Corps différentiels et flots géodésiques I

Corps différentiels et flots géodésiques I :
Un critère dynamique d’orthogonalité aux constantes pour les -variétés réelles

Abstract.

On présente un critère d’orthogonalité aux constantes pour les -variétés réelles absolument irréductibles s’appuyant sur la dynamique du flot réel associé . Plus précisément, on montre que s’il existe des parties compactes de , Zariski-dense dans telle que la restriction du flot à est topologiquement faiblement mélangeante, alors le type générique de est orthogonal aux constantes.

Ce critère sera appliqué dans un article ultérieur à l’étude modèle-théorique du flot géodésique sur les variétés algébriques réelles munies d’une métrique riemannienne algébrique à courbure strictement négative.

Abstract.

We present a criterion of orthogonality to the constants for absolutely irreducible real -varieties relying on the topological dynamic of the associated real analytic flow. More precisely, we prove that if there exists Zariski-dense invariant compact region of the smooth locus of real points of where the dynamic of the real analytic flow is topologically weakly mixing, then the generic type of is orthogonal to the constants.

This criterion will be applied in a second part of this article to the model-theoretic study of the geodesic flow of compact real algebraic Riemannian manifolds with negative curvature.

Dans son article [Poi95], Poizat décrit les corps différentiellement clos comme "les compagnons de route de la théorie des modèles". Une première raison pour cela est qu’ils présentent d’une part un caractère modéré (leur théorie est -stable) et d’autre part une structure suffisamment riche pour exhiber de multiples pathologies possibles dans ce contexte. Par exemple, il a fallu attendre les résultats de Shelah sur les modèles premiers dans une théorie -stable [She79] pour démontrer l’existence, pour tout corps différentiel, d’une clôture différentielle; le cadre différentiel n’offrant aucune simplification par rapport au cas général. A ce sujet, Rosenlicht [Ros74] avait remarqué que cette clôture différentielle n’est pas toujours minimale, c’est-à-dire qu’elle peut contenir des sous-extensions différentielles strictes, elles-mêmes différentiellement closes.

Tout en s’appuyant sur l’étude des théories -stables et de la théorie géométrique de la stabilité, l’étude des corps différentiellement clos s’est progressivement enrichie en se nourrissant des développements de l’algèbre (commutative) différentielle et de ses avatars géométriques. Un exemple impressionnant d’une telle interaction est la preuve de Hrushovski [Hru96] de la conjecture de Mordell-Lang pour les corps de fonctions de caractéristique , s’appuyant sur le yoga des théories stables et sur les résultats de Buium [Bui93] concernant l’algèbre différentielle des variétés abéliennes. Parallèlement, Pillay [Pil98] a proposé une reformulation, puis une généralisation, de la théorie de Galois différentielle à la Kolchin dans le cadre modèle-théorique des groupes de liaison.

Plus récemment, les applications de la théorie des modèles des corps différentiellement clos se sont orientées vers l’étude d’équations différentielles algébriques "concrètes" afin d’obtenir des résultats d’indépendance algébrique sur leurs solutions et leurs dérivées. Les travaux de Nagloo et Pillay [NP14] sur les équations de Painlevé, ainsi que ceux de Freitag et Scanlon [FS14] sur l’équation minimale d’ordre 3 satisfaite par la fonction sont deux illustrations de cette tendance.

Cet article constitué de deux parties a pour objet l’étude modèle-théorique d’équations différentielles algébriques issues de la mécanique classique.

Le statut de compagnon de route accordé par Poizat aux corps différentiellement clos doit être entendu dans un sens très large, ne se limitant pas à l’étude de la clôture différentielle : les résultats de Hrushovski, Pillay, Nagloo, Freitag et Scanlon, évoqués dans les paragraphes précédents, s’appuient tous sur des idées motrices du développement de la théorie géométrique de la stabilité, que nous rappelons brièvement.

Tout d’abord, on sait depuis Shelah (voire Morley) que de nombreuses propriétés d’une théorie de rang fini sont reflétées par les objets minimaux vivant au sein de cette théorie (les ensembles fortement minimaux et les types minimaux). L’étude de ces types minimaux a conduit Zilber à isoler certaines propriétés de la notion de dimension qui leur est naturellement associée et à les classifier selon ces dernières. De façon informelle, la notion de dimension se comporte ou bien comme la cardinalité dans un ensemble infini sans structure, ou bien comme la dimension linéaire dans un espace vectoriel, ou bien comme le degré de transcendance dans un corps algébriquement clos. On dit alors respectivement que le type minimal est trivial, localement modulaire (non trivial) ou non localement modulaire. La perspective apportée par cette trichotomie est caractéristique de l’approche modèle-théorique des théories stables [HZ96] et en particulier des corps différentiellement clos.

Une autre idée centrale de la théorie des modèles est l’étude des relations entre deux ensembles définissables (ou deux types) d’une même théorie stable ; les cas extrêmes étant respectivement la (presque)-internalité d’un type dans un autre et l’orthogonalité entre deux types stationnaires. Intuitivement, deux types stationnaires sont orthogonaux, lorsqu’ils sont sans relation dans la théorie et le demeurent après toute extension des paramètres, ou autrement dit après tout changement de base.

L’un des résultats les plus significatifs, notamment pour les applications, de la théorie des modèles des corps différentiellement clos est la description par Hrushovski et Sokolovic dans [HS96] des types non localement modulaires dans un corps différentiellement clos comme l’ensemble des types minimaux non-orthogonaux au type générique du corps des constantes . Ce résultat décrit ainsi le corps des constantes d’un corps différentellement clos comme l’unique ensemble fortement minimal non localement modulaire, modulo non-orthogonalité.

Dans cet article, on s’intéresse aux interactions entre cette approche modèle-théorique des équations différentielles algébriques et des méthodes classiques d’étude des équations différentielles ordinaires. Nos résultats s’appliquent notamment au flot géodésique associé à certaines variétés algébriques réelles, munies d’une structure riemannienne algébrique. Dans le cas d’une sous-variété de munie de la métrique riemannienne induite par la métrique euclidienne usuelle sur , ils prennent la forme suivante :

Théorème A.

Soit un sous-ensemble algébrique réel de l’espace euclidien compact, connexe et lisse.

Le système d’équations différentielles décrivant le mouvement d’un point matériel dans l’espace euclidien , d’énergie fixée, astreint à se déplacer sans frottement le long de la sous-variété est un système irréductible d’équations différentielles algébriques.

Si la restriction à de la métrique euclidienne sur est à courbure sectionnelle strictement négative, alors le type générique du système est orthogonal aux constantes.

Ce théorème peut être entendu comme une version modèle-théorique des résultats classiques de "non-intégrabilité" pour les équations géodésiques unitaires en courbure strictement négative [Ano67]. Il est vraisemblable qu’une forme plus forte de cet énoncé est en fait valable et que le type générique (des équations différentielles algébriques) du flot géodésique d’une variété riemannienne algébrique réelle compacte à courbure sectionnelle strictement négative est un type minimal. Malheuresement, ce résultat semble hors d’atteinte par les méthodes développées dans ce texte.

Dans [NP14], Nagloo et Pillay établissent que l’ensemble définissable associé aux équations de Painlevé (à paramètres génériques) est un ensemble fortement minimal trivial. De même, Freitag et Scanlon montrent dans [FS14] que l’ensemble défini par l’équation différentielle minimale d’ordre vérifiée par la fonction est fortement minimal et trivial. Dans ces deux cas, leurs démonstrations s’appuient sur des propriétés spécifiques des solutions des équations différentielles considérées, établies respectivement par Umemura et Watanabe [UW97] ainsi que Nishioka [Nis89], qui n’admettent pas d’analogue pour les équations différentielles de la mécanique classique. Il nous a donc fallu développer un critère d’orthogonalité aux constantes qui soit applicable aux équations géodésiques d’une sous-variété algébrique de .

Comme toutes les équations différentielles (algébriques) issues de la mécanique classique, ces équations géodésiques sont définies sur le corps (muni de la dérivation triviale) et possèdent une structure hamiltonienne. Une première conséquence de cette structure hamiltonienne est l’existence d’une intégrale première rationnelle donnée par la conservation de l’énergie, qui permet de "témoigner" (de façon élémentaire) de la non-orthogonalité aux constantes. Lorsque nous étudierons ces systèmes hamiltoniens, nous nous restreindrons donc à travailler sur les lignes de niveaux de cette intégrale première, c’est-à-dire à énergie fixée (comme dans le Théorème A).

Pour les équations hamiltoniennes, on a une compréhension très précise de la dynamique réelle de leurs solutions que l’on décrit maintenant. Parmi les systèmes hamiltoniens, on trouve ceux qui sont complètement (algébriquement) intégrables, c’est-à-dire qui possèdent un système complet d’intégrales premières rationnelles en involution. C’est le cas, par exemple, des équations géodésiques de la sphère plongée dans (et plus généralement, de toute surface algébrique de révolution). Dans ce cas, la dynamique réelle est particulièrement simple car les orbites sont astreintes à se déplacer sur des tores invariants. Pour de petites pertubations d’un système hamiltonien completement intégrable, le théorème KAM (voir [Bos86]) montre que cette image dynamique est préservée pour le système perturbé en dehors des résonances. Néanmoins, en 1899 donc bien avant le théorème KAM, Poincaré [Poi57] avait déjà remarqué que pour certaines pertubations, la dynamique réelle au voisinage des résonances était de nature contraire – ergodique – et que ce caractère ergodique était la source de résultats de non-intégrabilité analytique pour le système considéré (voir aussi [MR99] pour une présentation moderne de ces résultats).

Le critère d’orthogonalité aux constantes sur lequel s’appuie notre démonstration du Théorème A est une variante modèle-théorique des arguments de non-intégrabilité à la Poincaré, reposant sur la complexité de la dynamique topologique réelle des équations différentielles considérées.

Théorème B.

Soient une variété absolument irréductible sur et un champ de vecteurs rationnel sur . On note le flot régulier réel de . Supposons qu’il existe une partie compacte de , Zariski-dense dans et invariante par le flot .

Si est faiblement topologiquement mélangeant alors le type générique de est orthogonal aux constantes.

Par définition, est la variété analytique réelle obtenue en retirant à les singularités de ainsi que les points où le champ de vecteurs rationnel n’est pas défini. Le champ de vecteurs induit alors un champ de vecteurs analytique sur et est le flot réel analytique de ce champ de vecteurs analytique. La restriction de ce flot à toute partie compacte invariante de est alors un flot complet. Ce flot est dit faiblement topologiquement mélangeant si tous ses produits sont topologiquement transitifs (voir la partie 3.2 pour des formulations équivalentes de cette condition).

On remarquera que nous nous sommes affranchis de l’hypothèse hamiltonienne et que le Théorème B traite plus généralement d’équations différentielles algébriques dont la dynamique réelle est suffisamment sauvage (faiblement mélangeante) sur des régions compactes invariantes Zariski-dense.

Le cas des équations géodésiques en courbure strictement négative est certes hamiltonien mais n’est pas obtenu par perturbation d’un système complètement intégrable. Aussi, le théorème KAM ne donne aucune information sur sa dynamique. Les travaux d’Anosov [Ano67] sur les flots géodésiques en courbure négative et de ses successeurs ([Cou04], [Dal99]) montrent en fait que sa dynamique est (au contraire des systèmes complètement intégrables) topologiquement mélangeante sur l’ensemble tout entier de ses points réels. En particulier, le Théorème A est une conséquence immédiate du Théorème B et de l’étude de la dynamique des flots géodésiques en courbure strictement négative.

Cet article et le suivant sont organisés de la manière suivante. Le premier article est consacré à la démonstration du Théorème B. Pour que ce texte soit accessible aussi bien aux théoriciens des modèles qu’aux spécialistes de la dynamique des équations différentielles, nous avons essayé de donner une présentation autonome des résultats que nous utilisons. La première partie est consacrée à une exposition des résultats classiques de théorie des modèles autour de l’orthogonalité aux constantes. La troisième partie se concentrera sur l’aspect dynamique de l’étude des équations différentielles et la preuve du Théorème B, tandis que la deuxième partie est consacrée au formalisme des -variétés et à la démonstration d’un critère d’orthogonalité aux constantes dans ce formalisme : ce dernier jouera un rôle "d’intermédiaire" entre les approches modèle théoriques et dynamiques des équations différentielles qui font l’objet des première et troisième partie.

Dans le second article, nous démontrons le Théorème A. Dans une première partie, nous étudierons les variétés algébriques réelles munies d’une structure riemannienne algébrique. Nous montrerons en particulier que sur une variété lisse compacte, l’ensemble des métriques algébrisables est dense dans l’espace des métriques muni de la topologie de la convergence uniforme pour les métriques et toutes leurs dérivées. Nous construirons ainsi une large classe d’exemples de variétés riemanniennes réelles algébriques à courbure strictement négative. Une seconde partie sera consacrée à la preuve du Théorème A et de ses généralisations. Pour cela, nous nous appuierons sur le Théorème B et sur les propriétés dynamiques des flots géodésiques en courbure strictement négative.

Les résultats de cet article constituent une partie de ma thèse de doctorat, réalisée sous la direction de Jean-Benoît Bost (Orsay) et de Martin Hils (Paris VII – Münster). Outre mes directeurs de thèse, je tiens à remercier Elisabeth Bouscaren et Zoe Chatzidakis pour leurs précieuses remarques sur le contenu présenté dans ce texte, lors des exposés que j’ai donnés à Paris VII et à Orsay.

Table des matières

1. Théorie des modèles des corps différentiels

Nous présentons les principaux outils de théorie de la stabilité qui concernent l’étude des types de rang fini dans une théorie stable. Le principal exemple qui nous intéresse est celui des équations différentielles ordinaires dans un corps différentiellement clos. Aussi, le contexte choisi est celui des théories -stables.

Dans la première section, nous rappelons la définition du rang de Lascar et sa relation avec le rang de Morley, avant de présenter la trichotomie pour les types minimaux. Dans la deuxième section, nous nous concentrons sur la notion d’orthogonalité entre types stationnaires. Nous montrons comment elle permet de construire un dévissage des types de rang fini en types minimaux. Enfin, dans la troisième section, nous exposons les résultats spécifiques aux corps différentiellement clos.

Le lecteur théoricien des modèles pourra se contenter de commencer directement par la deuxième partie de ce texte. Pour le lecteur plus novice avec la théorie des modèles, nous supposerons néanmoins une familiarité avec les résultats élémentaires de théories des modèles (formules, types, élimination des quantificateurs, élimination des imaginaires) et de théorie de la stabilité (rang et degré de Morley, déviation et indépendance, types définissables, base canonique d’un type). La lecture des chapitres 1-3 et 5-8 de [TZ12] est suffisante à la compréhension de cette partie.

1.1. Rang de Lascar et géométrie des types minimaux

On fixe un langage et une -théorie complète et -stable qui élimine les imaginaires.

Le rang de Lascar

Définition 1.1.1.

Soit un ensemble partiellement ordonné (par un ordre strict). On définit inductivement sur les ordinaux, le rang de fondation de l’ordre partiel :

  • pour tout .

  • s’il existe tel que et .

  • Si est un ordinal limite alors si pour tout .

On dit que est -rangé s’il existe un ordinal avec . On appelle alors rang de fondation de , l’ordinal

Notation 1.1.2.

On fixe un cardinal infini. Soit un modèle de . On dit qu’un ensemble de paramètres est petit si .

Pour les besoins de ce texte, on peut se restreindre au cas où est le cardinal dénombrable. Dans ce cas, les ensembles de paramètres petits sont simplement les ensembles finis.

Construction 1.1.3.

Soit un modèle -saturé de . Pour tout , on définit comme l’ensemble des couples est un ensemble de paramètres petit et est un type à paramètres dans .

On définit un ordre partiel sur en posant :

Le rang de fondation associé à cet ordre partiel est appelé rang de Lascar et noté pour . Si est un ensemble de paramètres petit et , on note .

Remarque 1.1.4.

Comme la théorie est -stable, si est un ensemble de paramètres petit alors on peut associer à tout type partiel au dessus de , un ordinal noté et appelé rang de Morley de [TZ12, Chapitre 5]

.

Proposition 1.1.5.

Le rang de Lascar ne dépend pas du modèle -saturé choisi. De plus, il vérifie les propriétés suivantes :

  • Pour tout ensemble de paramètres et tout type , . En particulier, tout type est rangé pour le rang de Lascar dans une théorie -stable.

  • Si et est un ensemble de paramètres tels que alors

Par construction, le rang de Lascar est le plus petit rang qui témoigne de la déviation. Comme le rang de Morley témoigne de la déviation dans une théorie -stable, la propriété suit. La propriété (ii) est conséquence de [TZ12, Exercice 8.6.5] pour les ordinaux finis.

Exemple 1.1.6.

Dans la théorie des corps algébriquement clos (et plus généralement dans toute théorie fortement minimale), le rang de Morley et le rang de Lascar coïncident [Pil96, Chapitre 1, Lemme 5.12].

Remarque 1.1.7.

En général, le rang de Lascar et le rang de Morley peuvent différer dans une théorie -stable. Dans l’article [HS99], Hrushovski et Scanlon montrent que ces deux rangs peuvent être différents pour la théorie des corps différentiellement clos.

Pour illustrer la remarque précédente, on donne un exemple immédiat d’une théorie -stable et d’un type pour lequel le rang de Morley et le rang de Lascar diffèrent.

Exemple 1.1.8.

Soient composé de relations unaires et la théorie dans le langage axiomatisée par : Les sont des ensembles infinis disjoints.

Assertion.

La théorie élimine les quantificateurs dans le langage .

L’assertion précédente se vérifie de façon immédiate à l’aide de la méthode du va-et-vient.

Soient un modèle de et un ensemble de paramètres. Par élimination des quantificateurs, on obtient la description suivante de :

  • Les types réalisés dans .

  • Un unique type non réalisé dans et vérifiant pour tout .

  • Pour tout , l’unique type générique de l’ensemble fortement minimal .

En particulier, si est dénombrable alors aussi. La théorie est donc une théorie -stable.

Assertion.

Notons . Le type vérifie et .

En effet, les seules extensions de à un ensemble de paramètres sont les types réalisés dans et . On en déduit que est un type stationnaire et .

Montrons que . Soit une formule. Par compacité, il existe tel que pour tout

On en déduit que est impliquée par une infinité de formules fortement minimales disjointes et donc que . Par continuité du rang de Morley, on en déduit que .

Réciproquement, pour tout ensemble de paramètres , tous les types différents de sont de rang de Morley . On en déduit que .

Types minimaux et prégéométrie

Notation 1.1.9.

Soient un modèle -saturé de et un ensemble de paramètres petit. On rappelle qu’un type est dit stationnaire s’il admet une unique extension non déviante à toute extension de paramètres . Pour toute extension de paramètres, on note l’unique extension non déviante de à .

Définition 1.1.10.

Soient un modèle de , un ensemble de paramètres et un type stationnaire. On dit que est minimal si .

Un type stationnaire est donc minimal si et seulement s’il est non algébrique et toutes ses extensions déviantes sont algébriques.

Construction 1.1.11.

Soit un modèle -saturé de , un ensemble de paramètres petit et un type stationnaire minimal.

Considérons l’ensemble des réalisations de dans le modèle de et l’opérateur de clôture défini pour tout par :

Lemme 1.1.12.

L’opérateur vérifie les propriétés suivantes :

  • Pour tout , et .

  • L’opérateur est monotone i.e dès que .

  • Pour tout et tout tels que , il existe fini tel que .

  • Pour tout et tous , on a

Les propriétés (i) à (iii) sont immédiates. La propriété (iv) est appelée propriété de l’échange est quant à elle spécifique aux types minimaux. C’est une simple conséquence de la propriété (ii) de la proposition 1.1.5 : pour tous , on a :

où la deuxième et la troisième équivalences utilisent l’additivité du rang de Lascar.

Définition 1.1.13.

Un couple est un ensemble et est un opérateur de clôture vérifiant les propriétés du lemme 1.1.12 est appelée une prégéométrie combinatoire.

Si est une prégéométrie combinatoire et est un sous-ensemble, l’opérateur de clôture défini pour par

définit une nouvelle prégéométrie combinatoire appelée prégéométrie combinatoire localisée en .

Définition 1.1.14.

Soient une prégéométrie combinatoire et . On appelle dimension de et on note , le cardinal d’une -base de , i.e le cardinal d’une famille qui est génératrice 1 et libre 2

Modularité et trivialité

Définition 1.1.15.

Soit un modèle -saturé de , un ensemble de paramètres petit et un type stationnaire minimal. On note la prégéométrie associée par la construction 1.1.11. On dit que :

  • Le type est modulaire si la prégéométrie est modulaire i.e. pour tout ,

  • Le type est localement modulaire s’il existe un ensemble de paramètres petit tel que la prégéométrie localisée soit modulaire.

  • Le type est trivial si la prégéométrie associée est dégénérée, i.e si pour tout sous-ensemble , on a

On dit que est non localement modulaire si n’est pas localement modulaire.

Exemple 1.1.16.

Soit un corps et un espace affine infini sur désigne la partie linéaire de . L’opérateur de clôture qui à un sous-ensemble , associe le plus petit sous-espace affine de contenant définit une prégéométrie . On vérifie facilement que cette prégéométrie est localement modulaire mais non-modulaire. [Pil96, Chapitre 2, Exemple 1.7]

La propriété de modularité locale est donc en général plus faible que la propriété de modularité.

Théorème 1.1.17 (Zilber,Hrushvoski).

Soit un modèle -saturé de , un ensemble de paramètres et un ensemble -définissable fortement minimal dont le type générique est localement modulaire.

  • La structure induite par sur n’interprète aucun corps infini.

  • Le type est trivial si et seulement si la structure induite par sur n’interprète aucun groupe infini.

La propriété (i) est conséquence du fait que tout corps interprétable dans une théorie -stable est algébriquement clos [Poi01, Théorème 3.1] et qu’un ensemble fortement minimal interprétant un corps algébriquement clos est non localement modulaire [Pil96, Chapitre 2, Proposition 2.6]. La propriété (ii) est donnée par [Pil96, Chapitre 5, Théorème 1.1].

Remarque 1.1.18.

Le théorème 1.1.17 est valide dans le cadre plus général des types minimaux (voir [Pil96]). Sa formulation est néanmoins légèrement plus complexe car la notion de structure induite sur l’ensemble des réalisations d’un type est plus subtile que celle de structure induite sur un ensemble définissable.

Remarque 1.1.19.

La conjecture de trichotomie consiste à affirmer que la propriété (i) est équivalente à la propriété “être localement modulaire”. Elle a été réfutée par Hrushovski dans [Hru93] en exhibant un ensemble fortement minimal non localement modulaire qui n’interprète aucun groupe infini.

Néanmoins, cette conjecture reste valable dans de nombreux contextes parmi lesquels on trouve les géométries de Zariski [HZ96] et en particulier les corps différentiellement clos [HS96].

1.2. Orthogonalité dans une théorie -stable

On adopte les mêmes notations que dans la partie précédente. On fixe un langage, une -théorie complète et -stable qui élimine les imaginaires et un cardinal infini.

Orthogonalité et principe de reflexivité de Shelah

Notation 1.2.1.

Soient , des uplets de et un ensemble de paramètres petit, on notera pour désigner que et sont indépendants au dessus de , c’est-à-dire que est une extension non-déviante de .

Cette relation vérifie les propriétés usuelles d’une relation d’indépendance [TZ12, Théorème 8.5.5]. En particulier, elle est symétrique, i.e. si et seulement si .

Définition 1.2.2.

Soient un modèle -saturé de , un ensemble de paramètres petit et deux types sur . On dit que et sont faiblement orthogonaux et on note si pour toutes réalisations de et respectivement, on a .

Par symétrie de la relation d’indépendance dans une théorie -stable, la notion d’orthogonalité faible est une relation symétrique.

Définition 1.2.3.

Soient un modèle -saturé de , des ensembles de paramètres petits, et deux types stationnaires. On dit que et sont orthogonaux et on note si pour tout ensemble de paramètres , les extensions non-déviantes respectives et de et à sont faiblement orthogonales.

Notation 1.2.4.

Soient deux types stationnaires. On appelle produit tensoriel de et , le type complet à paramètres dans

réalise et réalise l’unique extension non déviante de à . De même, pour tout , on note le produit tensoriel de avec lui même fois.

Nous utiliserons la conséquence suivante du principe de reflexivité de Shelah pour la notion d’orthogonalité.

Proposition 1.2.5 ([Pil96, Chapitre 1, Lemme 4.3.1]).

Soient un modèle de , un ensemble de paramètres et deux types stationnaires. On a équivalence entre :

  • Les types et sont orthogonaux.

  • Pour tout et tout , les types et sont faiblement orthogonaux.

Types stationnaires de rang de Lascar fini et orthogonalité

Pour les types minimaux, la relation de non-orthogonalité définit une partition en classes d’équivalence. De plus, cette partition est compatible avec les notions de types localement modulaires et de types triviaux introduites dans la définition 1.1.15

Proposition 1.2.6 ([Pil96, Chapitre 2, Remarque 2.10]).

Soit un modèle -saturé de . La relation "être non-orthogonal" est une relation d’équivalence sur l’ensemble des types stationnaires minimaux à paramètres dans . De plus, si est un type minimal stationnaire localement modulaire (resp. trivial) alors tout type dans sa classe d’équivalence a la même propriété.

Si est un type minimal, on note sa classe d’équivalence pour la relation de non-orthogonalité.

La relation de non-orthogonalité cesse d’être une relation d’équivalence lorsqu’on ne se restreint plus au types minimaux dès que la théorie possède deux types minimaux orthogonaux. Néanmoins, elle permet de définir un dévissage des types de rang de Lascar fini en types minimaux.

Lemme 1.2.7 ([Pil96, Chapitre 2, Lemme 2.5.1]).

Soient un modèle -saturé de , un ensemble de paramètres petit et un type de rang fini. Il existe une extension de paramètres et un type stationnaire minimal non-orthogonal à .

Proposition 1.2.8.

Soient un modèle de , un ensemble de paramètres et un type stationnaire de rang fini égal à . Il existe une suite d’extensions de paramètres , une suite d’extension est un type stationnaire et des types minimaux stationnaires vérifiant

  • Pour tout , le rang de Lascar de est . En particulier, le type est une extension non déviante de et est un type minimal.

  • Pour , on a et pour tout , il existe des réalisations et telles que et est une extension stationnaire non déviante à de .

Démonstration.

On raisonne par récurrence sur le rang de Lacar de .

Pour , il suffit de poser et .

Supposons le résultat montré pour les types de rang de Lascar . Considérons un type stationnaire de rang de Lascar .

D’après le lemme 1.2.7, il existe un ensemble de paramètres et un type stationnaire minimal non orthogonal à . Considérons un ensemble de paramètres et des réalisations et vérifiant .

Le type étant minimal, on en déduit que . On pose alors , , . Par additivité du rang de Lascar (Proposition 1.1.5), le type est de rang de Lascar . On applique alors l’hypothèse de récurrence à une extension stationnaire de . ∎

Remarque 1.2.9.

Les données est une extension de paramètres, et de types stationnaires dont l’existence est assurée par la proposition 1.2.8 est appelée une analyse du type par les types minimaux .

On note alors l’ensemble des classes de non-orthogonalité des types minimaux intervenant dans l’analyse de .

Proposition 1.2.10.

Soient un modèle de , un ensemble de paramètres et un type stationnaire de rang fini égal à . Si et sont deux analyses de alors .

Plus précisément, pour toute analyse de , on a

Si est un type de rang de Lascar fini, on notera pour toute analyse de dont l’existence est assurée par la proposition 1.2.8 et qui est bien défini d’après la proposition 1.2.10.

Démonstration.

La deuxième partie de la proposition implique la première. La condition (ii) de la proposition 1.2.8 montre que :

Il suffit donc de montrer l’inclusion réciproque : Considérons une analyse de et un type minimal orthogonal à (i.e. orthogonal à tous les éléments de ). Soit une extension de paramètres et une extension de . Montrons que est orthogonal à .

D’après [Pil96, Chapitre 8, Lemme 1.2(i)], il existe une analyse de avec

Par hypothèse, le type est orthogonal à tous les éléments de et donc d’après [Pil96, Chapitre 8, Lemme 1.2(iv)], le type est orthogonal à tous les types analysables dans et en particulier à . ∎

Exemple 1.2.11.

Soient un modèle de , un ensemble de paramètres et des types minimaux stationnaires. On vérifie facilement que

En particulier, on a le renforcement suivant de la proposition 1.2.10 pour le type :

Un contre-exemple

On montre que la proposition 1.2.10 est optimale en construisant un exemple de type

Exemple 1.2.12.

Soit un corps infini. Considérons le langage des -espaces vectoriels qui est l’enrichissement du langage des groupes par des symboles de fonctions unaires pour chaque élément du corps , désignant la multiplication scalaire.

La théorie des espaces vectoriels non triviaux sur le corps est une théorie complète du premier ordre dans le langage qui élimine les quantificateurs dans ce langage [TZ12, Théorème 3.3.3]. Une analyse directe des formules sans quantificateurs dans le langage montre que la théorie est fortement minimale. De plus, si est un modèle de et si est un sous-ensemble de paramètres alors .

En particulier, la dimension de la prégéométrie combinatoire associée par la construction 1.1.11 coïncide avec la dimension linéaire. On en déduit que est une théorie fortement minimale modulaire.

Construction 1.2.13.

On note l’enrichissement du langage par un prédicat unaire et la théorie des paires d’espaces vectoriels dans langage i.e. la théorie dont les modèles sont les couples tels que

Proposition 1.2.14.

La théorie est une théorie complète qui élimine les quantificateurs dans le langage .

La proposition se démontre facilement à l’aide de la méthode du va-et-vient. Cependant, ce n’est pas une conséquence formelle du fait que la théorie admette l’élimination des quantificateurs dans le langage . Par exemple, la théorie des paires de corps algébriquement clos n’élimine pas les quantificateurs dans le langage des paires d’anneaux.

Démonstration.

Les modèles de admettent comme sous-structure commune. La complétude de la théorie est donc conséquence de l’élimination des quantificateurs. Remarquons que si et sont deux modèles de , les -morphismes partiels

sont les applications qui se prolongent en applications -linéaires

On note . Considérons un modèle de cardinal de et un modèle -saturé. D’après la méthode du va-et-vient, il suffit de vérifier que tout -morphisme partiel s’étend en un -plongement de dans .

Soit un -morphisme partiel. D’après la remarque précédente, se prolonge uniquement en un -morphisme partiel . Considérons . On veut étendre le morphisme partiel à . On a deux cas :

  • Supposons que .

    Par saturation de , il existe . Comme , l’application linéaire se prolonge en une unique application linéaire telle que . Par construction, on a :

  • Supposons que .

    Considérons tel que . Par saturation de , on peut choisir . Comme , l’application linéaire se prolonge en une unique application linéaire telle que . Par construction, on a :

Ceci achève la preuve de l’élimination des quantificateurs pour la théorie . ∎

Considérons de plus la suite exacte de -espaces vectoriels :

L’ensemble s’identifie alors à un ensemble définissable de la théorie obtenue en adjoignant à ses sortes imaginaires [TZ12, Partie 8.4].

Corollaire 1.2.15.

Soit un modèle de . On a la description suivantes des formules à paramètres dans :

  • Pour tout , on a .

  • La structure induite par sur est celle d’un pur -espace vectoriel, en particulier fortement minimale.

  • La structure induite par sur est celle d’un pur -espace vectoriel, en particulier fortement minimale.

  • Les sous-ensembles -définissable de sont les combinaisons booléennes de translatés de par un élément de et des points de .

Démonstration.

Les formules sans quantificateurs en une variable et à paramètres dans dans le langage sont les disjonctions finies de formules de la forme :

. D’après la proposition 1.2.14, toute formule de est équivalente modulo à une disjonction finie des formules précédentes.

On en déduit les propriétés (ii),(iii) et (iv). Pour (i), il suffit de remarquer que parmi les formules précédentes, est la seule formule algébrisante. ∎

Remarque 1.2.16.

La condition (iv) montre que est de rang de Morley et de degré de Morley et possède donc un unique type (stationnaire) de rang de Morley noté .

La condition (iv) montre aussi que les types (fortement) minimaux et génériques de et respectivement sont orthogonaux. Remarquons de plus que ces deux types sont modulaires.

Lemme 1.2.17.

Dans la théorie , les types et sont orthogonaux.

Démonstration.

Soit . Par élimination des quantificateurs dans , on peut décrire les extensions non déviantes de et à tout ensemble de paramètres de la façon suivante:

  • est l’unique 1-type vérifiant

  • est l’unique 1-type vérifiant

On raisonne désormais par l’absurde en supposant que et sont non orthogonaux. D’après la description précédente de la clôture algébrique, il existe un ensemble de paramètres et des réalisations de et respectivement tels que .

De plus, par définition . L’opérateur vérifiant la propriété de l’échange, on en déduit que

On a alors , ce qui contredit la description précédente du type . ∎

Lemme 1.2.18.

Dans la théorie , on a .

Démonstration.

Soit une réalisation de . On construit une analyse du type . Remarquons d’abord que est -définissable et que .

On pose donc , et , puis et . Comme les fibres de sont des espaces homogènes sous l’action de , le type est un type fortement minimal. On en déduit que :

Montrons que est non orthogonal à . Considérons réalisant et vérifiant . Par construction, on a et donc . Comme de plus , on en déduit que réalise le type générique de au dessus de .

La relation témoigne alors de la non-orthogonalité entre et . ∎

1.3. Corps différentiellement clos

Définition

On rappelle qu’un corps différentiel (de caractéristique ) est un couple est un corps de caractéristique et une dérivation. Dans tout le texte, on travaillera dans des corps de caractéristique , on parlera donc de corps différentiel pour désigner un corps différentiel de caractéristique .

Du point de vue syntaxique, un corps différentiel est une -structure où est appelé langage des corps différentiels vérifiant les axiomes des corps différentiels (qui sont du premier ordre dans le langage ).

Remarque 1.3.1.

Pour le langage des corps différentiels, les formules sans quantificateurs à paramètres dans un corps différentiel sont les combinaisons booléennes d’équations différentielles algébriques, c’est-à-dire d’équations différentielles de la forme :

est un polynôme.

Parmi les modèles de la théorie des corps différentiels, certains possèdent une importance particulière, ce sont les modèles existentiellement clos.

Définition 1.3.2.

Soient une théorie dans un langage et un modèle de . On dit est un modèle existentiellement clos de si pour toute extension de modèles de , toute formule sans quantificateurs et tout , on a :

Définition 1.3.3.

On appelle corps différentiellement clos, tout modèle existentiellement clos de la théorie des corps différentiels.

Lemme 1.3.4.

Tout corps différentiel est contenu dans un corps différentiellement clos. En particulier, il existe des corps différentiellement clos.

La limite inductive d’une chaine de corps différentiels

est un corps différentiel. Le lemme précédent est alors conséquence des techniques de construction standards de théorie des modèles [TZ12, Lemme 3.2.10].

Lemme 1.3.5 ([Mmp06, Partie 2, lemme 1.5 et corollaire 1.7]).

Soient un corps différentiel, un polynôme et un polynôme non nul. Le système d’équations différentielles algébriques

(1)

admet des solutions dans une extension différentielle de .

Théorème 1.3.6 (Blum).

La classe des corps différentiellement clos est axiomatisable dans le langage des corps différentiels par une théorie du premier ordre. Une axiomatisation de cette théorie est donnée par :

  • est un corps différentiel (de caractéristique 0).

  • Pour tout , et tous polynômes et non nul, il existe tel que

La théorie axiomatisée par les axiomes précédents est notée et appelée théorie des corps différentiellement clos.

Le lemme 1.3.5 montre que les corps différentiellement clos sont modèles de la théorie . Le théorème est alors conséquence de [MMP06, Partie 2, Corollaire 2.5].

Elimination des quantificateurs et des imaginaires

Théorème 1.3.7 ([Mmp06, Partie 2, Théorème 2.4 et Théorème 3.7]).

La théorie des corps différentiellement clos est complète et élimine les quantificateurs et les imaginaires dans le langage des corps différentiels.

On présente maintenant les conséquences du théorème précédent.

Définition 1.3.8.

Soit un corps différentiel. On appelle corps des constantes de , le sous-corps de défini par

Corollaire 1.3.9 ([Mmp06, Partie 2, Lemme 5.10]).

Soit un corps différentiellement clos. Le corps des constantes de est un corps algébriquement clos et la structure induite par sur le sous-corps définissable est celle d’un pur corps algébriquement clos3.

En particulier, si est un corps différentiellement clos alors le corps des constantes est un sous-ensemble définissable fortement minimal.

Définition 1.3.10.

Soient un corps différentiellement clos et un type à paramètres dans un sous-ensemble . On dit que le type est orthogonal aux constantes si est orthogonal au type générique de l’ensemble fortement minimal .

Notation 1.3.11.

Si est une extension de corps différentiels et un sous-ensemble, on note le sous-corps différentiel de engendré par et .

Corollaire 1.3.12 ([Mmp06, Partie 2, Lemme 5.1]).

Soient un corps différentiellement clos et un ensemble de paramètres. On a la description suivante de la clôture définissable et de la clôture algébrique de :

Définition 1.3.13.

Soient est une extension de corps différentiels et . On appelle ordre de sur et on note , l’entier défini par

où pour toute extension de corps , désigne le degré de transcendance de l’extension.

Corollaire 1.3.14 ([Mmp06, Partie 2, Lemmes 5.7 et 5.8]).

Soient un corps différentiellement clos, un sous-corps différentiel et . Alors

De plus, l’ordre contrôle la déviation lorsqu’il est fini : si est une extension de corps différentiels et tel que , alors si et seulement si .

Notation 1.3.15.

Soit un corps différentiel. On note la -algèbre différentielle libre engendrée par les indéterminées .

Corollaire 1.3.16 (Description des types).

Soient un corps différentiellement clos et un sous-corps différentiel. L’application définie par

est une bijection, où est l’ensemble des idéaux premiers différentiels de la -algèbre .

L’anneau