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AListe de mes articles cités dans cette Habilitation à diriger des Recherches

Université Jean Monnet - Université de Lyon

Ecole doctorale SIS

Spécialité: Mathématiques Appliquées

Application de la récurrence topologique aux intégrales de matrices aléatoires et aux systèmes intégrables

Habilitation à diriger des recherches

Soutenue publiquement le 16 Octobre 2017 par

Olivier Marchal

devant le jury composé de:

M. Borot Gaëtan, Institut Max Planck de Mathématiques, Rapporteur
M. Cafasso Mattia, Université d’Angers, Coordinateur
M. Garban Christophe, Université Claude Bernard, Examinateur
M. Gaussent Stéphane, Université Jean Monnet, Examinateur
Mme Guionnet Alice, Ecole normale supérieure de Lyon, Examinatrice
M. Lisovyi Oleg, Université François Rabelais, Rapporteur
M. Ribault Sylvain, Institut de Physique théorique, CEA Saclay, Examinateur
M. Roubtsov Volodya, Université d’Angers, Rapporteur

©  Olivier Marchal, 2017.

Résumé

Cette Habilitation à Diriger des Recherches présente les liens entre deux applications de la récurrence topologique développée par B. Eynard et N. Orantin en 2007 et dont les domaines d’application n’ont cessé de croître depuis. Elle présente les principaux résultats obtenus depuis mon doctorat en 2010, sans pour autant en couvrir l’intégralité. Les résultats sélectionnés ont été choisis afin de souligner l’efficacité de la récurrence topologique à relier deux domaines: celui des probabilités et celui des systèmes intégrables, a priori très éloignés l’un de l’autre.

Le premier aspect développé dans cette habilitation concerne le domaine historique d’apparition de la récurrence topologique: les intégrales de matrices aléatoires. Je présente ainsi la manière dont la récurrence topologique peut être utilisée pour calculer le développement en de diverses intégrales matricielles de taille . En effet, à partir de l’ordre dominant de ces asymptotiques (appelé “courbe spectrale”) dont diverses techniques de calcul existent, la récurrence topologique permet d’obtenir récursivement tous les ordres sous-dominants avec des calculs élémentaires d’analyse complexe. Si l’étude des intégrales de matrices hermitiennes par cette méthode est maintenant bien avancée, je montre que cette technique peut être utilisée dans le cas d’intégrales de matrices aléatoires unitaires et aussi sur des exemples simples d’intégrales connues, qui permettent ainsi de tester de façon concrète la méthode générale. L’extension au cas des “ensembles ” est également discutée brièvement.

Le second point développé dans cette habilitation concerne l’utilisation de la récurrence topologique dans l’étude des systèmes intégrables ayant une représentation de Lax. Cette partie est illustrée par le cas des six équations de Painlevé. Notons que le comportement local des valeurs propres (dans le centre de la distribution limite ou aux bords) des matrices hermitiennes de grande taille est précisément donné par certains cas particuliers des équations de Painlevé montrant ainsi un lien direct avec la première partie. En ce sens, le formalisme de la récurrence topologique permet de relier de façon claire ces deux domaines apparemment très éloignés. Enfin, remarquons que l’application de la récurrence topologique dans le domaine des systèmes intégrables est actuellement en plein développement avec en particulier la recherche et la compréhension d’une version “quantique” de la courbe spectrale de manière systématique. Il ne fait aucun doute que des résultats importants sont à attendre dans les prochaines années sur ce sujet.

Ainsi, à la frontière entre les probabilités et les systèmes intégrables, la récurrence topologique, couplée à la méthode des équations de boucle, constitue un outil intéressant en physique théorique et présentant plus particulièrement du potentiel dans la théorie des cordes topologiques et les modèles de théorie conforme en dimension deux. Compte tenu des possibilités de généralisation dues à un formalisme souple, elle représente un outil important dans tous ces domaines.

Mots-clés: Récurrence topologique, Intégrales de matrices aléatoires, Probabilités intégrables, Courbe spectrale, Systèmes intégrables, Equations de Painlevé. Abstract

The goal of this “Habilitation à diriger des recherches” is to present two different applications, namely computations of certain partition functions in probability and applications to integrable systems, of the topological recursion developed by B. Eynard and N. Orantin in 2007. Since its creation, the range of applications of the topological recursion has been growing and many results in different fields have been obtained. In relation with these applications, the formalism of the topological recursion has been precised and stabilized. Thus it appears that it is the right time to present an up to date review of the possibilities offered by the topological recursion in both probability and integrable systems. Since the scope of the applications of the topological recursion is quite large, I have decided to focus only on two important subjects in relation to my research activities even though it does not cover the full extent of my research.

The first aspect that I will develop in this document deals with the historical domain of the topological recursion: random matrix integrals. I will review the formalism of the topological recursion as well as how it can be used to obtain asymptotic series expansion of various matrix integrals. In particular, a key feature of the topological recursion is that it can recover from the leading order of the asymptotic (known in the field as a “spectral curve”) all sub-leading orders with elementary computations. This method is particularly well known and fruitful in the case of hermitian matrix integrals, but I will also show that the general method can be used to cover integrals with hard edges, integrals over unitary matrices and much more. In the end, I will also briefly mention the generalization to -ensembles and its challenges.

In a second chapter, I will review the connection between the topological recursion and the study of integrable systems having a Lax pair representation. Most of the results presented there will be illustrated by the case of the famous six Painlevé equations. Though the formalism used in this chapter may look completely disconnected from the previous one, it is well known that the local statistics of eigenvalues in random matrix theory exhibit a universality phenomenon and that the encountered universal systems are precisely driven by some solutions of the Painlevé equations. As I will show, the connection can be made very explicit with the topological recursion formalism. The use of the topological recursion in integrable systems is developing rapidly at the moment and many results are expected in the next few years. In particular, the construction of a “quantum” version of the spectral curve in relation with integrable systems is presently an open and hot topic.

At the border between probability and integrable systems, the topological recursion with the loop equation method is a very effective tool in theoretical physics, topological string theory and conformal field theory in dimension . With a wide generalization potential and a quite customizable formalism, it certainly provides an excellent tool in all those fields.

Keywords: Topological recursion, Random matrix integrals, Integrable probabilities, Spectral curve, Integrable systems, Painlevé equations. Remerciements

Ecrire une habilitation à diriger les recherches n’est pas une chose facile car cela consomme une chose précieuse lorsque l’on est en poste: du temps. C’est la raison pour laquelle j’ai décidé d’écrire la plus grande partie de la mienne durant la période estivale de 2016 afin de pouvoir bénéficier de conditions de travail les plus idéales possibles. Le plus difficile dans ce type d’entreprise est bien souvent de se lancer véritablement puisque les raisons sont nombreuses pour repousser au lendemain le début d’un travail que l’on sait d’avance long et laborieux. En ce qui me concerne, c’est surtout la question de l’intérêt de la rédaction de l’habilitation en elle-même qui n’était pas évidente: écrire un document de synthèse présente un intérêt scientifique mais le fait de devoir l’écrire en français en limite considérablement la visibilité dans le contexte international actuel de la recherche en mathématiques. Certes, il reste la perspective d’obtenir le titre nécessaire pour pouvoir diriger seul une thèse, mais cela est fortement limité par la possibilité de pouvoir trouver de bons étudiants qui se font rares à l’heure actuelle surtout lorsque l’on enseigne dans une université de taille modeste comme celle de Saint-Etienne. Bien entendu, l’habilitation donne enfin la possibilité de pouvoir (après obtention de la qualification correspondante) candidater sur des postes de Professeurs d’Université. Mais pour beaucoup de maîtres de conférences le faible nombre de postes proposés actuellement combiné à des règles de non-localité présentes dans les sections de mathématiques, laissent apparaitre comme très hypothétique la perspective de pouvoir postuler concrètement sur des postes en respectant leurs contraintes familiales, qui peuvent être fortes pour certains, lorsque le conjoint n’est pas forcément mobile professionnellement ou que les enfants sont scolarisés.

Compte tenu de ce contexte, je pense que l’écriture de ce document aurait été fortement différée voire impossible sans le soutien des différentes personnes que je tiens à présent à remercier. Mes premiers et plus sincères remerciements vont tout d’abord à Pauline Chappuis qui a su faire de ma vie le bonheur qu’elle est actuellement. Elle a su aussi trouver les arguments pour me décider à me lancer dans la rédaction de cette habilitation et m’a apporté un soutien et un amour précieux agrémentés de nombreuses patisseries dont elle a le secret pour me donner des forces. J’espère que notre belle aventure se poursuivra pour toujours et que notre petit nid familial s’agrandisse prochainement. J’en profite également pour remercier ses parents Evelyne et Didier, ses soeurs Emilie et Andrea, ses grands-parents et ses très nombreux oncles, tantes, cousins, cousines et amis qui m’ont toujours accueilli de façon chaleureuse et fait vivre de très bons moments. Mes prochains remerciements vont à ma famille et plus précisément à mon frère jumeau (le doublon) Julien et son amie Claire, mon grand-frère David et bien sûr mes parents. Que de bons moments partagés depuis ces nombreuses années! Même si vous ne pouvez pas forcément m’aider dans le domaine mathématique, il est clair qu’une part importante de ma réussite académique vous est due. Les passages à Beaumotte, les diverses courses, trails, raids, sorties VTT, etc. sont autant de petits bonheurs et souvenirs qui me permettent de surmonter les épreuves de la vie. J’espère qu’il y en aura encore beaucoup d’autres à venir.

Je remercie maintenant tous les amis de longue date qui m’ont entouré depuis de nombreuses années. Même avec le temps qui passe, mon séjour au Canada pendant plusieurs années et les contraintes familiales et professionnelles qui s’accumulent, il est toujours bon de pouvoir compter sur une soirée ou un week-end entre amis. Chronologiquement ou par paires je remercie plus particulièrement pour les beaux souvenirs du passé, du présent et j’espère du futur: Jérôme Charles (la jej), Guillaume Tobler et Rebecca Toth (et William), Pascal Striker, Julyan Arbel, Elodie Emonoz, Mathilde Gacek, Cécilie Possot, Sophie Redoutey, Anne-Luce Zahm et JP Sixdenier, Emmanuel Jacob et Mikael de la Salle que j’ai retrouvé par hasard à l’ENS Lyon.

Passons maintenant aux mathématiciens et physiciens et aux amitiés Stéphanoises et Lyonnaises plus récentes. Ma première pensée va à mon ancien directeur de thèse Bertrand Eynard qui a été et reste pour moi un directeur de recherche exemplaire et qui a mis en lumière l’objet principal de cette habilitation. J’ai toujours pris un grand plaisir à travailler en sa compagnie. Ses nombreuses idées, sa façon d’expliquer clairement font de lui un des meilleurs chercheurs que j’ai rencontré et j’espère que notre collaboration se poursuivra dans le futur. Ma seconde pensée va à Nicolas Orantin et Gaëtan Borot qui sont toujours disponibles pour me débloquer ou répondre à mes interrogations. J’espère que prochainement nous pourrons produire un article tous ensemble. Je remercie également tous mes autres collaborateurs: Michel, Leonid, Vincent, Kohei, Piotr, Raphaël, Elba, Axel et tous les autres. Je tiens également à remercier l’ensemble du département de mathématiques de Saint-Etienne pour leur accueil et leur joie de vivre. J’inclus bien évidemment tous ceux de l’IAE, de Télécom, des mines, etc. que je cotoie régulièrement. En vrac cela donne: Michaël Bulois (le cobureau parfait), Nolwenn et la petite famille, Frédéric Chardard (toujours de bonne humeur), Julian Tugaut (le fan de game of thrones), Mathieu Sart (le seul plus jeune que moi), Filippo Nuccio (et son style italien), Laurence Grammont, Anne Pichereau, Driss Essouabri, Stéphane Gaussent, les deux autres Olivier (Gipouloux et Robert), la famille Canon (Marie-Claude et Eric), Sylvie Champier, Laëtitia Paoli, Mahdi Boukrouche, Valentina Busuioc, Federico Pellarin, Florence Millet, Mario Ahues et François Hennecart. Côté Lyonnais, la liste étant trop longue, je tiens à remercier spécialement Christophe Sabot et Elisabeth Mironescu pour leur aide à mon retour en France. Plus généralement, je remercie l’ensemble de l’équipe de probabilités, statistique et physique mathématique de Lyon 1 et de l’ENS que je vois régulièrement pour les séminaires ainsi que le secrétariat de l’Université Jean Monnet et en particulier Pascale Villet pour sa disponibilité dans de nombreuses démarches administratives.

Voilà, je suis sûr d’avoir oublié plein de monde mais les remerciements restent toujours un exercice d’exhaustivité imparfaite. Merci encore à toutes celles et ceux qui m’entourent, sans vous tout cela ne serait pas possible.

Liste de mes articles de recherche publiés ou soumis à des journaux internationaux et en cours d’évaluation

  1. O. Marchal, J. Arbel, “On the sub-Gaussianity of the Beta and Dirichlet distributions”, Electronic Communications in Probability, Vol. 22, No. 54, pp 1-14, 2017.

  2. O. Marchal, “WKB solutions of difference equations and reconstruction by the topological recursion”, Nonlinearity, 2017.

  3. O. Marchal, “Asymptotic expansions of some Toeplitz determinants via the topological recursion”, arXiv:1611.05627, Soumis à Random Matrices: Theory and Applications, 2016.

  4. B. Eynard, O. Marchal, R. Belliard, “Integrable differential systems of topological type and reconstruction by the topological recursion”, Annales Henri Poincaré, Vol. 18, No. 10, pp 3193-3248, 2017.

  5. B. Eynard, O. Marchal, R. Belliard, “Loop equations from differential systems”, Annales Henri Poincaré, 2016.

  6. K. Iwaki, O. Marchal, A. Saenz, “Painlevé equations, topological type property and reconstruction by the topological recursion”, Journal of Geometry and Physics, 2017.

  7. O. Marchal, “Matrix models, Toeplitz determinants and recurrence times for powers of random unitary matrices”, Random Matrices: Theory and Applications, Vol. 4, No. 3, 2014.

  8. K. Iwaki, O. Marchal, “Painlevé 2 equation with arbitrary monodromy parameter, topological recursion and determinantal formulas”, Annales Henri Poincaré, Vol. 18, No. 8, pp 2581-2620, 2017.

  9. O. Marchal, “Elements of proof for conjectures of Witte and Forrester about the combinatorial structure of Gaussian Beta Ensembles”, Journal of High Energy Physics, Vol. 3, 2014.

  10. O. Marchal, B. Eynard, M. Bergère, “The sine-law gap probability, Painlevé 5, and asymptotic expansion by the topological recursion”, Random Matrices: Theory and Applications, Vol. 3, 2014.

  11. V. Bouchard, A. Catuneanu, O. Marchal, P. Sulkowski, “The remodeling conjecture and the Faber-Pandharipande formula”, Letters in Mathematical Physics, Vol. 103, 2013.

  12. M. Bergère, B. Eynard, O. Marchal, A. Prats-Ferrer, “Loop equations and topological recursion for the arbitrary -two-matrix model”, Journal of High Energy Physics, Vol. 3, 2012.

  13. O. Marchal, “One cut solution of the -ensembles in the Zhukovsky variable”, Journal of Statistical Mechanics, P01011, 2012.

  14. O. Marchal, “Aspects géométriques et intégrables des modèles de matrices aléatoires”, Thèse de doctorat, disponible à arXiv:1012.4513, 2010.

  15. L.O. Chekhov, B. Eynard, O. Marchal, “Topological expansion of the -ensemble model and quantum algebraic geometry in the sectorwise approach”, Theoretical and Mathematical Physics, Vol. 166, No. 2, pp. 141-185, 2011.

  16. B. Eynard, A.K. Kashani-Poor, O. Marchal, “A Matrix Model for the Topological String II: The Spectral Curve and Mirror Geometry”, Annales Henri Poincaré, Vol. 14, No. 1, pp. 119-158, 2013.

  17. B. Eynard, A.K. Kashani-Poor, O. Marchal, “A Matrix Model for the Topological String I: Deriving the Matrix Model”, Annales Henri Poincaré, Vol. 15, No. 10, pp. 1867-1901, 2014.

  18. O Marchal, M. Cafasso, “Double-scaling limits of random matrices and minimal models: the merging of two cuts in a degenerate case”, Journal of Statistical Mechanics, Vol. 2011, 2011.

  19. L.O. Chekhov, B. Eynard, O. Marchal, “Topological expansion of the Bethe ansatz, and quantum algebraic geometry”, arXiv:0911.1664, 2009.

  20. B. Eynard, O. Marchal, “Topological expansion of the Bethe ansatz, and non-commutative algebraic geometry”, Journal of High Energy Physics, Vol. 3, 2009.

  21. M. Bertola, O. Marchal, “The partition function of the two-matrix model as an isomonodromic tau-function”, Journal of Mathematical Physics, Vol. 50, 013529, 2009.

Liste de mes autres publications scientifiques

  1. O. Marchal, “Fondements des probabilités avec exercices corrigés”, Ellipses Marketing, 216 pages, 2017.

  2. O. Marchal, “Statistiques appliquées avec introduction au logiciel R”, Ellipses Marketing, 264 pages, 2017.

  3. F. Magne, E. Gomez, O. Marchal, P. Malvestio, A. Chaouat, F. Chabot, “Evolution et facteurs prédictifs d’amélioration du SAHOS après chirurgie bariatrique dans une population d’obèses grades II et plus”, Revue des Maladies Respiratoires, Vol. 34, 2017.

  4. P. Chappuis, G. Duru, O. Marchal, P. Girier, S. Dalle, L. Thomas, “Dermoscopy: A useful tool for general practitioners in melanoma screening: a nationwide survey”, British Journal of Dermatology, DOI: 10.1111/bjd.14495 2015.

  5. O. Marchal, “Locks and keys: How fast can you open several locks with too many keys?”, arXiv:1509.00844, 2015.

Encadrement scientifique

  1. Encadrement de stage de M2: 2016: Encadrement du stage de Thomas Gérard de l’ENS Lyon. Intitulé du mémoire: “Matrices de transition aléatoires”. Stage de cinq mois effectué d’Avril 2016 à Septembre 2016.

  2. Encadrement de TER (niveau L3) en probabilités. En 2015: “Jeux de Parrondo”. En 2014 : “Valeurs propres des matrices aléatoires hermitiennes”.

  3. Encadrement de projets transdisciplinaires M2 Enseignement: Projets transdisciplinaires à l’interface biologie/mathématiques/physique. Thème 2014: Dérèglement climatique. Thème 2015: “Dynamique interne de la Terre”. Thème 2016: “Risques associés au changement climatique”.

  4. Encadrement de stages “Hippocampe”: Initiation à la recherche pour des étudiants de CPGE pendant 3 jours sur des thèmes de recherche proposés par des enseignants-chercheurs. Projets encadrés en 2015, 2016 et 2017. Le stage de 2016 sur le paradoxe de Parrondo a donné lieu à une note de vulgarisation écrite par H. Davaux et publiée dans la gazette des mathématiciens.

  5. Analyses statistiques pour des thèses de médecine:

    • Pauline Chappuis (dirigée par les professeurs P. Girier et L. Thomas).
      Titre de la thèse: “Evaluation des méthodes de dépistage du mélanome en médecine générale, apport de l’utilisation de la dermoscopie. Enquête quantitative auprès de médecins généralistes français”.

    • Fanny Magne-Vigneaud (dirigée par le professeur A. Chaouat).
      Titre de la thèse: “Evolution et facteurs prédictifs de persistance du syndrome d’apnées-hypopnées du sommeil (SAHOS) chez les patients obèses, après une chirurgie bariatrique”. Résultats présentés également au Congrès de Pneumologie de Langue Française.

    • Cornélia Ciudin (dirigée par les Professeurs Creuzot-Garcher et Muselier).
      Titre de la thèse: “Apport d’un e-learning sur les pratiques des MG de Bourgogne Franche-Comté et Auvergne Rhône-Alpes concernant les délais d’orientation des patients en ophtalmologie”.

Table des matières

Chapitre 1 Introduction

La récurrence topologique est apparue dans sa forme actuelle en 2007 dans l’article [1] après des travaux initiés par de nombreux chercheurs. Néanmoins, il n’est pas rare dans certains articles ou certaines présentations d’entendre parler de la récurrence topologique sous le nom de récurrence d’Eynard et Orantin auquel on ajoute parfois le nom de L. Chekhov qui a également contribué à l’émergence du formalisme actuel. Cette récurrence a depuis connue certaines reformulations et certains liens avec la théorie conforme de Liouville, les systèmes intégrables ainsi que des versions locales ou modifiées ont été élaborés pour en faire aujourd’hui un élément important en physique théorique ainsi que dans l’étude des intégrales de matrices aléatoires. Certains détails techniques concernant directement la récurrence topologique [2, 3, 4] ont également été précisés par la suite mais il apparait évident que le contenu de [1] reste aujourd’hui comme l’un des articles fondateurs utilisé couramment dans le domaine.

A l’origine, la récurrence topologique a été créée pour calculer de façon efficace le développement perturbatif (i.e. en ) des fonctions de corrélations issues d’intégrales de matrices aléatoires hermitiennes. Si ce domaine d’application reste évidemment encore d’actualité, la récurrence a été rapidement généralisée à n’importe quelle “courbe spectrale” qu’elle soit issue d’une intégrale de matrices ou non. Cette généralisation a permis son application dans des domaines de géométrie énumérative a priori très éloignés du domaine des probabilités. On citera par exemple la gravité [5, 6], les volumes de Weil-Petersson [7, 8], la théorie des nœuds [9, 10], les partitions planes [11, 12], les nombres de Hurwitz [13, 14], les invariants de Gromov-Witten [15, 13] avec la célèbre conjecture de Bouchard, Klemm, Mariño et Pasquetti [16] résolue dans [17, 18, ?] pour des Calabi-Yau torique de dimension 3, puis prouvée de façon plus générale dans [19] et évoquée dans d’autres articles [17, ?, ?].

En parallèle, la récurrence topologique s’est également rapprochée du domaine des systèmes intégrables [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, ?]. En effet, il est maintenant bien connu que les intégrales de matrices hermitiennes forment des processus déterminantaux et sont des exemples de systèmes intégrables. En particulier, les fonctions de partitions des intégrales de matrices sont des fonctions tau de ces systèmes intégrables (KP, KdV) [20, 28, 29, ?] et avec les fonctions de corrélations elles doivent donc obéir à certaines séries infinies d’équations (Equations d’Hirota, Formule de Sato, Relations de Plücker) qui contraignent fortement le modèle mais permettent également de le résoudre plus facilement. Ces résultats sont également intéressants car ils fournissent un exemple concret de systèmes intégrables (à l’aide des intégrales de matrices aléatoires). Plus récemment, ce lien a permis de s’intéresser aux systèmes intégrables par le prisme de la récurrence topologique et en particulier dans l’approche des systèmes intégrables pour lesquels une paire de Lax est connue [30, 24, ?]. Cette thématique émergente est abordée plus en détails dans la deuxième partie de cette Habilitation à Diriger des Recherches (HDR) et constitue à l’heure actuelle un champ de recherche très actif.

Devant le champ considérable d’applications de la récurrence topologique et pour éviter une présentation trop superficielle d’un grand nombre de sujets, j’ai choisi de ne présenter en détails que deux aspects spécifiques. Le premier chapitre est consacré à la présentation générale de la récurrence topologique dans le cadre des intégrales de matrices aléatoires. Ce chapitre se veut volontairement pédagogique, afin de fixer les notations et de présenter l’intérêt initial et le formalisme inhérent à la récurrence topologique. On y trouve également quelques exemples de tests de la théorie. Le second chapitre est plus proche des domaines actuels de recherche puisqu’il concerne l’application de la récurrence topologique à l’étude des systèmes intégrables définis par une paire de Lax. Plus technique, ce chapitre présente également certaines questions encore non résolues à l’heure actuelle. En revanche, les applications à la géométrie énumérative évoquées rapidement ci-dessus ne seront pas développées dans cette HDR. Ce choix s’explique par le fait que les notions géométriques nécessaires sont lourdes à introduire et à expliquer. Par ailleurs, d’excellentes synthèses sur ces sujets existent déjà comme par exemple [7, 31].

En proposant à la fois des applications probabilistes et des liens avec les systèmes intégrables, l’objectif de cette habilitation est ainsi de souligner que la récurrence topologique, couplée à la méthode des équations de boucles, constitue un outil efficace dans ces deux domaines.

Chapitre 2 Récurrence topologique et intégrales de matrices

Historiquement, la récurrence topologique a été introduite pour la résolution des intégrales de matrices hermitiennes [32, 33] dans le cadre de l’étude des modèles de théorie des champs en deux dimensions [6, 34]. Elle a depuis connu de nombreux développements par le biais des systèmes intégrables, des applications à la théorie des cordes topologiques et à la géométrie énumérative. En parallèle, la récurrence topologique a également fourni des alternatives aux techniques classiques d’analyse (problèmes de Riemann-Hilbert [35, 36, 37], asymptotiques de polynômes orthogonaux [38, 27], déterminants de Toeplitz [39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48], méthodes des grandes déviations, etc.) ainsi que pour l’étude du spectre de matrices aléatoires. Avec la découverte du phénomène d’universalité locale en lien avec les systèmes intégrables (Cf. [32, 49, 50, 51, 52, ?]), la communauté mathématique s’est ainsi beaucoup intéressée aux fonctions de corrélations des valeurs propres, dans le centre de la distribution ou sur ses bords. Dans le cas des intégrales de matrices aléatoires, ces phénomènes d’universalité correspondent à l’étude des doubles limites d’échelle qui permettent de se focaliser sur le voisinage d’un point précis de la distribution limite et d’en étudier les corrélations locales. Par contrecoup, l’étude directe des fonctions de partition et des probabilités associées a été un peu délaissée bien qu’elle puisse parfois résoudre certains problèmes intéressants pour les probabilistes ou les analystes comme le calcul de développements asymptotiques de certains déterminants de Toeplitz [?] ou l’étude de temps de retour d’un grand nombre de particules diffusant sur le cercle et présentant une interaction Coulombienne [?]. L’objectif de ce chapitre est donc d’étudier plus spécifiquement les fonctions de partition de certains modèles et leurs développements asymptotiques en . Le chapitre commence naturellement avec l’étude d’intégrales de matrices hermitiennes, dont l’important cas Gaussien, puis montre que la méthode des équations de boucles et de la récurrence topologique peuvent également être utilisées pour d’autres types d’intégrales comme des intégrales hermitiennes avec bords ou des intégrales de matrices unitaires. L’objectif est ainsi de présenter les grandes possibilités de la méthode générale, ses principales difficultés et avantages avec une variété d’exemples représentatifs des possibilités offertes par la récurrence topologique dans ce contexte.

2.1 Intégrales de matrices hermitiennes sans bord

2.1.1 Définition des intégrales hermitiennes

L’étude des intégrales de matrices hermitiennes correspond à l’étude de la fonction de partition suivante:

(2.1.1)

est l’ensemble des matrices hermitiennes de taille . L’intégration est donnée par le produit des mesures de Lebesgue des entrées indépendantes des matrices hermitiennes:

Le paramètre est communément appelé “température” tandis que le potentiel est généralement choisi polynomial (le premier terme pouvant être fixé à par translation):

(2.1.2)

L’intégrale (2.1.1) n’est pas toujours convergente mais elle l’est systématiquement si le potentiel est polynomial, de degré pair et avec un coefficient dominant positif qui représente la grande majorité des situations étudiées dans la littérature. Néanmoins, pour l’étude de certains problèmes issus de la géométrie énumérative, il est possible de considérer l’intégrale (2.1.1) pour des potentiels où l’intégrale ne converge pas et dans ce cas, seuls les développements formels autour du potentiel Gaussien (à la Feyman) sont considérés. Afin d’en faciliter la lecture, les potentiels seront toujours choisis comme donnant des intégrales convergentes dans ce document. L’intérêt des matrices hermitiennes est qu’elles sont diagonalisables avec des valeurs propres réelles. La diagonalisation induit une mesure sur les valeurs propres qui est donnée classiquement par [32]

(2.1.3)

est le déterminant de Vandermonde. La constante de normalisation peut être calculée explicitement et ne dépend pas du potentiel . Elle se calcule en croisant les résultats des intégrales de Selberg avec les calculs explicites du modèle Gaussien (Cf. section 2.1.4). On peut également restreindre la définition de l’intégrale (2.1.3) à un sous-ensemble mesurable (en pratique une réunion finie d’intervalles) de et dans ce cas on appelle “bords durs” les points finis délimitant les intervalles du domaine d’intégration et appartenant au support de la densité limite des valeurs propres. Ces cas seront traités dans le paragraphe 2.2.

Physiquement, l’intégrale précédente montre que les valeurs propres sont soumises d’une part à une force d’attraction dans les minima du potentiel et d’autre part à une force de répulsion interne liée à la présence du déterminant de Vandermonde. Afin d’étudier les propriétés des valeurs propres, il est usuel de définir les fonctions de corrélation suivantes:

Définition 2.1 (Fonctions de corrélation).

Les fonctions de corrélation non connexes (n.c.) associées à la fonction de partition (2.1.3) sont définies par:

où l’on désigne la valeur moyenne d’une fonction des valeurs propres par:

Par ailleurs, on définit également les fonctions de corrélation connexes par:

(2.1.4)
(2.1.5)
(2.1.7)
etc. (2.1.8)

ou d’une façon plus générale par la relation inverse:

où la dernière somme est prise sur l’ensemble des partitions de l’ensemble .

L’intérêt des fonctions de corrélation résulte dans le fait que le développement asymptotique à permet d’obtenir les différents moments et corrélations entre les valeurs propres. D’un point de vue analytique, les fonctions de corrélation ne sont a priori définies que pour des situés en dehors de l’axe réel (lieu où vivent les valeurs propres). Pour un potentiel quelconque, obtenir les valeurs exactes de , de ou de est en général impossible. En revanche, il est souvent possible de déterminer un asymptotique de ces quantités lorsque ; c’est précisément le rôle de la récurrence topologique que de déterminer ces asymptotiques. L’ingrédient de départ essentiel de la récurrence topologique est la connaissance de la distribution limite des valeurs propres. Cela est résumé dans le théorème suivant (Cf. [36] pour une synthèse) issu de la théorie du potentiel:

Théorème 2.1 (Densité limite d’équilibre).

Soit la mesure empirique des valeurs propres associée à (2.1.3) alors converge en loi vers une mesure appelée mesure d’équilibre qui est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et supportée par un nombre fini d’intervalles: . Par ailleurs, sur son support la densité d’équilibre est donnée par:

(2.1.9)

est un polynôme de degré . De plus, ses coefficients sont contraints par les relations:

(2.1.10)
(2.1.11)
(2.1.12)

On dit enfin que la densité limite est non-critique si est strictement positif sur chacun des intervalles .

Notons en particulier que (2.1.10) permet d’obtenir le même nombre d’équations (non-linéaires) que le nombre de coefficients du polynôme à déterminer. Ainsi génériquement (i.e. pour des valeurs génériques des coefficients du potentiel ), ces conditions suffisent pour déterminer la densité d’équilibre. En revanche, rien n’exclut a priori que pour des valeurs spécifiques des coefficients du potentiel, ces conditions ne déterminent le polynôme que partiellement (par exemple, lorsque la densité d’équilibre devient critique). Par ailleurs, en pratique si l’existence d’une densité limite d’équilibre est garantie, il est souvent compliqué de la déterminer explicitement. En effet, dès que le support est composé de plus d’un seul segment, la détermination de la densité limite même avec l’aide de (2.1.10) nécessite de déterminer les “fractions de remplissage”, c’est-à-dire la proportion limite des valeurs propres qui vont s’accumuler sur chacun des segments: . Ce calcul est équivalent à la résolution de la dernière condition de (2.1.10) qui, hormis lors de l’existence de symétries supplémentaires, est souvent impossible en pratique. Ainsi la très grande majorité des cas où les calculs sont possibles correspondent au cas “à une coupure” c’est-à-dire au cas où la densité d’équilibre est supportée par un seul segment (). Dans ce cas, les deux premières équations de (2.1.10) permettent le calcul complet de et des coefficients de . Notons que ce cas est loin d’être isolé puisque si le potentiel est convexe alors il est démontré dans [53, 54] que la densité limite d’équilibre est nécessairement non-critique et supportée par un seul intervalle.

2.1.2 Méthode des équations de boucles

La méthode des équations de boucles, connue également sous le nom d’équations de Schwinger-Dyson, constitue un ensemble d’équations satisfaites par les fonctions de corrélations. Ces équations de boucles s’obtiennent simplement en étudiant l’invariance des intégrales sous certains difféomorphismes comme par exemple les translations: . De façon alternative, elles peuvent s’obtenir en procédant à des intégrations par parties judicieusement choisies. Dans le cas où le domaine d’intégration ne comporte pas de bord, ces équations peuvent être trouvées dans [1, 55, 56, ?, ?, ?]. Dans le cas hermitien, la première équation de boucles peut ainsi s’écrire:

(2.1.13)

Notons qu’il s’agit d’une équation exacte. En revanche, pour résoudre cette équation de boucle et retrouver les résultats précédents, il faut supposer ou démontrer l’existence d’un développement en des fonctions de corrélations de la forme:

Hypothèse 2.1.1 (Existence d’un développement topologique).

On suppose que les fonctions de corrélation et la fonction de partition admettent un développement en de la forme suivante:

(2.1.14)
(2.1.15)
(2.1.16)

Ce développement est appelé “développement perturbatif” ou “développement topologique”.

Remarque 2.1.

La notion de développement topologique présentée ci-dessus a fait l’objet de nombreuses confusions dans la littérature. En effet, il existe deux façons opposées de considérer l’hypothèse 2.1.1. La première, utilisée en combinatoire et en physique théorique, consiste à considérer les développements de façon purement formelle (on parle alors de “développements formels”) , c’est-à-dire à supposer qu’ils existent et à étudier les relations algébriques entre les coefficients des développements formels en des fonctions de corrélations. Dans ce cadre, (2.1.14) constitue donc une hypothèse (qui ne nécessite ainsi pas de démonstration) et les égalités sont à comprendre comme des égalités algébriques entre séries formelles. En revanche, lors de l’étude d’intégrales convergentes dans le cadre de problèmes issus des probabilités ou de l’analyse, les développements précédents sont à comprendre de façon convergente, i.e. comme:

(2.1.17)

et on parle alors de “développements convergents”. Dans ce cas, rien ne garantit a priori que les fonctions de corrélation et la fonction de partition admettent des développements d’une telle nature et ainsi il est nécessaire de démontrer au préalable l’existence de tels développements asymptotiques. Notons également que le terminologie de “développements convergents” ne correspond pas à l’existence d’un développement en série entière en des fonctions de corrélations puisque (2.1.17) n’exclut nullement la présence de termes exponentiellement petits (i.e. en ). Malgré cela, la notation d’égalité telle que présentée dans (2.1.14) s’est imposée dans la littérature même si elle doit être comprise dans le sens de (2.1.17) et non dans le sens d’un développement en série entière (même si le signe le suggèrerait).

Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux cas d’intégrales convergentes issus de problèmes probabilistes et il est donc nécessaire de démontrer que les fonctions de corrélations admettent un tel développement topologique dans le sens précisé en remarque 2.1. Notons que la fonction de partition ne peut admettre un développement topologique que si l’intégrale correspondante est correctement normalisée (sinon il faut rajouter un préfacteur au développement qui peut être calculé à l’aide du cas Gaussien et des intégrales de Selberg (Cf. section 2.1.4)). D’une façon générale, la fonction de partition pose un problème de constantes d’intégration qui n’est que très rarement évoqué dans la littérature. Comme indiqué précedemment, dans le cadre de problèmes analytiques ou probabilistes, l’existence d’un tel développement topologique est loin d’être garantie quel que soit le potentiel . En effet, si l’existence du premier ordre est en général assurée (par exemple par le théorème 2.1), l’existence d’un développement convergent (dans le sens (2.1.17)), pair en et commençant à l’ordre est loin d’être triviale. Il existe néanmoins des théorèmes généraux permettant de s’assurer de la validité de l’existence d’un tel développement topologique. Par exemple, le théorème principal de [57] couvre un large éventail de situations y compris en dehors du cas hermitien comme nous le verrons plus loin. L’utilisation de ce théorème nous assure que l’hypothèse 2.1.1 est valide. Néanmoins, il nécessite de vérifier les hypothèses suivantes (Hypothèses de [57]):

Proposition 2.1 (Conditions suffisantes pour l’existence d’un développement topologique).

Le résultat principal de [57] montre que si le modèle de matrices hermitiennes satisfait les hypothèses suivantes:

  • Continuité du potentiel: Le potentiel est continu sur le domaine d’intégration .

  • Confinement: Si appartiennent au domaine d’intégration alors on doit vérifier que: .

  • Support à une coupure: La distribution limite d’équilibre est supportée par un seul intervalle .

  • Non-criticalité: La distribution limite d’équilibre est strictement positive dans l’intérieur de son support et se comporte comme avec au voisinage d’un bord mou ou comme avec au voisinage d’un bord dur.

  • Condition de minimalité: La fonction définie sur atteint ses minima uniquement aux bords et de la distribution limite.

  • Régularité du potentiel: Le potentiel est holomorphe dans un voisinage du support de la distribution d’équilibre.

alors les fonctions de corrélations et la fonction de partition (sous réserve de normalisation adéquate pour cette dernière) admettent un développement topologique de la forme (2.1.14) (et à comprendre dans le sens de (2.1.17)).

Vérifier l’ensemble de ces hypothèses peut être fastidieux mais il existe une condition suffisante, satisfaite dans la plupart des cas pratiques, qui facilitent grandement la discussion. En effet, si le potentiel est continu et convexe sur le domaine d’intégration alors la distribution limite d’équilibre est supportée par un seul intervalle, ne comporte pas de points isolés et est non-critique et la condition de minimalité est satisfaite. Il ne reste donc qu’à vérifier les conditions de régularité du potentiel (holomorphe dans un voisinage du support de la distribution d’équilibre) et de confinement à l’infini qui sont en général relativement simples. Dans le cas où le développement topologique existe, on peut alors projeter (2.1.13) à l’ordre dominant () pour obtenir:

(2.1.18)

Il est alors usuel de translater de en définissant:

(2.1.19)

Pour obtenir:

(2.1.20)

Cette équation définit la “courbe spectrale” associée au modèle de matrice hermitien (2.1.3). Il s’agit d’une équation hyperelliptique où le membre de droite est un polynôme. Notons que ce résultat est équivalent aux deux premières équations de (2.1.10) puisque l’on a:

(2.1.21)

Ainsi, dans le cadre d’intégrales convergentes, la densité limite permet d’obtenir la courbe spectrale par sa transformée de Stieltjes. En revanche, dans le cadre d’intégrales et de développements formels, la densité limite n’ayant pas de sens a priori, seules les relations algébriques (2.1.20) sont disponibles ce qui ne détermine pas complètement la courbe spectrale. Dans cette approche les fractions de remplissage ne sont pas déterminées et dans le cas d’intégrales formelles il peut être intéressant de choisir ces fractions de remplissage non pas de manière “dynamique” (comme le fait la troisième équation de (2.1.10)) mais de les supposer fixées à certaines valeurs d’intérêt.

2.1.3 La récurrence topologique

Une fois la densité limite d’équilibre déterminée (par (2.1.10) ou par (2.1.20)), on peut la réécrire sous la forme , c’est-à-dire la donnée d’une surface de Riemann à deux feuillets de genre . Plus généralement, on peut définir:

Définition 2.2 (Courbe Spectrale).

On appelle courbe spectrale la donnée d’une surface de Riemann de genre munie d’une base symplectique de cycles non-contractibles et , de deux fonctions () méromorphes sur (vérifiant donc une équation polynomiale ) et d’une bi-forme différentielle symétrique holomorphe sur à l’exception d’un pôle double sur la diagonale de la forme et normalisée sur les cycles par .

A partir d’une courbe spectrale on peut alors définir la récurrence topologique:

Définition 2.3 (Récurrence topologique).

Soit une courbe spectrale.

  • On appelle points de ramifications, notés les points pour lesquels la forme différentielle s’annule. 1. On dit que la courbe spectrale est régulière si les points de ramifications sont des zéros simples de . Dans le cas contraire, on dit que la courbe spectrale est singulière.

  • Si est régulière, on définit l’involution localement définie dans un voisinage des points de ramifications vérifiant

  • Les fractions de remplissage par

  • On note les pôles de . On définit alors parfois appelé la “température” du pôle.

  • On définit alors les différentielles d’Eynard-Orantin par (on note ):

    (2.1.22)
    (2.1.24)

    .

  • Les énergies libres ou invariants symplectiques sont définis comme:

    (2.1.26)

    (le choix de la borne inférieure ne jouant aucun rôle). On notera également comme .

  • Les cas particuliers de et de sont obtenus par des formules spécifiques (Eq. et de [1] et également une formule alternative pour dans [2])

On voit donc que les différentielles d’Eynard-Orantin sont définies par récurrence à partir de et des divers ingrédients de la courbe spectrale. On observe également que la donnée complète d’une surface de Riemann globale et de fonctions ou de n’est pas nécessaire pour le calcul de la récurrence en elle même. En effet, puisqu’il s’agit de calculs de résidus autour des points de ramifications, seuls des développements formels autour de chacun de ces points sont nécessaires en pratique et une reformulation uniquement à partir de ces “germes” est possible [55]. Elle a été appliquée à de nombreuses courbes spectrales (Cf. [58] pour une liste non exhaustive). L’intérêt des différentielles d’Eynard-Orantin et des invariants symplectiques provient du fait qu’ils satisfont de très nombreuses propriétés (Cf. [1]):

Proposition 2.2 (Propriétés de la récurrence topologique).

Les différentielles d’Eynard-Orantin satisfont les propriétés suivantes:

  • Symétrie: est une fonction symétrique de ses variables.

  • Normalisation: Pour , , :

  • Formule d’inversion (également appelée formule du “dilaton”): Pour et on a:

  • Equations de boucle: Pour et , la fonction définie par:

    (2.1.27)
    (2.1.28)

    est une fonction rationnelle en sans singularité aux points de branchements.

  • Invariance symplectique des (Cf. [1] et précisée dans [3]). Lorsque et sont des fonctions méromorphes et que l’on définit:

    (2.1.30)

    alors les sont invariants par toute transformation symplectique de la courbe spectrale, i.e. tout changement vérifiant .

A priori la récurrence topologique, qui est une construction purement algébrique, n’a pas grand chose à voir avec les intégrales de matrices aléatoires. Néanmoins le lien devient évident lorsque l’on observe le fait que les équations de boucle de la proposition 2.2 possèdent la même structure que les équations de boucle des modèles de matrices hermitiennes (le cas général étant un modèle à deux matrices diagonalisées grâce à la formule d’Harish-Chandra-Itzykson-Zuber). Plus précisément, les équations de boucle du modèles de matrices hermitiennes impliquent celles de la récurrence topologique [59, 60]. Notons ici que les équations de boucle admettent en général beaucoup (voire une infinité) de solutions et que parmi ces solutions, la récurrence topologique produit une solution ayant certaines propriétés particulières (i.e. coefficients des séries n’ayant des pôles qu’uniquement aux points de ramifications et avec un développement de la forme topologique (2.1.1)). En particulier, lorsqu’un modèle de matrices possède un développement topologique, on peut montrer que les deux solutions coïncident de la façon suivante (Section de [1]):

Théorème 2.2 (Récurrence topologique et modèle de matrices hermitiennes).

Si un modèle (à une ou deux matrices) de matrices hermitiennes (par exemple (2.1.3)) admet un développement topologique dans le sens de 2.1.1, alors les développements des fonctions de corrélation s’identifient avec les différentielles d’Eynard-Orantin calculées sur la courbe spectrale donnée par la transformée de Stieltjes de la densité limite d’équilibre de la façon suivante2 (en notant ):

On peut ainsi reconstruire les fonctions de corrélation par:

On voit donc l’intérêt de la récurrence topologique dans l’étude des matrices aléatoires hermitiennes. Dès que le potentiel est convexe, la combinaison des résultats précédents nous assure que les fonctions de corrélations peuvent se calculer par l’application de la récurrence topologique sur la transformée de Stieltjes de la densité limite, qui est alors nécessairement une surface de Riemann de genre . En d’autres termes, une fois la densité limite obtenue, toutes les corrélations des valeurs propres sont entièrement déductibles par une simple récurrence. Le cas de la fonction de partition est similaire mais il est nécessaire de normaliser correctement pour que le développement topologique existe (sinon il peut y avoir des termes en et supplémentaires). De plus, le choix de normalisation de la fonction de partition n’autorise une identification de à qu’à des constantes près (des exemples sont développés dans les sections 2.1.4, 2.2.1 et2.2.2 où l’impact de la normalisation de la fonction de partition est explicité).

Remarque 2.2 (Cas des courbes de genre ).

D’un point de vue pratique, le calcul de la récurrence topologique est particulièrement simple lorsque la courbe spectrale est de genre . En effet, l’absence de fonctions holomorphes non triviales sur rend le choix de unique:

(2.1.31)

La récurrence topologique se réduit alors à de simples calculs sur des fonctions méromorphes dans qui peuvent être effectués par n’importe quel logiciel de calcul formel.

2.1.4 Normalisation: le cas Gaussien

La cas Gaussien est incontestablement l’exemple le plus simple et le plus connu de la théorie précédente. Dans ce cas, et l’on a donc:

(2.1.32)

L’intérêt de ce modèle est d’être entièrement calculable. En effet, écrit en composantes indépendantes, l’intégrale précédente n’est constituée que de produits d’intégrales Gaussiennes qui peuvent donc être calculées:

(2.1.34)
(2.1.35)

On obtient ainsi

(2.1.36)

La courbe spectrale associée au cas Gaussien est donnée par (2.1.20) . On retrouve ainsi la célèbre loi du demi-cercle que les simulations numériques confirment:


Fig. : Loi du demi-cercle de Wigner pour . Simulations réalisées sur matrices hermitiennes aléatoires (entrées i.i.d. Gaussiennes) de taille .

Les invariants symplectiques de cette courbe spectrale sont également connus. On peut les trouver par exemple dans [?] (eq. avec ) ou [61]:

(2.1.37)
(2.1.38)
(2.1.39)

où les nombres de Bernoulli sont définis par la relation:

Ainsi, on obtient le développement de la fonction de partition issue de la récurrence topologique par:

(2.1.40)
(2.1.41)
(2.1.42)

La dépendance en est uniquement présente dans les deux premiers termes du développement de . Cette dépendance peut facilement être retrouvée en utilisant la propriété d’invariance symplectique. Ainsi, en remplaçant , on obtient une courbe équivalente . La définition de la récurrence topologique permet alors immédiatement de vérifier que pour : et que ne dépendra de qu’à travers les deux premiers invariants symplectiques. Dans le cas Gaussien, ce résultat peut être comparé avec un calcul exact issu des intégrales de Selberg et de Mehta:

Proposition 2.3 (Intégrales de Mehta).

L’application des intégrales de Selberg [32] donne:

(2.1.43)

Par changement de variables on obtient:

(2.1.44)

Ainsi:

(2.1.45)

On retrouve ainsi des résultats connus sur le volume du groupe unitaire [62]. Notons que cette normalisation est indépendante de et du potentiel . En repartant de (2.1.44), le développement asymptotique de la fonction de Barnes donne3:

(2.1.46)

et l’on trouve donc que:

(2.1.47)

Afin d’obtenir un développement en puissance de similaire à celui fourni par la récurrence topologique, il est nécessaire de définir:

Proposition 2.4 (Normalisation de la fonction de partition).

La fonction de partition du modèle hermitien, normalisée de la façon suivante:

(2.1.48)

possède un développement topologique de la forme:

La présence du signe dans l’identification de avec provient d’un mauvais choix de signe (qui historiquement a toujours été un peu fluctuant) dans la définition des invariants symplectiques. Par ailleurs, le terme provient du fait que l’intégrale sur les valeurs propres n’est pas ordonnée ce qui fait agir le groupe des permutations et produit un facteur . Enfin, le facteur provient du volume du groupe qui agit (comme sous-groupe de ) par multiplication à droite sur dans la diagonalisation tout en préservant . Notons par ailleurs que comme:

On obtient par (2.1.47) que

(2.1.50)

En d’autres termes:

(2.1.51)
(2.1.52)
(2.1.53)
(2.1.54)
(2.1.55)
(2.1.56)

La forme générale de ce développement est ainsi parfaitement en accord avec le cas beaucoup plus général (ensembles , potentiel quelconque) développé dans [57].

Remarque 2.3.

Notons que pour le cas de référence Gaussien, la fonction de partition peut se réexprimer à l’aide de la fonction de Barnes. D’un point de vue analytique, on peut alors préciser dans ce cas la nature du développement asymptotique (2.1.47): celui-ci est valable tant que tend vers l’infini dans un secteur du plan complexe excluant l’axe réel négatif. En particulier, il ne s’agit pas d’un développement convergent (i.e. un développement en série entière autour de ) dans n’importe quel voisinage de . Néanmoins, il est bien valable pour ce qui est suffisant pour les applications en probabilités.

2.1.5 Potentiel général

Pour un potentiel général , les résultats concernant la normalisation de la fonction de partition sont beaucoup plus parcellaires. En effet, même dans le cas où le potentiel est convexe et la courbe spectrale régulière avec un support composé d’une seule coupure, l’existence d’un développement topologique pour les fonctions de corrélations ne garantit nullement l’existence d’un développement en pour la fonction de partition . En effet, la définition standard (2.1.3) ne garantit pas ce développement comme on peut le voir dans l’exemple Gaussien (2.1.51). Les deux obstacles à l’existence de ce développement sont:

  • La présence de termes logarithmiques