Dimension de Heitmann des treillis distributifs et des anneaux commutatifs

Dimension de Heitmann des treillis distributifs et des anneaux commutatifs

Thierry Coquand ( ) Henri Lombardi ( ), Claude Quitté ( )   Chalmers, University of Göteborg, Sweden, email: coquand@cs.chalmers.se  Laboratoire de Mathématiques de Besançon, CNRS UMR 6623, Université Bourgogne Franche-Comté, 25030 BESANCON cedex, FRANCE, email: henri.lombardi@univ-fcomte.fr, http://hlombardi.free.fr.   Laboratoire de Mathématiques, SP2MI, Boulevard 3, Teleport 2, BP 179, 86960 FUTUROSCOPE Cedex, FRANCE, email: quitte@math.univ-poitiers.fr
Version corrigée: Octobre 2017.
Article original: Publications mathématiques de Besançon.
Algèbre et Théorie des Nombres.
(2006), pages 57–100.
Résumé

Nous étudions la notion de dimension introduite par Heitmann dans son article remarquable de 1984 [Hei84], ainsi qu’une notion voisine, seulement implicite dans ses preuves. Nous développons ceci d’abord dans le cadre général de la théorie des treillis distributifs et des espaces spectraux. Nous obtenons ensuite des versions constructives de certains théorèmes importants d’algèbre commutative. Les versions constructives de ces théorèmes s’avèrent en fin de compte plus simples, et parfois plus générales, que les versions classiques abstraites correspondantes.


MSC 2000: 13C15, 03F65, 13A15, 13E05


Mots clés : Dimension de Krull, Dimension de Heitmann, Bord d’une sous variété, Théorème Stable range de Bass, Théorème Splitting off de Serre, Théorème de Forster-Swan, Théorème de Kronecker, Nombre de générateurs d’un module, Mathématiques constructives.


Key words: Krull dimension, Boundary of a subvariety, Constructive Mathematics, Kronecker theorem, Heitmann dimension, Forster-Swan Theorem, Serre’s Splitting Off, Bass cancellation theorem.

Avertissement

L’article original est paru aux Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et Théorie des Nombres. (2006), pages 57–100.

Nous corrigeons ici un certain nombre d’erreurs, répertoriées en post-scriptum à la fin du texte. Nous donnons aussi des références bibliographiques supplémentaires.

Signalons enfin que les sections 4 à 7 ont fait, bien après la parution de l’article présent, l’objet d’un exposé détaillé dans l’ouvrage:

Lombardi H. & Quitté C. Algèbre Commutative. Méthodes constructives.
Calvage&Mounet (2011). Traduction anglaise chez Springer: Commutative Algebra: Constructive Methods. (2015)

Introduction

Nous étudions la notion de dimension introduite par Heitmann dans son article de 1984 [Hei84], ainsi qu’une notion voisine, seulement implicite dans ses preuves. Nous développons ceci d’abord dans le cadre général de la théorie des treillis distributifs et des espaces spectraux. Nous appliquons ensuite cette problématique dans le cadre de l’algèbre commutative.

Dans la dualité entre treillis distributifs et espaces spectraux, le spectre de Zariski d’un anneau commutatif correspond (comme l’a indiqué Joyal [joy]) au treillis des idéaux qui sont radicaux d’idéaux de type fini. Nous montrons que l’espace spectral défini par Heitmann pour sa notion de dimension correspond au treillis formé par les idéaux qui sont radicaux de Jacobson d’idéaux de type fini. Ceci nous permet d’obtenir une définition constructive élémentaire de la dimension définie par Heitmann (que nous notons ). Nous introduisons une autre dimension, que nous appelons dimension de Heitmann (et que nous notons ), qui est meilleure en ce sens que et qu’elle permet des preuves par récurrence naturelles.

Nous obtenons alors des versions constructives de certains théorèmes classiques importants, dans leur version non noethérienne (en général due à Heitmann).

Les versions constructives de ce ces théorèmes s’avèrent en fin de compte plus simples, et parfois plus générales, que les versions classiques abstraites correspondantes.

En particulier nous rappelons les versions non noethériennes des théorèmes de Swan et de Serre (splitting off) obtenues récemment pour la première fois dans [clq] et [DQ].

Naturellement, le principal avantage que nous voyons dans notre traitement est son caractère tout à fait élémentaire. En particulier nous n’utilisons pas d’hypothèses non nécessaires comme l’axiome du choix et le principe du tiers exclu, inévitables pour faire fonctionner les preuves classiques antérieures.

Enfin, le fait de s’être débarrassé de toute hypothèse noethérienne est aussi non négligeable, et permet de mieux voir l’essence des choses.

En conclusion cet article peut être vu pour l’essentiel comme une mise au point constructive de la théorie des espaces spectraux via celle des treillis distributifs, avec une insistance particulière sur la dimension de Heitmann et quelques applications marquantes en algèbre commutative.

Remarque. Nous avons résolu de la manière suivante un problème de terminologie qui se pose en rédigeant cet article. Le mot dualité apparaît a priori dans le contexte des treillis distributifs avec deux significations différentes. Il y a d’une part la dualité qui correspond au renversement de la relation d’ordre dans un treillis. D’autre part il y a la dualité entre treillis distributifs et espaces spectraux, qui correspond à une antiéquivalence de catégorie. Nous avons décidé de réserver dualité pour ce dernier usage. Le terme treillis dual a donc été systématiquement remplacé par treillis opposé. De même on a remplacé la notion duale par la notion renversée ou par la notion opposée, et par dualité par par renversement de l’ordre.

1 Treillis distributifs

Les axiomes des treillis distributifs peuvent être formulés avec des égalités universelles concernant uniquement les deux lois et et les deux constantes (l’élément minimum du treillis distributif ) et (le maximum). La relation d’ordre est alors définie par . On obtient ainsi une théorie purement équationnelle, avec toutes les facilités afférentes. Par exemple on peut définir un treillis distributif par générateurs et relations, la catégorie comporte des limites inductives (qu’on peut définir par générateurs et relations) et des limites projectives (qui ont pour ensembles sous-jacents les limites projectives ensemblistes correspondantes).

Un ensemble totalement ordonné est un treillis distributif s’il possède un maximum et un minimum. On note un ensemble totalement ordonné à éléments, c’est un treillis distributif si . Le treillis est le treillis distributif libre à 0 générateur, et celui à un générateur.

Pour tout treillis distributif , si l’on remplace la relation d’ordre par la relation symétrique on obtient le treillis opposé avec échange de et (on dit parfois treillis dual).

1.1 Idéaux, filtres

Si est un morphisme de treillis distributifs, est appelé un idéal de . Un idéal de est une partie de soumise aux contraintes suivantes:

(1)

(la dernière se réécrit ). Un idéal principal est un idéal engendré par un seul élément : il est égal à

(2)

L’idéal , muni des lois et de est un treillis distributif dans lequel l’élément maximum est . L’injection canonique n’est pas un morphisme de treillis distributifs parce que l’image de n’est pas égale à . Par contre l’application surjective est un morphisme surjectif, qui définit donc comme une structure quotient.

La notion opposée à celle d’idéal est la notion de filtre. Le filtre principal engendré par est noté .

L’idéal engendré par une partie de est . En conséquence tout idéal de type fini est principal.

Si et sont deux parties de on note

(3)

Alors l’idéal engendré par deux idéaux et est égal à

(4)

L’ensemble des idéaux de forme lui même un treillis distributif pour l’inclusion, avec pour inf de et l’idéal:

(5)

Ainsi les opérations et définies en (3) correspondent au sup et au inf dans le treillis des idéaux.

On notera le filtre de engendré par le sous ensemble . Quand on considère le treillis des filtres il faut faire attention à ce que produit le renversement de la relation d’ordre: est le inf de et , tandis que leur sup est égal à .

Le treillis quotient de par l’idéal , noté est défini comme le treillis distributif engendré par les éléments de avec pour relations, les relations vraies dans d’une part, et les relations pour les d’autre part. Il peut aussi être défini par la relation de préordre

Ceci donne

et dans le cas du quotient par un idéal principal on obtient avec le morphisme de vers .

Transporteur, différence

Par analogie avec l’algèbre commutative, si est un idéal et une partie de on notera

(6)

Si est l’idéal engendré par on a , on l’appelle le transporteur de dans .

On note aussi l’idéal .

La notion opposée est celle de filtre différence de deux filtres

(7)

On note aussi le filtre .

Radical de Jacobson

Un idéal d’un treillis distributif non trivial (i.e. distinct de ) est dit maximal si , c’est-à-dire si et ou .

Il revient au même de dire qu’il s’agit d’un idéal maximal parmi les idéaux stricts.

En mathématiques classiques on a le lemme suivant.

Lemme 1.1

Dans un treillis distributif l’intersection des idéaux maximaux est égale à l’idéal

On l’appelle le radical de Jacobson de . On le note .
Plus généralement l’intersection des idéaux maximaux contenant un idéal strict est égale à l’idéal

(8)

On l’appelle le radical de Jacobson de l’idéal . En particulier:

(9)

  • La deuxième affirmation résulte de la première en passant au treillis quotient . Voyons la première. On montre que est en dehors d’au moins un idéal maximal si et seulement si tel que . Si c’est le cas, un idéal maximal qui contient (il en existe puisque ) ne peut pas contenir car il contiendrait . Inversement, si est un idéal maximal ne contenant pas , l’idéal engendré par et contient . Or cet idéal est l’ensemble des éléments majorés par au moins un parcourt .

En mathématiques classiques un treillis distributif est appelé treillis de Jacobson si tout idéal premier est égal à son radical de Jacobson. Comme tout idéal est intersection des idéaux premiers qui le contiennent, cela implique que tout idéal est égal à son radical de Jacobson.

En mathématiques constructives on adopte les définitions suivantes.

Définitions 1.2

(radical de Jacobson, treillis faiblement Jacobson)

  1. Si est un idéal de son radical de Jacobson est défini par l’égalité (on ne fait pas l’hypothèse que ). On notera pour .

  2. Un treillis distributif est appelé un treillis faiblement Jacobson si tout idéal principal est égal à son radical de Jacobson, c’est-à-dire encore

    (10)

On vérifie sans difficulté que est un idéal et que .

1.2 Quotients

Un treillis distributif quotient de est donné par une relation binaire sur vérifiant les propriétés suivantes:

(11)
Proposition 1.3

Soit un treillis distributif et un couple de parties de . On considère le quotient de défini par les relations pour les et pour les . Alors on a si et seulement si il existe une partie finie de et une partie finie de telles que:

(12)

Nous noterons ce treillis quotient

Idéaux dans un quotient

Le fait suivant résulte des égalités (1), (3), (4) et (5).

Fait 1.4

Soit un treillis quotient.

  • L’image réciproque d’un idéal de par est un idéal de , ceci donne un morphisme pour et (mais pas nécessairement pour et ).

  • L’image d’un idéal de par est un idéal de , ceci donne un homomorphisme surjectif de treillis.

  • Un idéal de est de la forme si et seulement si il est saturé pour la relation .

  • Résultats analogues pour les filtres.

Notez qu’en algèbre commutative, le morphisme de passage au quotient par un idéal ne se comporte pas aussi bien pour les idéaux dans le cas d’une intersection puisqu’on peut très bien avoir .

Le lemme suivant donne quelques renseignements complémentaires pour les quotients par un idéal et par un filtre.

Lemme 1.5

Soit un idéal et un filtre de

  1. Si alors la projection canonique établit une bijection croissante entre les idéaux de contenant et les idéaux de . La bijection réciproque est fournie par . En outre si est un idéal de , on obtient .

  2. Si alors la projection canonique établit une bijection croissante entre les idéaux de vérifiant et les idéaux de .

Remarque. On notera que n’est pas une opération fonctorielle. La deuxième affirmation du point 1 du lemme précédent, qui admet une preuve constructive directe, s’explique facilement en mathématiques classiques par le fait que, dans le cas très particulier du quotient par un idéal, les idéaux maximaux de contenant correspondent par aux idéaux maximaux de contenant .

Recollement de treillis quotients

En algèbre commutative, si et sont deux idéaux d’un anneau on a une suite exacte de -modules (avec et des homomorphismes d’anneaux)

qu’on peut lire en langage courant: le système de congruences , admet une solution si et seulement si et dans ce cas la solution est unique modulo . Il est remarquable que ce théorème des restes chinois se généralise à un système quelconque de congruences si et seulement si l’anneau est arithmétique ([ACMC, Théorème XII-1.6]), c’est-à-dire si le treillis des idéaux est distributif (le théorème des restes chinois contemporain concerne le cas particulier d’une famille d’idéaux deux à deux comaximaux, et il fonctionne sans hypothèse sur l’anneau de base).

D’autres épimorphismes de la catégorie des anneaux commutatifs sont les localisations. Et il y a un principe de recollement analogue au théorème des restes chinois pour les localisations, extrêmement fécond (le principe local-global).

De la même manière on peut récupérer un treillis distributif à partir d’un nombre fini de ses quotients, si l’information qu’ils contiennent est suffisante. On peut voir ceci au choix comme une procédure de recollement (de passage du local au global), ou comme une version du théorème des restes chinois pour les treillis distributifs. Voyons les choses plus précisément.

Définition 1.6

Soit un treillis distributif, (resp. ) une famille finie d’idéaux (resp. de filtres) de . On dit que les idéaux recouvrent si . De même on dit que les filtres recouvrent si .

Pour un idéal nous écrivons comme abréviation pour .

Fait 1.7

Soit un treillis distributif, une famille finie d’idéaux principaux () de et .

  1. Si est une famille d’éléments de telle que pour chaque on a , alors il existe un unique modulo vérifiant: .

  2. Notons , , et les projections canoniques. Si les recouvrent , est la limite projective du diagramme (voir la figure ci-après)

  3. Soit maintenant une famille finie de filtres principaux, notons , , et les projections canoniques. Si les recouvrent , est la limite projective du diagramme .

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