve de la proposition 4.2.

Deuxième cas. C’est plus compliqué. En effet, deux zones peuvent rentrer dans la zone . Comme dans la preuve de la proposition 4.2, quitte à réindexer les indices, deux sous-cas peuvent se produire.

Premier sous-cas :


Deuxième sous-cas :

Premier sous-cas. Les conditions sur les coefficients sont :

et .
Posons , , , et . Le système 3 devient donc :

On conclut alors comme précédemment.

Deuxième sous-cas. Les conditions sur les coefficients sont :

En posant alors , , , et , le système 3 s’écrit :

On conclut encore comme précédemment. ∎

5 Preuve du théorème 2.2

Notons la substitution de Fibonacci définie par

(4)

La preuve du théorème se déduit des deux résultats suivants.

Proposition 5.1.

Soit un échange de deux morceaux et conjugué à , défini par

En notant la projection de dans définie par , nous supposons de plus l’existence d’un réel tel que et .

Alors, il existe alors un échange de deux morceaux conjugué à , de même nature que , tel que :

(5)
Proposition 5.2.

Il existe , un échange de deux morceaux bornés, connexes et simplement connexes et conjugué à . Les mesures de et sont respectivement et . L’application est définie par :

De plus, il existe un réel tel que :

Preuve de la proposition 5.1.

Nous allons construire explicitement l’échange de morceaux . Pour cela, nous définissons une application par

, et sont des paramètres réels que nous fixerons plus tard. L’application est bijective et son inverse est :

Nous posons alors :

Nous considérons l’application définie a priori de dans , par

La suite de la preuve est de vérifier que cet échange de morceaux convient pour certaines valeurs des paramètres , et .

L’application est à valeur dans . Commençons par fixer un élément de . Il existe donc tel que . Nous allons montrer que .

Nous allons vérifier qu’il est possible de fixer les paramètres , et , afin que soit égal à . Calculons :

Nous voulons donc que l’équation suivante soit satisfaite :

Soit encore :

Nous fixons donc pour toute la suite de cette preuve :

d’inverse .

Soit maintenant . Il existe donc tel que

Nous allons montrer que .